任果

“功和功率”既是初中物理的重點(diǎn)知識(shí)，又是解答有關(guān)機(jī)械效率問(wèn)題的前提與關(guān)鍵；由功、功率與機(jī)械效率組合而成的綜合應(yīng)用題，可基本涵蓋力學(xué)的主要知識(shí)，能有效甄別學(xué)生的素質(zhì)與能力，在中考中占有舉足輕重的地位。對(duì)于中考必考點(diǎn)和考查重點(diǎn)的“功和功率”，一要理解概念；二要掌握判斷、計(jì)算的方法；三能靈活運(yùn)用，分析解答有關(guān)問(wèn)題。其類(lèi)型及其解題策略與方法如下：

一、判斷是否做功

判斷力是否對(duì)物體做功（或力做功、施力物體做功），依據(jù)是做功的兩個(gè)必要因素，先分析物體是否受到力的作用；再分析物體是否在這個(gè)力的方向上移動(dòng)了距離。二者缺一，則力對(duì)物體不做功。

如圖1所示的單擺，讓小球從A點(diǎn)靜止釋放，小球從A點(diǎn)向B點(diǎn)擺動(dòng)的過(guò)程中，小球受到的重力對(duì)小球

功，細(xì)繩對(duì)小球的拉力

功。（均填“做”或“不做”）

解析：小球從A點(diǎn)向B點(diǎn)擺動(dòng)的過(guò)程中，小球的高度降低，在重力的作用下沿重力的方向移動(dòng)了距離，故小球受到的重力對(duì)小球做了功；細(xì)繩對(duì)小球的拉力方向與小球的運(yùn)動(dòng)方向垂直，小球沒(méi)有在拉力的作用下移動(dòng)距離，故細(xì)繩對(duì)小球的拉力沒(méi)有做功。

答案：做 不做

【溫馨提示】在判斷某力是否做功時(shí)，要抓住“力”與“距離”這兩個(gè)必要因素，根據(jù)“移動(dòng)距離與力的方向的對(duì)應(yīng)關(guān)系”進(jìn)行分析。

（1）三種做功的情況：①物體移動(dòng)方向與力的方向一致，力對(duì)物體做功；②物體移動(dòng)方向與力的方向相反，此時(shí)力為阻力，物體克服阻力做功；③物體移動(dòng)方向與力的方向有一個(gè)夾角，此時(shí)物體雖然沒(méi)有直接沿力的方向移動(dòng)，但從移動(dòng)的效果來(lái)看，實(shí)質(zhì)上已經(jīng)在力的方向上移動(dòng)了一段距離，力對(duì)物體做功。

（2）三種不做功的情況：①由于慣性運(yùn)動(dòng)的物體，無(wú)力、有距離，不存在力對(duì)物體做功；②受力而靜止的物體，有力、無(wú)距離，力對(duì)物體不做功；③力的方向與物體運(yùn)動(dòng)方向垂直，物體在力的方向沒(méi)有發(fā)生移動(dòng)，力對(duì)物體不做功。

二、區(qū)分功與功率

功和功率是兩個(gè)概念不同、密切相關(guān)而又容易混淆的物理量，它們之間有本質(zhì)的區(qū)別，“功”表示做功的“多少”，而“功率”表示做功的“快慢”，“多少”與“快慢”的意義不一樣。

例2.推土機(jī)甲的功率比推土機(jī)乙的功率大，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A.甲做的功比乙多

B.甲做的功比乙少

C.甲做的功可以與乙一樣多

D.以上說(shuō)法都不對(duì)

解析：甲的功率比乙的功率大，說(shuō)明甲做功快，但不一定做功多；根據(jù)功的公式W=Pt可知，甲的功率大，如果做功時(shí)間少，甲做的功就少，有可能與乙做的功一樣多。

答案：C

【溫馨提示】正確辨析功與功率，一要弄清它們的物理意義及其之間的關(guān)系；二要會(huì)用控制變量法分析，在判斷功與功率的關(guān)系時(shí)應(yīng)保持所用時(shí)間不變，判斷所用時(shí)間與功率的關(guān)系時(shí)應(yīng)保持做功多少不變。

