楊 沛

(華北水利水電大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 鄭州 450045)

無(wú)平方因子的正整數(shù)的歐拉函數(shù)平均值

楊 沛

(華北水利水電大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 鄭州 450045)

漸近公式；可乘函數(shù)；分類討論

歐拉函數(shù)的均值估計(jì)對(duì)許多數(shù)論問(wèn)題的解決都有重要的推動(dòng)作用，此估計(jì)是數(shù)論中一個(gè)重要的板塊，許多數(shù)論問(wèn)題都需要以此為基礎(chǔ).Goldsron得出了歐拉估計(jì)中指數(shù)和估計(jì)的參數(shù)結(jié)果，現(xiàn)已知此結(jié)果可用來(lái)幫助證明華林問(wèn)題.現(xiàn)在進(jìn)一步深入研究，重點(diǎn)解決了歐拉函數(shù)均值估計(jì)中的一個(gè)重要和式G(x;k;a,b)的估計(jì)值漸近公式，采用莫比烏斯變換與歐拉函數(shù)可乘性的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，并依據(jù)參數(shù)分類討論，最后得出較優(yōu)的結(jié)果，對(duì)哥德巴赫猜想和華林問(wèn)題的參數(shù)估計(jì)算法都有幫助.

1 主要結(jié)果

定理1 對(duì)于固定的實(shí)數(shù)a和b及正整數(shù)k，

那么

其中

并且

2 引理

先列出證明過(guò)程中所需要的引理[1].

引理1 對(duì)于固定的實(shí)數(shù)λ，有如下公式成立:

引理2 對(duì)于固定的實(shí)數(shù)a和b，有如下公式成立:

3 定理1的證明

定義

gk(n)通過(guò)如下式定義

可以計(jì)算出如下結(jié)論:

所以可以得到

上式收斂，可以得到

其中

為了保證gk(n)≠0，n需要滿足下式[2]

所以

其中

可以得到

那么

接下來(lái)計(jì)算下述積分

(1)當(dāng)b-a>1時(shí)，由引理2和上述論述可得如下結(jié)果:

(2)當(dāng)b-a=1時(shí)，可得

(3)當(dāng)0

(4)當(dāng)b-a≤0時(shí)，可得

定理1證畢.

[1]GOLDSTONDA.Linnik’stheoremonGoldbachnumbersinshortintervals[J].GlasgowMathematicalJournal,1990,32(3):285-297.

[2]KARATSUBAAA.解析數(shù)論基礎(chǔ)[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2012.

[3]MONTGOMERYHL，DAVENPORTH.MultiplicativeNumberTheory[M].Cambridge:CambridgeUniversityPress,2000.

On the mean values of the Euler function of positive integers with square-free

YANG Pei

(MathematicsandInformationScienceSchool,NorthChinaUniversityofWaterResourcesandElectricPower,Zhengzhou450045,China)

asymptoticformula;multiplicativefunction;categorizethesituations

2016-12-01

楊沛(1990-)，男，河南鄭州人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)閿?shù)論.

O

A

1674-330X(2017)01-0076-05