曹 靜

(華南農(nóng)業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，廣東 廣州 510642)

國(guó)內(nèi)年度GDP數(shù)據(jù)的貝葉斯時(shí)間序列分析

曹 靜

(華南農(nóng)業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，廣東 廣州 510642)

利用改革開放以來(lái)的年度GDP數(shù)據(jù)，采用基于馬爾科夫鏈蒙特卡洛(MCMC)算法的貝葉斯隨機(jī)搜索方法進(jìn)行模型選擇，建立時(shí)間序列模型。結(jié)果表明，貝葉斯時(shí)間序列模型的預(yù)測(cè)精度優(yōu)于文獻(xiàn)中經(jīng)常采用的ARIMA模型，在分析我國(guó)總體經(jīng)濟(jì)發(fā)展規(guī)律和變化趨勢(shì)方面具有較好效果。

國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值；時(shí)間序列；貝葉斯模型選擇；馬爾科夫鏈蒙特卡羅法

國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(Gross Domestic Product，GDP)是度量國(guó)內(nèi)所有常住單位在一定時(shí)期內(nèi)生產(chǎn)和提供的最終產(chǎn)品或服務(wù)的重要總量指標(biāo)。一般來(lái)說，GDP會(huì)受到多種因素的影響，因此運(yùn)用結(jié)構(gòu)性因果模型分析和預(yù)測(cè)GDP比較困難，而將歷年的GDP數(shù)據(jù)作為時(shí)間序列進(jìn)行分析，則具有較強(qiáng)的可操作性和重要的現(xiàn)實(shí)意義。

近年來(lái)，許多文獻(xiàn)利用時(shí)間序列方法對(duì)我國(guó)GDP發(fā)展規(guī)律進(jìn)行研究。例如，王維國(guó)等(2010)將基于貝葉斯推斷的多個(gè)突變點(diǎn)判斷理論用于我國(guó)GDP序列數(shù)據(jù)的分析[1]。郭景威、李宏斌(2012)對(duì)1970～2009 年我國(guó)的人均GDP 數(shù)據(jù)建立ARMA時(shí)間序列模型[2]。陳家清等(2012)以改革開放30 年來(lái)我國(guó)國(guó)民生產(chǎn)總值(GNP)環(huán)比基數(shù)建立自激勵(lì)門限自回歸模型，并對(duì)模型進(jìn)行貝葉斯分析[3]。已有文獻(xiàn)采用的方法多數(shù)只能確定時(shí)間序列模型的最高階數(shù)，而且所得模型一般包含不顯著的延遲變量。同時(shí)，當(dāng)候選子模型的個(gè)數(shù)較多時(shí)，傳統(tǒng)方法在計(jì)算上會(huì)顯得相當(dāng)乏力。本文采用George 和 McCulloch(1993)提出的一種貝葉斯隨機(jī)搜索變量選擇方法(Stochastic Search Variable Selection, SSVS)[4]對(duì)我國(guó)改革開放以來(lái)的年度GDP數(shù)據(jù)(見表1)建立一個(gè)層次貝葉斯混合模型，由示性變量的取值選擇模型中的滯后項(xiàng)，具有最高后驗(yàn)概率的子模型即為最優(yōu)模型，其計(jì)算過程比較復(fù)雜，需要采用Chen, M. H., Shao, Q. M.和Ibrahim, J. G(2000)提出的馬爾科夫鏈蒙特卡洛(Markov chain Monte Carlo, MCMC)模擬算法[5]對(duì)模型進(jìn)行估計(jì)和選擇。

1 國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值

《中國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)核算體系(2002)》采納聯(lián)合國(guó)1993年公布的《國(guó)民經(jīng)濟(jì)核算體系》(SNA)的基本核算原則、內(nèi)容和方法，因此1952年以來(lái)的年度GDP數(shù)據(jù)時(shí)間序列具有可比性。

表1 1978～2013年中國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值年度數(shù)據(jù) 單位：億元

注：數(shù)據(jù)來(lái)自于國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站(www.stats.gov.cn)、《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》和國(guó)家統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫(kù)(http://219.235.129.58)。

2 自回歸模型的貝葉斯分析

利用基于MCMC算法的貝葉斯隨機(jī)搜索模型選擇方法，建立GDP年度數(shù)據(jù)序列的自回歸AR(p)模型。設(shè){xt}為原始數(shù)據(jù)， {yt}是對(duì){xt}進(jìn)行對(duì)數(shù)變換和一階差分變換后的數(shù)據(jù)序列，它滿足

yt=φ1yt-1+φ2yt-2+…+φpyt-p+εt

(2.1)

Y=Xφ+ε.

