張昆+羅增儒

【摘要】數(shù)學解題教學設計的關鍵在于依據(jù)數(shù)學知識發(fā)生的邏輯線索，偏向于學生數(shù)學知識發(fā)生的心理過程，并需要整合這兩者的優(yōu)勢，與此同時，對數(shù)學知識發(fā)生的心理過程保持足夠的重視.如此，才有可能最大限度地促進數(shù)學教育教學的高層次目標的實現(xiàn)，提高作為教育資源的數(shù)學知識的育人價值的基本保證.初職教師只有在這方面下苦功夫，才能獲得嫻熟的教學技藝.

【關鍵詞】數(shù)學高考；解題教學；教學設計；初職教師

對于高考復習解題教學，新一輪課改以來，受到了多項詬病，特別是將教學（技術）手段上的某些弊端無端地與解題教學價值及其實現(xiàn)目標混為一談，這其實有失公平公正.一方面，在數(shù)學新課程理念的實施過程中，偏重于利用數(shù)學的優(yōu)質教育資源，培養(yǎng)受教育者的創(chuàng)新能力；另一方面，不管是有意還是無意之中，或者不管我們承認還是不承認，從某種程度上說，高考也具有數(shù)學教育教學目標的成分，部分地發(fā)揮教學指揮棒作用.如此，高考數(shù)學命題與復習解題教學應該有意識地納入新課程數(shù)學教育教學的評價目標之中，而不能游離于數(shù)學新課程體系結構之外，如此，才能引領課程的實施的方向[1].本研究基于高師師范生與初職教師教學的現(xiàn)實，研究者試圖糾正對數(shù)學解題教學落后的手段與教學目標之間混淆與混亂的認識，從而達到厘清觀念、正本清源的目的.

1教學的示例

研究者在為高師大四師范生開設《數(shù)學教學論》這門課時，針對沒有教學經(jīng)驗的大四師范生，總是以現(xiàn)實中教師使用的課例為主要手段展開課堂討論活動，借此幫助大四師范生站穩(wěn)高中數(shù)學教學講臺，其中，高考復習解題教學尤為重要，構成了研究者《教學教學論》教學的重中之重，它不僅需要滲入數(shù)學課程等的理念、目標，更為重要的是將其作為大四師范生的數(shù)學教學入門向導.因此，本研究通過使用高三教師解題教學的現(xiàn)場錄像的途徑，只是為了行文表達的技術上需要，研究者在不改變授課教師原來設計所生成的教學環(huán)節(jié)及聯(lián)結這些環(huán)節(jié)中介的基礎上，在極少數(shù)地方作了細微的改動.

研究者對這種教學設計的缺陷加以簡要說明這種解法從對在結論中出現(xiàn)ln1+n的預期到通過變形所得到的⑥式，再到⑦的產(chǎn)生，這一系列的技術手段，一般學生不可能自行地產(chǎn)生，從現(xiàn)實的教學活動過程來看，都是由教師提供的，學生思維轉承啟合的速度都落在教師提供材料的后面.研究者了解到，出現(xiàn)這種結果的原因在于，教師基于這道高考題命題者所提供的答案，雖然教師通過自己的教學設計手段，對現(xiàn)成答案加以精心的改造，但是依然沒有達到啟發(fā)學生自行萌生這些思想的目標，致使教學活動成了教師提供學生接受的過程.由此可知，教師要仔細地研究問題，研究者多年解題的經(jīng)驗是，我們自己看懂高考題的參考答案，往往花費的時間比獨立思考解題的時間還要多.其實如果教師得到另一種比較簡單的思路，就可以啟發(fā)學生獨立地自己完成解答.

經(jīng)由討論修改后的教學設計

生1：如果獲得不等式的左邊前n項和的一個表達式，對問題的解決會帶來很多好處，可是，我經(jīng)過試探，很難找到這樣的一個表達式.

師：生1的這種想法，雖然在技術上我們難以得到執(zhí)行，但是，我們可以分析生1想法的來源.他可能是這樣想的：對于“不等號”（“等號”）也是一樣，它們所聯(lián)結的兩邊具有一種對等關系，他發(fā)現(xiàn)不等式①的這種形式不是對等的，加之以在“求簡”的數(shù)學觀念指令下，想到了求不等式①左邊的一個表達式.可惜，我們辦不到.怎么辦？

生2：我們可以倒著想，既然①不能直接相加得到一個結果，從而得到一個與①的右端形成一個對等的形式，那么，我想把①的右邊轉化為一個n項和的形式.但是，具體技術性操作我還沒有想好.

師：大家試探生2同學的這種觀念是否可以實現(xiàn)？

師：生3同學為“對等”的數(shù)學觀念的應用提供了現(xiàn)實性的“支點”，將兩個數(shù)列前n項和結果的大小比較可以轉化為這兩個數(shù)列相對應的項之間的大小比較，產(chǎn)生了以特殊駕馭一般（以點帶面）的手段，即將證明不等式①轉化為證明不等式②.不等式②其實不止一種想法，生3所選擇的是一種通常的數(shù)學觀念，也就是生3同學的想法利用（Ⅰ）、（Ⅱ）這兩問所得到的結果來證明不等式②成立.以此為基礎，大家可以驗證它嗎？

生4：對于函數(shù)f（x）=ax+bx+c（a>0），且b=a-1，c=1-2a，又且當a∈12，+∞時，f（x）≥ln x在1，+∞上恒成立，并且不難得到當x>1時，f（x）>ln x.取a=12，當x>1時，則有x2-12x>ln x③.為了構造ln1+1k，可以在③中，取x=k+1k，知k+12k-k2k+1>ln1+1k④.比較不等式②與④，知只要證明k+12k-k2k+1≥12k+12k+1就行了，我們不難算得k+12k-k2k+1=12k+12k+1，從而由④成立得到②成立[3].

