甘超一

1公元紀(jì)年法

現(xiàn)行的公元紀(jì)年法是從耶穌出生之年算起，這一年以前的年份叫公元前某年，以后的年份叫公元某年.但應(yīng)該注意，沒有公元0年這一年.我國是從1949年中華人民共和國成立之后采用公元紀(jì)年的，比如今年是公元2017年（可簡記為2017年）.

因?yàn)闆]有公元0年，所以本文把公元前1，2，3，…，n，…年分別記作公元0，-1，-2，…，1-n，…年.因而，在下文中的公元n（n∈Z）年中都有意義.

2干支紀(jì)年法

中國自古便有十天干（即甲，乙，丙，丁，戊，己，庚，辛，壬，癸）與十二地支（即子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥）的說法.天干地支紀(jì)年法（簡稱干支紀(jì)年法），是把天干中排奇數(shù)號的（即甲，丙，戊，庚，壬）與地支中排奇數(shù)號的（即子，寅，辰，午，申，戌）任意搭配，但天干在前地支在后（比如甲子，甲寅等等）；或把天干中排偶數(shù)號的（即乙，丁，己，辛，癸）與地支中排偶數(shù)號的（即丑，卯，巳，未，酉，亥）任意搭配，也是天干在前地支在后.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，奇數(shù)號的搭配是5·6種情形，偶數(shù)號的搭配也是5·6種情形.所以在干支紀(jì)年法中，共有5·6·2即60種情形.這60種情形的前后順序就是干支紀(jì)年法的一個周期（也叫一甲子），即下面6行10列的表1：

表1中的“甲子”、“乙丑”、…、“癸亥”就表示干支甲子年（可簡記為甲子年）、乙丑年、…、癸亥年，數(shù)字1，2，…，60分別表示相應(yīng)干支紀(jì)年的代號.因?yàn)楦芍Ъo(jì)年法是呈周期變化的，所以癸亥年的后一年是甲子年，甲子年的前一年是癸亥年.

3記號

在本文中，把自然數(shù)n被10除所得的余數(shù)即n的個位數(shù)記作（n）10，可得（n）10=0，1，2，…，或9；把自然數(shù)n被12除所得的余數(shù)記作（n）12，可得（n）12=0，1，2，…，或12.

對于已知的整數(shù)m，可得存在唯一的整數(shù)k及自然數(shù)r（r≤10），使得m=10k+r，在本文中把這里的r記為（m）10；同理還可得（m）12的含義.

4把公元紀(jì)年轉(zhuǎn)換成干支紀(jì)年

因?yàn)楦芍Ъo(jì)年甲子年、乙丑年、…、癸亥年中的“甲子”、“乙丑”、…、“癸亥”都是漢字，所以欲把它們與公元紀(jì)年之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，必須先把“甲子”、“乙丑”、…、“癸亥”這些漢字轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的數(shù)字.我們規(guī)定十天干與十二地支對應(yīng)的數(shù)字分別是下面的表2、表3：

這樣，甲子年、乙丑年、…、癸亥年就可分別用有序數(shù)對（4，4），（5，5）， …，（3，3）來表示，得到下面的表4（可以查得公元1804年是甲子年即干支1年，由60年一甲子可得公元4年也是干支甲子年.再得公元5年是干支乙丑年等等）：

由表4可發(fā)現(xiàn)下面的結(jié)論：

公元n（n=1，2，…，60）年是干支GZ年，其中G是n的個位數(shù)在表2中對應(yīng)的天干，Z是n被12除所得的余數(shù)在表3中對應(yīng)的地支.

再由一甲子是60年及第3節(jié)中約定的記號，可得把公元紀(jì)年轉(zhuǎn)換成干支紀(jì)年的算法是：

定理1公元n（n∈Z）年是干支GZ年，其中G是（n）10在表2中對應(yīng)的天干，Z是（n）12在表3中對應(yīng)的地支.

例1把公元2000，2050，3000年及公元前1001年分別轉(zhuǎn)換成干支紀(jì)年.

解當(dāng)n=2000時，可得（n）10=0，（n）12=8.0在表2中對應(yīng)的天干是庚，8在表3中對應(yīng)的地支是辰，所以公元2000年是庚辰年.

當(dāng)n=2050時，可得（n）10=0，（n）12=10.進(jìn)而可得公元2050年是庚午年.

當(dāng)n=3000時，可得（n）10=0，（n）12=0.進(jìn)而可得公元3000年是庚申年.

公元前1001年即公元-1000年，當(dāng)n=-1000時，可得（n）10=0，（n）12=8.進(jìn)而可得公元前1001年是庚辰年.