(2.2)

令Y0=(y0,y-1,…,y1-p)'是序列{yt}的初始值。我們視這些初始值為未知參數(shù)，并假定Y0的先驗(yàn)分布服從正態(tài)分布，即

Y0～Np(μ,∑).

(2.3)

引入變量γj，其取值為0或者1。變量γj的作用是當(dāng)所選擇模型沒有包含yt-j項(xiàng)時(shí)，則γj=0；當(dāng)所選擇模型包含yt-j項(xiàng)時(shí)，則γj=1。假設(shè)

(2.4)

P(γj=1)=Pj,P(γj=0)=1-Pj.

(2.5)

Pj可被視為yt-j包括在模型中的先驗(yàn)概率。將(2.4)式改寫成矩陣形式，有

φ|γ～N(0,DγRDγ),

(2.6)

這里γ=(γ1,…,γp)'，R是先驗(yàn)相關(guān)矩陣，Dγ=diag(d1τ1,…,dpτp) 。若γj=0，則dj=1；若γj=1，則dj=cj。R一般取R=1或者R∞(X'X)-1。假定在γ給定條件下σ2的先驗(yàn)分布是一個(gè)逆Gamma分布，即

(2.7)

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，選擇υγ=υ和λγ=λ 。由貝葉斯原理，γ的后驗(yàn)分布為

π(γ|D)∞π(y|γ)π(γ),

(2.8)

3 年度GDP數(shù)據(jù)分析

3.1 年度GDP的貝葉斯分析

將SSVS方法應(yīng)用到1978～2013年我國(guó)GDP數(shù)據(jù)序列，嘗試?yán)肕CMC算法模擬得到該時(shí)間序列數(shù)據(jù)的最大后驗(yàn)概率模型。表2是由貝葉斯SSVS方法得到的后驗(yàn)概率較高的幾個(gè)模型及其后驗(yàn)概率。表3列出了根據(jù)模擬數(shù)據(jù)擬合的系數(shù)向量φ和變量γ的估計(jì)值。圖1是由SSVS方法得到的最佳模型的參數(shù)φ1和相應(yīng)的示性變量r1`的模擬軌跡圖。

表2 遴選模型的滯后項(xiàng)及其后驗(yàn)?zāi)Ｐ透怕?/p>

表3 系數(shù) 和拉丁變量 的貝葉斯估計(jì)值(括號(hào)內(nèi)是標(biāo)準(zhǔn)差)

圖1 最佳模型的參數(shù)和相應(yīng)的示性變量 的模擬軌跡圖

因此1982～2013年GDP變換數(shù)據(jù){yt}的最佳自回歸模型為下列AR(1)模型

yt=1.0028689yt-1+εt.

(3.1)

變換為原始GDP數(shù)據(jù){xt}后的最佳模型為

log(xt)=2.0028689log(xt-1)-1.0028689log(xt-2)+εt,

(3.2)

采用模型(3.2)對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，計(jì)算得到的平均絕對(duì)預(yù)測(cè)誤差為

3.2 年度GDP的ARIMA模型分析

對(duì)我國(guó)GDP年度數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù)變換序列zi=log(xi)進(jìn)行ARIMA建模分析。圖2是我國(guó)1982～2013年GDP總值的時(shí)間序列圖和自相關(guān)圖形。

圖2 1978年至2013年中國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值時(shí)序圖和自相關(guān)圖

從PACF圖可以看出，我國(guó)GDP數(shù)據(jù)變換后的序列具有4階自相關(guān)特征。根據(jù)時(shí)序圖和ARIMA模型結(jié)果，選擇ARIMA(4,1,1)模型對(duì)數(shù)據(jù)序列{zi}進(jìn)行擬合，所得模型結(jié)果為

zt=1.7872708zt-1-1.001398zt-2+0.7193049zt-3-0.6653182zt-4+0.1601425zt-5+εt-0.5334912εt-1

