楊麗紅，劉晨中

(上海理工大學 機械工程學院，上海 200093)

等溫容器充氣時截面銅絲分布的拓撲優(yōu)化研究

楊麗紅，劉晨中

(上海理工大學 機械工程學院，上海 200093)

以等溫容器截面為研究對象，截面銅絲看作多孔介質(zhì)，采用拓撲優(yōu)化方法優(yōu)化銅絲分布，強化充氣過程中容器中心向容器壁的導熱。選用變密度法材料插值模型，基于彈性體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化模型和熱力學知識，推導建立基于變密度法的散熱體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化數(shù)學模型。以改進的網(wǎng)格靈敏度過濾技術(shù)等用于解決優(yōu)化中的數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，運用Matlab編程得到容器截面銅絲分布的拓撲優(yōu)化模型。并在初始溫度20 ℃，中心邊界200 ℃加熱的情況下，經(jīng)過200 s，通過與均勻填充和二層變密度填充模型的瞬態(tài)導熱仿真對比，得出拓撲優(yōu)化模型的導熱效果更佳。研究結(jié)果表明，經(jīng)過拓撲優(yōu)化后的填充模型可強化等溫容器充氣過程中由中心向周圍的傳熱。

等溫容器；多孔介質(zhì)；強化傳熱；拓撲優(yōu)化；變密度法

等溫容器概念是日本東京工業(yè)大學香川利春教授于1995年提出的，是一種在普通容器內(nèi)填充一定量的等溫材料(一般為細銅絲)，使其無論在充氣還是放氣時容器內(nèi)空氣溫度都基本不變的一種特殊容器[1]。由于其等溫特性，常被用在氣動系統(tǒng)的測試和控制中，尤其在流量測試領(lǐng)域得到了廣泛的應用。利用等溫容器用來檢測氣體流量計的動態(tài)性能[2-3]；測定氣動元件的流量特性[4]；用于提高真空吸盤動態(tài)壓力響應和組成高精度、快響應減壓閥控制氣動隔振臺[5]等。但在等溫容器實際應用過程中，由于充放氣時容器內(nèi)填充的金屬絲強化傳熱效果不足，導致容器內(nèi)氣體溫度存在偏差，致使容器的實際等溫效果不夠理想。為了使等溫容器更好的適用于流量測試等領(lǐng)域，通過強化金屬絲的傳熱效果來改善容器充氣時的等溫特性具有重要的研究價值。許多學者在研究細金屬絲填充物強化傳熱時[2-4]，將其看作是多孔介質(zhì)。

拓撲優(yōu)化是以材料分布為研究對象，在一塊初始設計域內(nèi)，通過拓撲優(yōu)化，找到材料最佳的分布方案。目前主要的拓撲優(yōu)化方法有均勻化方法、變密度法、漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法和水平集方法。散熱結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設計是拓撲優(yōu)化的一個重要的研究領(lǐng)域，在給定材料的約束下，找到結(jié)構(gòu)最佳的傳熱路徑。傳統(tǒng)的傳熱結(jié)構(gòu)設計一般是基于熱力學計算和工程經(jīng)驗，然而不同拓撲結(jié)構(gòu)形式散熱器的散熱效果顯然不同，如何找到物體的最佳散熱拓撲結(jié)構(gòu)，是一個重要的問題。 Sigmund[7]將結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化中的變密度法直接拓展到了傳熱結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，并發(fā)表了一個簡單有效的拓撲優(yōu)化程序，可應用于一般力學和傳熱學結(jié)構(gòu)當中。國內(nèi)左孔天[8]應用結(jié)構(gòu)力學中的SIMP法，建立了熱傳導結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化數(shù)學模型，說明在結(jié)構(gòu)優(yōu)化中廣泛應用的拓撲優(yōu)化方法，也可用來優(yōu)化材料拓撲分布來強化傳熱。曹茹[9]基于漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化思想的優(yōu)化方法和優(yōu)化準則，建立了熱傳導結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化數(shù)學模型。

1 熱傳導結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化數(shù)學模型建立

變密度法又稱為固體各向同性材料懲罰法(Solid Isotropic Material with Penalization，SIMP)，假定材料為各向同性材料，以材料密度為設計變量，無需加入附加的均勻化過程和細微結(jié)構(gòu)，準確快捷地獲取彈性模量與單元密度之間的關(guān)系，從而減少優(yōu)化設計變量，簡化優(yōu)化求解過程，是一種應用廣泛的材料插值方法。

在SIMP方法前提下，優(yōu)化目標為最小柔度的彈性體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化數(shù)學模型為[7]

s.t.:V=f·V0

KU=F

0

(1)