由一甲子是60年，可得公元前1001年即公元-1000年與公元20年有相同的干支紀(jì)年. 當(dāng)n=20時，可得（n）10=0，（n）12=8.進(jìn)而可得公元前1001年是庚辰年.

5把干支紀(jì)年轉(zhuǎn)換成公元紀(jì)年

下面由干支GZ年（其中天干G在表2中對應(yīng)的數(shù)字是g（g=0，1，2，…，9），地支Z在表3中對應(yīng)的數(shù)字是z（z=0，1，2，…，11），請注意g與z同是奇數(shù)或同是偶數(shù)）來求出其對應(yīng)的公元n（n∈Z）年，即已知g，z求n.

由一甲子是60年可知，若求出了一個n的值是n0，則所有n的值為60k+n0（k∈Z），所以問題的關(guān)鍵是求出n的某一個值，使得公元n年是干支GZ年.

由表4的第7列可得，當(dāng)g=0，z=0，2，4，6，8，10時，n的一個值可以分別是60，50，40，30，20，10，進(jìn)而可得此時n的一個值可以是6g-5z；

由表4的第8列可得，當(dāng)g=1，z=1，3，5，7，9，11時，n的一個值可以分別是61，51，41，31，21，11，進(jìn)而可得n的一個值可以是6g-5z；

由表4的第9列可得，當(dāng)g=2，z=0，2，4，6，8，10時， n的一個值可以分別是72，62，52，42，32，22，進(jìn)而可得n的一個值可以是6g-5z；

由表4的第10列可得，當(dāng)g=3，z=1，3，5，7，9，11時， n的一個值可以分別是73，63，53，43，33，23，進(jìn)而可得n的一個值可以是6g-5z；

由表4的第1列可得，當(dāng)g=4，z=0，2，4，6，8，10時， n的一個值可以分別是84，74，64，54，44，34，進(jìn)而可得n的一個值可以是6g-5z；

……

由表4的第6列可得，當(dāng)g=9，z=1，3，5，7，9，11時， n的一個值可以分別是109，99，89，79，69，59，進(jìn)而可得n的一個值可以是6g-5z.

所以由已知的g與z，可得n的一個值可以是6g-5z.

進(jìn)而可得把公元紀(jì)年轉(zhuǎn)換成干支紀(jì)年的算法是：

定理2干支GZ年（其中天干G在表2中對應(yīng)的數(shù)字是g（g=0，1，2，…，9），地支Z在表3中對應(yīng)的數(shù)字z（z=0，1，2，…，11）是公元60k+6g-5z（k∈Z）年.

例2在19世紀(jì)末到20世紀(jì)初的中國歷史上發(fā)生了甲午戰(zhàn)爭、戊戌變法、庚子賠款、辛丑條約、 癸卯學(xué)制、辛亥革命這些歷史事件，請問它們分別發(fā)生于公元哪一年？

解用定理2來求解.

（1）由表2及表3可得g=4，z=10，再得甲午年是公元60k-26（k∈Z）年，進(jìn)而可得甲午戰(zhàn)爭發(fā)生在1894年.

（2）由表2及表3可得g=8，z=2，再得戊戌年是公元60k+38（k∈Z）年，進(jìn)而可得戊戌變法發(fā)生在1898年.

（3）由表2及表3可得g=0，z=4，再得庚子年是公元60k-20（k∈Z）年，進(jìn)而可得庚子賠款發(fā)生在1900年.

（4）由表2及表3可得g=1，z=5，再得辛丑年是公元60k-19（k∈Z）年，進(jìn)而可得辛丑條約發(fā)生在1901年.

（5）由表2及表3可得g=3，z=7，再得癸卯年是公元60k-17（k∈Z）年，進(jìn)而可得癸卯學(xué)制發(fā)生在1903年.

（6）由表2及表3可得g=1，z=3，再得辛亥年是公元60k-9（k∈Z）年，進(jìn)而可得辛辛亥革命發(fā)生在1911年.

注?。┌烟旄?、地支分別按表2、表3轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的數(shù)字，會使公元紀(jì)年與干支紀(jì)年之間的轉(zhuǎn)換（即上述定理1、定理2）比較簡潔.

起初，筆者是按照下面的表5、表6來轉(zhuǎn)換的：

ⅱ）本文研究的方法是“發(fā)現(xiàn)規(guī)律”和“數(shù)學(xué)建模”.用同樣的方法還可研究公歷日期與農(nóng)歷日期、公歷日期與星期幾、農(nóng)歷日期與星期幾之間的轉(zhuǎn)換.