計(jì)算得到的平均絕對(duì)預(yù)測(cè)誤差為

它略大于貝葉斯SSVS方法的平均絕對(duì)預(yù)測(cè)誤差。

4 小結(jié)

將貝葉斯隨機(jī)搜索變量選擇方法應(yīng)用到自回歸時(shí)間序列模型，在分層貝葉斯模型框架下，給出相應(yīng)未知參數(shù)的先驗(yàn)分布以及后驗(yàn)分布，并討論了該方法的一些超參數(shù)設(shè)置的問題。特別地，我們將時(shí)間序列的初始值作為未知參數(shù)，使得整個(gè)貝葉斯推斷基于初始值是無(wú)條件的。與ARIMA模型方法相比，本文所得最佳模型滯后項(xiàng)少且預(yù)測(cè)精度較高，說明本文方法可以更好地分析和預(yù)測(cè)我國(guó)GDP年度總量的發(fā)展趨勢(shì)。

我們使用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)(Data Driven)方法分析GDP數(shù)據(jù)，采用基于MCMC算法的貝葉斯方法建立我國(guó)GDP數(shù)據(jù)的時(shí)間序列模型，該模型的意義在于從定量關(guān)系上刻畫GDP的發(fā)展規(guī)律和趨勢(shì)并可用于短期預(yù)測(cè)。從模型結(jié)果可以看出，我國(guó)GDP在短期內(nèi)將繼續(xù)呈現(xiàn)持續(xù)增長(zhǎng)的趨勢(shì)，這符合我國(guó)GDP 發(fā)展現(xiàn)況。

需要指出的是，由于GDP的短期高增長(zhǎng)是以資源的過度投入和環(huán)境的破壞為代價(jià)的，因此它的長(zhǎng)期成本要高于正常的均衡增長(zhǎng)。這說明中國(guó)經(jīng)濟(jì)在高速增長(zhǎng)的同時(shí)還會(huì)遇到環(huán)境治理、國(guó)際金融危機(jī)等不確定因素的影響, 因此不能一味地追求每年都達(dá)到較高的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)速度, 要綜合考慮未來(lái)幾年的發(fā)展環(huán)境，制定科學(xué)合理的經(jīng)濟(jì)發(fā)展戰(zhàn)略。

[1] 王維國(guó)，王 霞，顏 敏.時(shí)間序列多個(gè)突變點(diǎn)的貝葉斯推斷——對(duì)我國(guó)GDP數(shù)據(jù)的實(shí)證分析[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2010(9):45-53.

[2] 郭景威，李宏斌.中國(guó)人均GDP時(shí)間序列的實(shí)證分析與預(yù)測(cè)[J].經(jīng)濟(jì)論壇，2012(3)：9-12.

[3] 陳家清，張智敏，王仁祥.基于貝葉斯自激勵(lì)門限自回歸模型的中國(guó)GNP經(jīng)濟(jì)分析[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2012(13)：28-31.

[4] George E I，McCulloch R E， Variable selection via Gibbs sampling[J].Journal of American Statistical Association，1993(423)：881-889.

[5] Chen M H，Shao Q M，Ibrahim J G.Monte Carlo methods in Bayesian computation[M].New York， Springer， 2000.

(編輯：唐 芳)

Bayes Time Series Analysis of Domestic Annual GDP Data

CAO Jing
(School of Mathematics and Information, Agricultural University Of South China, Guangzhou 510642, China)

Since the reform and opening-up of China's annual GDP data,in this paper, a Bayesian stochastic search method based on Markoff Montecalo (MCMC) algorithm is used to select the model,and set up time series model. Data analysis results show that, Bayes time series model is superior to the ARIMA model which is often used in the literature. It has a good effect on the analysis of the law of economic development and the trend of change in China.

GDP; time series; Bayes model selection; Markov Chain Monte Carlo(MCMC)

2016-07-12

教育部人文社會(huì)科學(xué)研究青年基金項(xiàng)目(15YJC790004).

曹 靜(1981-)，女，四川簡(jiǎn)陽(yáng)人，講師，碩士，研究方向：農(nóng)村產(chǎn)業(yè)經(jīng)濟(jì)與制度經(jīng)濟(jì)、數(shù)理金融統(tǒng)計(jì).

F224

A

2095-8978(2017)01-0035-04