三、比較功與功率

分析比較做功多少與功率大小，依據(jù)是功和功率公式。

1.比較做功多少

根據(jù)功的公式W=Fs分析比較，一般方法是：力相同比距離，距離大的做功多；距離相同比力，力大的做功多；力與距離均不同，比較Fs的大小。

例3.如圖2所示，光滑斜面AB>AC，沿斜面AB和AC分別將同一重物從它們的底部拉到頂部，所需拉力分別為F1和F2，所做的功分別為WA和WB。則（ ）

A.F1

B.F1

C.F1>F2，WA>WB

D.F1>F2，WA=WB

解析：斜面光滑說(shuō)明不計(jì)摩擦力，拉力所做的功等于克服重力做的功，則把同一物體沿斜面AB和AC分別拉到頂端A，高度h相同，由W=Gh可知，兩次做的功相同，即WA=WB；因AB>AC，而WA=WB，由功的公式W=Fs可知，F(xiàn)1

答案：A

例4.如圖3甲所示，小紅用彈簧測(cè)力計(jì)拉木塊，使它在同一水平木板上滑動(dòng)，圖3乙是她兩次拉動(dòng)同一木塊得到的路程隨時(shí)間變化的圖象。請(qǐng)根據(jù)圖象判斷：在相等時(shí)間內(nèi)，木塊兩次受到的拉力F1

F2；兩次拉力對(duì)木塊做的功W1

W2。（填“>”“

解析：由圖象可以看出，圖象為一條過(guò)原點(diǎn)的傾斜的直線，說(shuō)明兩次拉動(dòng)過(guò)程中木塊均做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則不論木塊速度大小如何（v1>v2），都受到平衡力的作用，即在水平方向上拉力和摩擦力是一對(duì)平衡力，故兩次拉動(dòng)木塊的拉力和摩擦力均大小相等，即F=f；因兩次拉動(dòng)過(guò)程中木塊所受的摩擦力f相等，故木塊兩次受到的拉力F1=F2。

由圖象可知，在相等時(shí)間內(nèi)，木塊兩次運(yùn)動(dòng)的距離不同，第1次木塊通過(guò)的距離大；由功的公式W=Fs可知，在相同拉力作用下，第1次拉力對(duì)木塊所做的功多，即W1>W2。

答案：= >

【溫馨提示】在比較做功多少時(shí)，要抓住“力的大小”與“在力的方向上移動(dòng)距離的大小”進(jìn)行分析，勿受“光滑面”、“粗糙面”、“斜面”或“速度大小”等條件的干擾。

2.比較功率大小

根據(jù)功率公式P=Wt分析比較，方法是：先確定做功的多少和做功所用時(shí)間的長(zhǎng)短；再比較功與做功時(shí)間的比值大小。在相同時(shí)間內(nèi)，做功多的功率大；做功相同，所用時(shí)間短的功率大；只知功或做功所用的時(shí)間，無(wú)法比較和判斷功率的大小。

例5.在自由下落過(guò)程中物體運(yùn)動(dòng)速度會(huì)越來(lái)越快。一個(gè)物體由A點(diǎn)自由下落，相繼經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，已知AB=BC，如圖4所示，物體在AB段重力做功W1，做功功率P1；在BC段重力做功W2，做功功率P2，則下列關(guān)系正確的是（ ）

A.W1≠W2P1≠P2

B.W1=W2P1=P2

C.W1=W2P1>P2

D.W1=W2P1

解析：已知AB=BC，根據(jù)W=Gh可知，物體在AB段和BC段重力所做的功大小相等，即W1=W2。

因小球在自由下落時(shí)做加速下落運(yùn)動(dòng)，由速度公式的變形式t=sv可知，小球在BC段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間短；由功率公式P=Wt可知，物體在AB段重力做功功率小于BC段重力做功功率，即P1

答案：D

例6.甲、乙兩人在相同的水平路面上，分別以1 m/s和0.5 m/s的速度將兩個(gè)完全相同的木箱沿直線勻速推動(dòng)了10 m。在此過(guò)程中，甲推木箱的力