式中，U和F分別為位移列陣和力向量；K為整體剛度矩陣；V和V0為優(yōu)化后結(jié)構(gòu)體積和設計域初始體積；f為規(guī)定的體積比；xe為設計變量，以單元相對密度表示；xmin為設計變量的最小極限值；ue表示單元剛度矩陣；n為離散單元總數(shù)目。

ke=(xe)pk0，k0和ke分別表示初始剛度矩陣和優(yōu)化后剛度矩陣, 為懲罰因子，其的作用是對中間密度單元項進行懲罰，使中間密度單元數(shù)目盡量減少，結(jié)構(gòu)單元密度盡可能趨近于0或1。

對于平面導熱，其導熱微分方程為

(2)

式中，λ(W·m-1·℃-1)為材料的導熱系數(shù)；ρ(kg·m-3)為材料密度；c(J·kg-1·℃-1)為材料的比熱容；T(℃)為物體的瞬態(tài)溫度；t(s)為導熱時間；qv(W·m-3)為材料的內(nèi)熱源強度；x和x(m)為直角坐標。

對于平面穩(wěn)態(tài)熱傳導有

(3)

邊界條件：這里假定模型存在第一類邊界，無第二類、第三類邊界，所以

T|Γ=f(x,y,t)

(4)

其中，Γ為物體邊界；f(x,y,t)為已知溫度函數(shù)。

初始條件：規(guī)定了開始傳熱時物體所具有的溫度，公式表示為：T|t=0=φ(x,y)。

選擇合適的目標函數(shù)是拓撲優(yōu)化求解的至關(guān)重要的一步。對于穩(wěn)態(tài)熱傳導問題，傳入?yún)^(qū)域的熱量為

(5)

在非穩(wěn)態(tài)傳熱情況下，將各點溫度與熱流密度的乘積積分稱為散熱弱度。物體在內(nèi)部和邊界上傳入的熱量一定的條件下，溫度越低，散熱弱度越小，整個設計域上的平均溫度越低。根據(jù)傅里葉定律將q的表達式帶入可得到散熱弱度

(6)

對于穩(wěn)態(tài)情況，不考慮對流邊界，去掉式(6)的后一項，然后經(jīng)離散化處理后得

(7)

式(7)中，散熱弱度的量綱是焦耳·開爾文(J·K)，其代表物體向周圍介質(zhì)導熱的能力。熱量傳遞中散熱弱度存在耗散，當其熱量傳遞過程中散熱弱度為最小時，熱量傳遞效率最高。散熱結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的目標就是使散熱弱都最小化，最小散熱弱度等于最大散熱強度。

根據(jù)彈性體的拓撲優(yōu)化模型，相應的可建立熱傳導結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化數(shù)學模型

s.t.:V=f·V0

KT=P

0

(8)

式中，K為結(jié)構(gòu)總體熱剛度矩陣；ke為單元熱剛度矩陣；te為單元溫度，T為由te組成的列向量；xe為單元相對密度；k0為材料密度為1的單元熱剛度矩陣；P為節(jié)點熱載荷列陣。

由于研究模型為單目標函數(shù)問題，優(yōu)化算法選取優(yōu)化準則法(OC)，OC法具有程序設計量較低，對設計變量數(shù)沒有太大要求，程序收斂快等優(yōu)點。其是由目標函數(shù)和約束條件構(gòu)成的拉格朗日函數(shù)。考慮設計變量上下限的情況，可推得式(8)的優(yōu)化準則法求解公式為

(9)

引入阻尼系數(shù) 是為了確保數(shù)值計算的收斂性和穩(wěn)定性。

2 優(yōu)化的實現(xiàn)流程與結(jié)果

2.1 單元熱剛度矩陣

由于所研究的截面模型離散出的四節(jié)點四邊形單元不是規(guī)則的四邊形，圖1所示，所以對于任意形狀的四邊形單元要尋求一種坐標變換轉(zhuǎn)換為圖1右圖的正方形單元，將整體坐標 轉(zhuǎn)換為局部坐標(ξ,η)。

圖1 四邊形單元坐標變換

構(gòu)造四邊形單元形函數(shù)和局部坐標溫度插值函數(shù)。對于平面溫度場的計算，運用四邊形單元變分原理，可得到

(10)

其中，J為溫度場泛函；[N]e{?T/?t}e為單元非穩(wěn)態(tài)溫度對時間的變化函數(shù)。對于穩(wěn)態(tài)熱傳導，不考慮對流邊界情況，公式可簡化為

