孫瀟萌+莊書(shū)楷

解答平面解析幾何題往往運(yùn)算量較大，而有時(shí)用平面幾何知識(shí)卻能減少運(yùn)算量，下面舉例說(shuō)明這一解題方法.

換元法在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

朱純剛

解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這種方法就是換元法.換元法在導(dǎo)數(shù)中有很好的運(yùn)用，很多復(fù)雜的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題需要用到換元法.本文就換元法在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用作一些探討.

1通過(guò)換元把多變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題

有些導(dǎo)數(shù)問(wèn)題含有多個(gè)變量，在構(gòu)成函數(shù)時(shí)需要將多個(gè)變量合成一個(gè)變量，從而將多元函數(shù)（方程）轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)（方程）求解.

2通過(guò)換元，簡(jiǎn)化函數(shù)表達(dá)式，便于求導(dǎo)運(yùn)算

有些導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中的函數(shù)表達(dá)式比較復(fù)雜，直接求導(dǎo)后形式更加復(fù)雜，很難判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性，但導(dǎo)函數(shù)的表達(dá)式中有些式子是重復(fù)出現(xiàn)的，這時(shí)可考慮換元，將函數(shù)表達(dá)式簡(jiǎn)化，再求導(dǎo).

3通過(guò)換元，建立函數(shù)之間的聯(lián)系

有些導(dǎo)數(shù)問(wèn)題涉及到多個(gè)函數(shù)，或者這些函數(shù)之間存在一定聯(lián)系，或者它們的導(dǎo)數(shù)之間存在一定聯(lián)系，或者其中一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與另外的函數(shù)之間存在一定聯(lián)系，這些聯(lián)系隱藏得比較深，很難發(fā)現(xiàn).通過(guò)換元可以發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系.

4通過(guò)換元引進(jìn)方程，構(gòu)造新的函數(shù)，建立變量之間的聯(lián)系

有的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，需要討論幾個(gè)沒(méi)有關(guān)聯(lián)的變量之間的關(guān)系，這就要通過(guò)換元引進(jìn)方程，建立變量之間的等量關(guān)系，再構(gòu)成函數(shù)求解.

換元法的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化.