（填“大于”“小于”或“等于”）乙推木箱的力；

（填“甲”或“乙”）做功的功率大。

解析：“相同的水平路面”，說(shuō)明木箱在兩種情況下受到的摩擦力相同；木箱在推力和摩擦力的作用下均做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由二力平衡的條件可知，人對(duì)木箱的推力相等，即甲推木箱的力等于乙推木箱的力。

由功率公式P=Wt和功的公式W=Fs、速度公式v=st可推導(dǎo)出：P=Wt=Fst=Fv，因甲、乙對(duì)木箱的推力相等，甲的速度大于乙的速度，故甲的功率大于乙的功率。

答案：等于 甲

例7.圖5是使用汽車(chē)打撈水下物體的示意圖。在物體從水底拉到井口的過(guò)程中，汽車(chē)以恒定速度向右運(yùn)動(dòng)，忽略水的阻力和滑輪的摩擦，圖6所示的汽車(chē)功率P隨時(shí)間t變化的圖象中，正確的是（ ）

解析：物體在水中受到拉力F、重力G和浮力F浮的作用，汽車(chē)以恒定速度向右運(yùn)動(dòng)，即物體上升的速度v不變，則F=G-F??；將物體逐漸拉出水面的過(guò)程中，浮力F浮=ρ水gV排減小，則拉力F增大；由功率公式的導(dǎo)出式P=Fv可知，v不變，故P在增大；當(dāng)物體完全在水面下和全部拉出水面以后，拉力不變，功率P也不變。

答案：C

例8.已知雨滴在空中豎直下落時(shí)所受空氣阻力與速度大小的二次方成正比，且不同質(zhì)量的雨滴所受空氣阻力與速度大小的二次方的比值相同?，F(xiàn)有兩滴質(zhì)量分別為m1和m2的雨滴從空中豎直下落，在落到地面之前均做勻速直線運(yùn)動(dòng)，那么在兩滴落地之前做勻速直線運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，其重力的功率之比為（ ）

A.m1∶m2 B.m1∶m2

C.m2∶m1 D.m31∶m32

解析：因雨滴落到地面前均做勻速直線運(yùn)動(dòng)，故雨滴所受的重力和空氣阻力是一對(duì)平衡力，即雨滴受到的阻力：f=mg=kv2，則雨滴的速度：v=mgk；由功率公式的導(dǎo)出式P=Fv可知，兩雨滴功率之比：P1P2=F1v1F2v2=m1gv1m2gv2=m1v1m2v2=m1·m1gkm2·m2gk=m31m32。

答案：D

【溫馨提示】若已知物體在力F的作用下，以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則力F做功的功率P=Wt=Fst=Fv（注意F和v同向）。利用功率公式的導(dǎo)出式P=Fv可方便地解答有關(guān)P、F、v的問(wèn)題，應(yīng)用該式判斷功率的大小時(shí)，先找出力的大小，再確定物體在該力的方向上的速度大小，然后分析比較。

四、功與功率的計(jì)算

根據(jù)功的公式W=Fs計(jì)算功，先明確研究對(duì)象，分析研究對(duì)象受到幾個(gè)力的作用；再弄清要求的是哪個(gè)力做功，分析該力的大小及在力的方向上移動(dòng)的距離的大小；然后代入功的公式計(jì)算。注意“F”和“s”的同體性、同向性和同時(shí)性。

根據(jù)功率的公式P=Wt計(jì)算功率，先由功的公式W=Fs求出功；再確定對(duì)應(yīng)的做功時(shí)間；然后代入功率的公式計(jì)算。有時(shí)可利用功率的導(dǎo)出式P=Fv計(jì)算功率，要注意力的大小必須與所對(duì)應(yīng)的速度相乘，絕對(duì)不能張冠李戴。

利用功、功率的公式的變形式可求出相關(guān)的其他物理量。

例9.如圖7所示，質(zhì)量為40 g的金屬小球從導(dǎo)軌的a處自由滑下，依次經(jīng)過(guò)b、c處，到達(dá)d處時(shí)恰好停下。在從a到b的過(guò)程中，重力做功為