(11)

單元熱剛度矩陣的求解運用二維高斯數(shù)值積分即可得出。

2.2 實現(xiàn)流程

變量的迭代更新，采用OC優(yōu)化準則法迭代，利用Sigmund提出的著名啟發(fā)式迭代格式對變量進行迭代更新，選擇移動變量m=0.2，表達式為

(12)

在SIMP材料插值模型的基礎上，基于OC優(yōu)化準則算法求解散熱結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題的實現(xiàn)流程如圖2所示。

圖2 基于SIMP法的散熱結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化流程圖

2.3 數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象及解決方法

拓撲優(yōu)化中常出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象：多孔材料、棋盤格、網(wǎng)格依賴性和局部最優(yōu)等。多孔材料問題前面通過在目標函數(shù)中添加懲罰因子p的方式來盡量消除。針對棋盤格和網(wǎng)格依賴性現(xiàn)象，本研究采用Sigmund[7]提出的靈敏度過濾技術(shù)，選用線性過濾中基于卷積技術(shù)的靈敏度過濾技術(shù)。過濾器通過對第e個單元的靈敏度和其周圍的單元靈敏度進行加權(quán)平均以防止密度的突變，雖該方法是啟發(fā)式算法，但由于過濾方法無需考慮額外的約束，沒有增加優(yōu)化問題的復雜性。

e=1,2,…,n

(13)

圖3 不同過濾半徑的影響效果示意圖

2.4 優(yōu)化結(jié)果

本文根據(jù)等溫容器截面銅絲的形狀，建立了內(nèi)徑20 mm，外徑200 mm的圓環(huán)狀模型，網(wǎng)格劃分為40×160個單元。使用Matlab進行有限元分析、熱剛度矩陣、拓撲優(yōu)化等程序的編輯，阻尼系數(shù)η取 ,懲罰因子p取3，式(8)中體積比f取30%，程序運行迭代得到優(yōu)化后的模型。

最終的優(yōu)化結(jié)果得到了預想中的樹枝狀結(jié)構(gòu)。幾個主枝干集中在靠近容器中心的部位，越向外分支越多，淺色部分代表設計變量密度小的區(qū)域，深色部分代表密度大的區(qū)域。

3 仿真分析

為驗證優(yōu)化模型的強化傳熱效果，對模型進行非穩(wěn)態(tài)導熱仿真分析。有些學者[14]研究表明多孔介質(zhì)內(nèi)層孔隙率小，外層孔隙率大的分層變密度填充可有效增強強化傳熱效果。容器分層填充熱量傳導過程可看作多層同心圓環(huán)的傳熱，本文采用優(yōu)化模型與均勻填充和二層變密度填充進行對比的方式驗證拓撲優(yōu)化的優(yōu)化效果。

截面銅絲看作大孔隙率多孔介質(zhì)，為保證每個模型所用到的銅絲質(zhì)量相同，均勻填充模型的孔隙率設定為97%，二層填充以劃分網(wǎng)格的第20層，即半徑55 mm處為分界，半徑10～55 mm圓環(huán)部分的孔隙率設為93.42%，55～100 mm圓環(huán)部分孔隙率設為98.5%，拓撲優(yōu)化模型中設計變量密度大的單元采用較小的孔隙率，密度小的單元采用較大的孔隙率，使其整體平均孔隙率基本保持在97%。

有限元熱傳導模型：{P}t=[K]t{T}t+[N]{?T/?t}t，其中總體熱剛度矩陣K由上文中得出的單元熱剛度矩陣組裝得到：[K]=∑[Ke]；[N]{?T/?t}t為非穩(wěn)態(tài)溫度對時間的變化函數(shù)，矩陣N可由矩陣K的求解方法得出；溫度時間導數(shù){?T/?t}t采用向后差分的格式變換：{?T/?t}t=({T}t-{T}t-Δt)+O(Δt)，Δt為時間差分步長，O(Δt)表示截斷誤差的數(shù)量級。

矩陣中所用到的導熱系數(shù)、密度和比熱容需按照孔隙率的大小進行變換

λe=(1-φ)λs+φλf

ρe=(1-φ)ρs+φρf

ce=(1-φ)cs+φcf

(14)

式中，φ為孔隙率；λe、ρe、ce分別為有效導熱系數(shù)、有效密度和有效比熱容；λs、ρs、cs為純銅的相應參數(shù)；λf、ρe、ce為20 ℃時空氣的相應參數(shù)。

