廣東省興寧市寧中中學(xué) (514500) 劉繼東

數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的高斯函數(shù)

廣東省興寧市寧中中學(xué) (514500) 劉繼東

在各級(jí)各類的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)高斯函數(shù)的試題，本文例舉高斯函數(shù)在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中一些應(yīng)用.

1.解方程

解含[x]的方程，常利用[x]的性質(zhì)、采用變量代換等方法將方程轉(zhuǎn)化為不等式，通過解不等式求出原方程的解.

例1 (2015天津)用[x]表示不大于x的最大整數(shù)，方程x2-[x]-2=0共有( )個(gè)不同的實(shí)根.

A.1B.2C.3D.4

2.求值

[x]的求值問題，可先確定x的取值范圍，再求[x]的值，也可先利用代數(shù)變形，再利用高斯函數(shù)的性質(zhì)求值.

3.平面區(qū)域與高斯函數(shù)

曲線中含高斯函數(shù)，常用方法是分類討論，將曲線分成幾部分來考慮.

例5 (2016浙江)記[x]為不超過x的最大整數(shù).若集合S={(x,y)||[x+y]|+|[x-y]|≤1}，則集合S所表示的平面區(qū)域的面積為( ).

解:當(dāng)0≤x+y<1時(shí)，[x+y]=0，∴|[x-y]|≤1，即-1≤x-y<2；當(dāng)1≤x+y<2時(shí)，[x+y]=1，所以|[x-y]|=0，即0≤x-y<1；當(dāng)-1≤x+y<0時(shí)，[x+y]=-1，所以

|[x-y]|=0，即0≤x-y<1.

4.數(shù)列與高斯函數(shù)

數(shù)列中的核心問題是求通項(xiàng)與求和，求通項(xiàng)的方法有累加法、累乘法、構(gòu)造法等，而求和的方法有并項(xiàng)求和、分組轉(zhuǎn)化、錯(cuò)位相減、倒序相加、裂項(xiàng)相消等.在解數(shù)列與高斯函數(shù)這類問題時(shí)，這些方法要與高斯函數(shù)的定義和性質(zhì)相結(jié)合.

A.1B.2C.5D.6

5.個(gè)數(shù)問題

例9 (2016安徽)集合{[x]+[2x]+[3x]|x∈R}∩{1,2,…,100}共有 個(gè)元素，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù).

解:設(shè)f(x)=[x]+[2x]+[3x]，則有f(x+1)=f(x)+6，當(dāng)0≤x<1時(shí)，f(x)的所有可能值為0,1,2,3.由此f(x)值域S={6k,6k+1,6k+2,6k+3|k∈Z}，S∩{1,2,…,100}共有4×17-1=67個(gè)元素.

6.同余問題