J。（g取10 N/kg）

解析：利用重力公式求出小球所受的重力；再利用重力做功公式求出重力所做的功。

小球的重力：

G=mg=40×10-3 kg×10 N/kg=0.4 N

小球從a到b的過(guò)程中，重力做功：

W=Gh=0.4 N×0.5 m=0.2 J。

答案：0.2

【溫馨提示】計(jì)算重力做功，可分為兩種情況：

（1）物體在重力作用下自由下落或物體豎直向下運(yùn)動(dòng)，重力做功：W=Gh。

（2）物體沿斜面或其他非豎直路徑下滑，重力做功與具體路徑無(wú)關(guān)，只與物體豎直高度的變化有關(guān)，重力做功：W=Gh。

例10.一輛在水平路面上沿直線勻速行駛的貨車(chē)，行駛時(shí)所受的阻力為車(chē)總重的0.1倍，貨車(chē)（含駕駛員）空載時(shí)重為2.5×104 N。

（1）求貨車(chē)以36 km/h的速度空載勻速行駛時(shí)，10 s內(nèi)貨車(chē)牽引力做的功；

（2）當(dāng)貨車(chē)以90 kW的額定功率、90 km/h的速度勻速行駛時(shí)，求貨車(chē)最多可裝載多重的貨物。

解析：利用速度公式的變形式s=vt求出行駛路程；貨車(chē)空載勻速行駛時(shí)，牽引力與阻力為一對(duì)平衡力，F(xiàn)=f，利用阻力與車(chē)重的關(guān)系求出阻力f；再利用功的公式求出牽引力做的功；利用功率公式的導(dǎo)出式P=Fv求出牽引力，貨車(chē)勻速行駛時(shí)f=F，再利用阻力與車(chē)重的關(guān)系求出貨車(chē)總重，其最多可裝載的貨物的重等于貨車(chē)總重與空車(chē)重之差，進(jìn)而利用重力公式求出貨物質(zhì)量。

（1）貨車(chē)速度：v=36 km/h=36×13.6 m/s=10 m/s

10 s內(nèi)行駛的路程：

s=vt=10 m/s×10 s=100 m

貨車(chē)勻速行駛，牽引力：

F=f=0.1G=0.1×2.5×104 N=2.5×103 N

牽引力所做的功：

W=Fs=2.5×103 N×100 m=2.5×105 J

（2）貨車(chē)速度：

v'=90 km/h=36×13.6 m/s=25 m/s

由P=Wt=Fst=Fv可得，此時(shí)牽引力：

F'=Pv'=90×103 W25 m/s=3600 N

因貨車(chē)勻速行駛，故此時(shí)貨車(chē)受到的阻力：

f'=F'=3600 N

由f=0.1G可得，貨車(chē)總重：

G'=f'0.1=3600 N0.1=3.6×104 N

貨車(chē)最多可裝載貨物的重力：

G貨=G'-G=3.6×104 N-2.5×104 N=1.1×104 N

貨車(chē)最多可裝載貨物的質(zhì)量：

m貨=G貨g=1.1×104 N10 N/kg=1.1×103 kg=1.1 t

答案：（1）2.5×105 J （2）1.1 t

【溫馨提示】計(jì)算動(dòng)力做功及其功率時(shí)，要注意兩點(diǎn)：

（1）物體在動(dòng)力F的作用下，沿動(dòng)力F的方向上移動(dòng)的距離為s，則動(dòng)力F做功：W=Fs；動(dòng)力做功的功率：P=Wt=Fst。在已知阻力f的情況下，可利用二力平衡條件由阻力f而確定動(dòng)力F。

（2）若物體沿動(dòng)力F的方向以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)力F做功的功率：P=Fv。在計(jì)算題中，利用此式時(shí)應(yīng)有推導(dǎo)過(guò)程，即P=Wt=Fst=Fv。

例11.新建成的牛欄江引水濟(jì)昆工程，是將水從海拔較低的德澤水庫(kù)，引到海拔較高的盤(pán)龍江上游。每年對(duì)昆明提供5.67億立方米的水，耗電及相關(guān)運(yùn)行費(fèi)用已近10億元。所以，珍惜水資源是每一個(gè)市民應(yīng)盡的責(zé)任和義務(wù)。此工程是在德澤水庫(kù)庫(kù)區(qū)建泵站，將水泵入山坡高處的水池后，再自流回昆明。泵站的提水高度約220 m，每秒流過(guò)水流橫截面的水量是18 m3。在泵站提水過(guò)程中，水泵連續(xù)正常抽水1 h，水泵對(duì)水所做的功是