仿真初始溫度設為20 ℃，內(nèi)邊界溫度為200 ℃，導熱時間200 s，Matlab編輯仿真程序，得到優(yōu)化后模型的溫度場分布圖。

圖5 優(yōu)化模型溫度分布圖

對均勻填充在相同條件下仿真后得到溫度場分布圖。對二層填充在相同條件下仿真后得到溫度場分布圖。

圖6 均勻填充溫度分布圖

圖7 二層變密度填充溫度分布圖

為更直觀對比3種填充模型的溫度分布，按照半徑上40層層數(shù)為橫坐標，每層160個單元的溫度取平均值作為縱坐標，繪制出如下的坐標圖。

圖8 優(yōu)化后與均勻填充模型溫度分布對比圖

從對比圖可看出，拓撲優(yōu)化模型和二層變密度填充的導熱效果要遠遠優(yōu)于均勻填充，不僅溫度分布更加均勻，且相同徑向距離的溫度值都要高于均勻填充，而拓撲優(yōu)化模型還要略優(yōu)于二層變密度填充。統(tǒng)計整體設計域的平均溫度值，均勻填充的設計域平均溫度為109.88 ℃，二層變密度填充為145.38 ℃，拓撲優(yōu)化模型為150.64 ℃，拓撲優(yōu)化模型設計域平均溫度相較均勻填充高出37.1%，相較二層變密度填充高出3.62%。即在相同傳熱時間內(nèi)，拓撲優(yōu)化模型縮小了容器壁與容器中心的溫差，提高了容器截面的導熱效率，達到了強化傳熱的目的。

4 結(jié)束語

等溫容器廣泛地應用于氣動系統(tǒng)等領(lǐng)域中，為更好地利用和改善其等溫特性，優(yōu)化容器截面銅絲的分布，增強其強化傳熱效果具有重要的研究意義。

(1)本文將已經(jīng)被廣泛應用的基于SIMP法的彈性體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法與熱力學知識相結(jié)合，推導得出基于SIMP法的散熱體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化數(shù)學模型；(2)求解得出了不規(guī)則四邊形單元的熱剛度矩陣，改進的網(wǎng)格靈敏度過濾技術(shù)和懲罰因子的引入基本解決了優(yōu)化過程中的數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，然后使用Matlab編程得出拓撲優(yōu)化結(jié)果；(3)在平均孔隙率一致的情況下，將拓撲優(yōu)化模型與均勻填充和二層變密度填充進行瞬態(tài)導熱仿真分

析的對比，仿真結(jié)果表明拓撲優(yōu)化模型的強化傳熱效果要優(yōu)于另外兩種模型，其整體設計域的平均溫度較均勻填充高出37.1%，較二層變密度填充高出3.62%。

以上研究結(jié)果表明拓撲優(yōu)化方法可應用于傳熱問題當中，最終的優(yōu)化模型降低了等溫容器充氣時中心與容器壁的溫差，達到了強化傳熱效果。得到的優(yōu)化模型也可應用于電子電路的散熱問題當中。

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Study on Topology Optimization for the Copper Wire Distribution of Isothermal Chamber Section During Inflating

YANG Lihong，LIU Chenzhong

(School of Mechanical Engineering，University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093, China)

With isothermal chamber section as the research object,the copper wire section is considered porous media,optimizing the distribution of copper wire with topology optimization to strengthen conduction of the chamber center to the chamber wall during inflating.Above all,selecting the variable density method interpolation model,setting up heat dissipation structure topology optimization mathematical model based on the variable density method by the elastic body structure topology optimization model and the knowledge of thermodynamics.Secondly,the improved mesh sensitivity filtering technology is used to solve the numerical instability phenomenon of optimization,topology optimization model of the copper wire distribution of chamber section can be gotten by using Matlab programming.Finally,on the condition of the initial temperature of 20 ℃,heating center boundary of 200 ℃ and through 200 s,heat conduction effect of topology optimization model is better by contrast of transient simulation of thermal conductivity with uniform filling and filling model of two-layer variable density.Research results show that the topology optimization filling model can be used to strengthen the heat conduction from the center to the surrounding of isothermal chamber during inflating.

isothermal chamber; porous media; heat transfer enhancement; topology optimization; variable density method

2016- 04- 22

國家自然科學基金資助項目(51245009)；上海市自然科學基金資助項目(12ZR1420600)

楊麗紅(1973-)，女，博士,副教授。研究方向：先進制造技術(shù)等。劉晨中(1991-)，男，碩士研究生。研究方向：傳熱傳質(zhì)優(yōu)化。

10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2017.03.018

TN304;TP301.6

A

1007-7820(2017)03-065-05