這種教學設計通過滲透“對等”的數(shù)學觀念，形成了“逆向思維”，萌生“求繁意識”，成功地解決了問題.教師在解答問題時，出于自己專業(yè)領域與充足時間思考，對自己解答過程能夠充分反思，解題竅門的發(fā)現(xiàn)、方法的取得、思想的形成對解答新的具有相似的問題具有較大的幫助.教學中，教師就不能將 “研究”成果，用精煉的幾句話“交給”學生，而應當在由自己“千辛萬苦”所得來思路的最為關鍵之處設置出合適的問題情境，通過有限時間，引領學生自己“身臨其境”地構造思路的發(fā)現(xiàn)過程，使學生形成“情感”的投入，如此，在以后調用這些“經(jīng)驗”的時候，他們就會自然由那些“經(jīng)驗”氛圍而迅速提取有關知識.

授課教師講解時的教學設計

研究者對這種教學設計的缺陷加以簡要說明問題（Ⅱ）思路不等式⑤的獲得只是要構造已經(jīng)取得的不等式②是比較好理解的.關鍵問題在于問題（Ⅲ）中的不等式⑧的取得，就給人以神來之筆的感覺，教學中就應該仔細研究不等式⑧在學生心理上是如何發(fā)生的？于是，在教學設計時，關鍵環(huán)節(jié)就必須將這種說服他人的邏輯過程，轉化成解題思維環(huán)節(jié)中的學生心理發(fā)生過程，才能實現(xiàn)利用數(shù)學知識促人發(fā)展的價值.[4]如果從學生知識的心理發(fā)生上來審視這道題思路的出現(xiàn)，可以對這種教學設計作如下修正.

經(jīng)由討論修改后的教學設計針對問題（Ⅲ）中不等式⑧，構成了解決這道題的教學設計的關鍵環(huán)節(jié).處理好它就是審視問題的整體結構，在數(shù)學歸納法的“遞推步”中，如何處理a1b1a2b2…akbkak+1bk+1⑨就成了關鍵的問題，我們希望運用（Ⅱ）的結論不等式①這一知識框架來套用它，結合歸納條件，將式⑨寫成a1b1a2b2…akbkak+1bk+1⑩，將式⑩括號內的a1b1a2b2…akbk看出一個因式，即不等式①中的a1b1，則ak+1bk+1就是不等式①中的a2b2，由b1+b2=1，因此，我們首先給a1b1a2b2…akbk賦予一個指數(shù)1-bk+1，從而構成了bk+1+（1-bk+1）=1，于是，構造出了所需要的條件.下面，根據(jù)冪的乘方法則，可以得到a1b1a2b2…akbkak+1bk+1=a1b11-bk+1a2b21-bk+1…akbk1-bk+11-bk+1ak+1bk+1⑧，我們就是如此引導學生從心理上構造出了等式⑧，如此，就將⑩轉化成了等式⑧的右端，它就適應了知識框架不等式①.

研究者通過對式⑩的結構分析，將式⑩化歸成不等式①，就必然要構造出不等式①的重要條件特征b1+b2=1.在此觀念的指導下行動，進行了一系列的構造，完成了從解題過程中數(shù)學知識的邏輯性的發(fā)生轉化成了學生數(shù)學知識心理過程的發(fā)生.

2簡要的結論

從這兩個例子中發(fā)現(xiàn)，數(shù)學解題教學設計的關鍵之處，在于依據(jù)數(shù)學知識發(fā)生的邏輯線索，偏向于學生數(shù)學知識發(fā)生的心理過程，并需要整合這兩者的優(yōu)勢，與此同時，對數(shù)學知識發(fā)生的心理過程保持足夠的重視.[5]如此，才有可能最大限度地促進數(shù)學教育教學的高層次目標的實現(xiàn)，提高作為教育資源的數(shù)學知識的育人價值的基本保證.對數(shù)學學習者而言，這種對解題關鍵環(huán)節(jié)的解釋極有意義，他要從自己的意識結構機能出發(fā)，通過艱苦的探究活動，生成了觀念，即心理意義的解釋自然流暢，觀念的形成就使這種邏輯過程轉化為意識機能中的一個項目，為“觀念的再生”創(chuàng)造了條件，于是，它變成了干預新的客觀數(shù)學活動（設計操作程序）的因素.這種從心理上探求解題思路來源，實現(xiàn)了“能產(chǎn)性思考”[6].對此，我們高師數(shù)學師范生與初職數(shù)學教師應該思之再思，慎之又慎！

參考文獻

[1]羅增儒.心路歷程：認識、反思、拓展[J].中學數(shù)學教學參考（上旬刊），2007（9）：24-28.

[2]張昆，張乃達.集中條件：數(shù)學解題的關鍵——教學設計的視角[J].中學數(shù)學（高中），2016（2）：10.

[3]張昆.數(shù)學解題教學設計的創(chuàng)新實踐——基于“美學”的視點[J].數(shù)學教學學報，2015（5）：41-45.

[4]張昆.滲透數(shù)學觀念促進深度遷移——基于發(fā)掘蘊藏于知識中的教育價值探討[J].中國數(shù)學教育（高中版），2012（5）：6-9.

[5]張昆.整合數(shù)學教學設計的取向——基于知識發(fā)生的邏輯取向與心理取向的研究[J].中國教育學刊，2011（6）：52-55.

[6][美]喬治·波利亞.數(shù)學的發(fā)現(xiàn)——對解題的理解、研究和講授（第二卷）[M].劉遠圖，秦章譯.北京：科學出版社，1987：474.