J，做功的功率是

W。（g取10 N/kg，ρ水=1.0×103 kg/m3）

解析：利用密度公式的變形式m=ρV求出水泵1 h抽水的質(zhì)量；水泵對(duì)水所做的功等于克服水的重力所做的功，利用公式W=Fs=Gh=mgh求出水泵對(duì)水所做的功；利用功率公式求出做功的功率。

由每秒流過(guò)水流橫截面的水量是18 m3可得，水泵1 h抽水的質(zhì)量：

m=ρVt=1.0×103 kg/m3×18 m3×3600 s=6.48×107kg

水泵對(duì)水所做的功：

W=Fs=Gh=mgh=6.48×107 kg×10 N/kg×220 m=1.425 6×1011 J

水泵對(duì)水做功的功率：

P=Wt=1.425 6×1011 J3600 s=3.96×107 W

答案：1.425 6×1011 3.96×107

【溫馨提示】對(duì)于“提升”類(lèi)問(wèn)題，將物體提升某一高度：

（1）計(jì)算克服重力所做的功時(shí)，克服重力做功：W=Gh=mgh。

（2）計(jì)算動(dòng)力所做的功（或人、機(jī)械對(duì)物體所做的功）時(shí)，若不能直接計(jì)算，可利用動(dòng)力做功與克服阻力所做功的關(guān)系求解，僅克服重力做功時(shí)，W=Fs=Gh=mgh；考慮克服阻力做功時(shí)，W=Fs=WG+Wf。

例12.小華參加體育中考的跳繩考試時(shí)，她在1 min內(nèi)連續(xù)跳了150次，獲得跳繩項(xiàng)目的滿分。已知小華的質(zhì)量為45 kg，跳起時(shí)重心升高的平均高度為4 cm，g取10 N/kg。求：

（1）小華跳一次所做的功；

（2）小華跳繩時(shí)的平均功率。

（3）若小明在1 min內(nèi)連續(xù)跳了100次，試問(wèn)：成績(jī)好的小華做功一定比小明多嗎？說(shuō)出你的理由。

解析：跳繩時(shí)人做的功等于克服自身重力所做的功。利用功的公式W=Gh求出跳一次做的功；跳一次做的功乘以跳的次數(shù)即為跳150次所做的功，再利用功率公式求出平均功率。

（1）跳繩一次所做的功：

W1=Fs=Gh=mgh=45 kg×10 N/kg×0.04 m=18 J

（2）跳繩150次所做的功：

W=nW1=150×18 J=2700 J

跳繩時(shí)的平均功率：

P=Wt=2700 J60 s=45 W

（3）相同時(shí)間內(nèi)做功多少與重力大小、跳起高度、次數(shù)有關(guān)，而本題中只明確了次數(shù)的關(guān)系，重力和高度的關(guān)系均不明確，無(wú)法得出明確的結(jié)論，所以成績(jī)好的小華，做功不一定多。

答案：（1）18 J （2）45 W （3）見(jiàn)解析

【溫馨提示】因每次跳起時(shí)重心升高的高度不盡相同，由跳起時(shí)重心升高的平均高度求得的功率即為平均功率。

例13.如圖8所示，用F=10 N水平拉力，使重為100 N的物體A，沿水平方向在1 s內(nèi)勻速直線運(yùn)動(dòng)了0.5 m，則物體受到地面的摩擦力為

N，拉力F的功率為W。

解析：物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)，動(dòng)滑輪對(duì)物體的拉力F'和物體受到地面的摩擦力是一對(duì)平衡力；有2段繩子承擔(dān)摩擦力，根據(jù)F=12f求出物體受到地面的摩擦力；繩子自由端移動(dòng)的距離是物體移動(dòng)距離的2倍，即s=2s'，根據(jù)功的公式求出拉力所做的功，再根據(jù)功率公式求出拉力的功率。

有2段繩子承擔(dān)物體所受的摩擦力，摩擦力：

f=2F=2×10 N=20 N

繩子自由端移動(dòng)的距離：

s=2s'=2×0.5 m=1 m

拉力所做的功：

W=Fs=10 N×1 m=10 J

拉力F的功率：

P=Wt=10 J1 s=10 W

答案：20 10

例14.如圖9所示，一滑輪下端懸吊一個(gè)重為50 N的物體，在拉力F的作用下使物體在2 s內(nèi)勻速上升了2 m，不計(jì)滑輪、繩的重力和摩擦，則拉力F=

N，滑輪上升的速度v=

m/s，拉力F所做的功W=

J。

解析：根據(jù)動(dòng)滑輪的特點(diǎn)由拉力F與物重G的關(guān)系求出拉力；利用速度公式求出滑輪上升的速度；利用功的公式求出拉力F所做的功。

根據(jù)動(dòng)滑輪的特點(diǎn)可知，拉力F=2G；拉力F移動(dòng)的距離是物體移動(dòng)距離的二分之一，滑輪在2 s內(nèi)移動(dòng)的距離為1 m。

拉力：F=2G=2×50 N=100 N

滑輪上升的速度：v=st=1 m2 s=0.5 m/s

拉力F所做的功：W=Fs=100 N×1 m=100 J

答案：100 0.5 100

【溫馨提示】對(duì)于“滑輪”類(lèi)問(wèn)題，無(wú)論水平使用還是豎直使用滑輪組，應(yīng)在弄清滑輪組的結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，找出拉力與阻力的關(guān)系和二力移動(dòng)距離的關(guān)系，水平使用時(shí)阻力為摩擦力，豎直使用時(shí)阻力為被提升重物（包括動(dòng)滑輪）的重力；根據(jù)這兩個(gè)關(guān)系，利用功的公式和功率公式進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。

例15.圖10是某種升降電梯工作原理圖，它由轎廂、配重、纜繩、滑輪和電動(dòng)機(jī)等部件組成，連接轎廂的兩根纜繩非?？拷I廂空載時(shí)的重量是3100 N，配重的重量是3000 N，某次電梯載貨量的重量是1000 N，當(dāng)電梯勻速上升15 m，所用的時(shí)間為10 s，不計(jì)纜繩重力和一切摩擦阻力，在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求：

（1）轎廂的速度大?。?/p>

（2）配重重力對(duì)配重做的功；

（3）電動(dòng)機(jī)的功率至少是多大？

解析：利用速度公式求出轎廂的速度；由圖可知，通過(guò)定滑輪拉轎廂，當(dāng)電梯上升15 m時(shí)，配重下降15 m，利用功的公式求出配重的重力對(duì)配重所做的功；分析轎廂受力確定電動(dòng)機(jī)對(duì)轎廂的拉力，利用功率公式的導(dǎo)出式P=Fv求出電動(dòng)機(jī)的功率。

（1）轎廂的速度：

v=st=15 m10 s=1.5 m/s

（2）配重下降的距離h=s，配重重力對(duì)配重做的功：

W=Gh=3000 N×15 m=4.5×104 J

（3）當(dāng)轎廂勻速上升時(shí)，轎廂豎直向下受到自身的重力和載貨的重力，豎直向上受到配重拉力和纜繩的拉力，則纜繩對(duì)轎廂的拉力：

F=G箱+G貨-G配重=3100 N+1000 N-3000 N=1100 N

電動(dòng)機(jī)的功率至少為：

P=Wt=Fst=Fv=1100 N×1.5 m/s=1650 W。

答案：（1）1.5 m/s （2）4.5×104 J （3）1650 W

【溫馨提示】電動(dòng)機(jī)的“至少”功率，是指“不計(jì)纜繩重力和一切摩擦阻力”情況下的功率。電動(dòng)機(jī)的實(shí)際功率一定大于這個(gè)“至少”功率，因?yàn)殡妱?dòng)機(jī)在工作過(guò)程中不可避免地要克服纜繩重力和摩擦阻力做功。