高觀點(diǎn)下的二階線性遞歸數(shù)列通項(xiàng)公式求法初探

冶亞茹

【摘要】 遞推公式是認(rèn)識(shí)數(shù)列的一種重要形式，是給出數(shù)列的基本方式之一.根據(jù)遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式是高考考查的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，而二階線性遞歸數(shù)列求通項(xiàng)公式更是一個(gè)難點(diǎn).本文從線性代數(shù)和數(shù)學(xué)分析的角度審視這個(gè)問(wèn)題，分別用特征方程法和母函數(shù)方法對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行求解.

【關(guān)鍵詞】 二階線性遞歸數(shù)列；特征方程法；母函數(shù)方法

一、二階線性遞歸數(shù)列

定義1 若數(shù)列{an}滿足遞歸方程

an+2=p1an+1+p2an，n∈ N +， （1）

（其中p1，p2是常數(shù)，p2≠0），則稱{an}為二階線性（齊次）遞歸數(shù)列.當(dāng)已知它的第一項(xiàng)a1與第二項(xiàng)a2時(shí)，可以求出它的通項(xiàng)公式.

二、特征方程法

定義2 記x2=p1x+p2為（1）式的特征方程，它的根稱為特征值.

對(duì)于形如（1）式的遞歸數(shù)列，用特征方程法求通項(xiàng)公式步驟如下：

①寫(xiě)出特征方程并求出對(duì)應(yīng)方程的根；

②若對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)不同實(shí)根或共軛復(fù)根x1，x2，則{an}通項(xiàng)公式為an=c1xn1+c2xn2，其中c1，c2由初始值a0，a1來(lái)唯一確定，即由方程組

c1+c2=a0，c1x1+c2x2=a1 確定；

③當(dāng)特征方程有二重根x時(shí)，{an}通項(xiàng)公式為an=（c1+nc2）xn，其中c1，c2同樣由初始值a1，a2來(lái)唯一確定.

三、母函數(shù)方法

定義3 任給一個(gè)無(wú)窮數(shù)列{an}，相應(yīng)地構(gòu)造一個(gè)形式冪級(jí)數(shù)

f（x）=∑∞n=0anxn， （2）

則稱f（x）為數(shù)列{an}的母函數(shù)（這里把數(shù)列的母函數(shù)形式上看作是冪級(jí)數(shù)，也就是我們的討論不涉及冪級(jí)數(shù)的收斂性）.

對(duì)于形如（1）式的遞歸數(shù)列，用母函數(shù)法求通項(xiàng)公式步驟如下：

①構(gòu)造數(shù)列{an}的母函數(shù)f（x）；

②分別用-p1x，-p2x2乘母函數(shù)兩端得到如下兩式：

將（2）（3）（4）合并整理，得到一個(gè)關(guān)于f（x）的分式方程；

③將所得分式方程重新展開(kāi)表示為形式冪級(jí)數(shù)，再整理變形，其中xn的系數(shù)便是所要求的數(shù)列通項(xiàng)an.

四、實(shí)例應(yīng)用

在中學(xué)數(shù)學(xué)里，二階線性遞歸數(shù)列的通項(xiàng)公式主要是通過(guò)待定系數(shù)法來(lái)構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列，運(yùn)算過(guò)程復(fù)雜且需要一定的技巧性才能最終求得通項(xiàng)公式.而特征方程法和母函數(shù)方法使得此問(wèn)題的求解程序化.實(shí)質(zhì)上，母函數(shù)在處理數(shù)列、排列、組合、概率等問(wèn)題中也有著廣泛的應(yīng)用，不僅如此，其他高等數(shù)學(xué)類課程，如幾何學(xué)、近世代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)等對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作所發(fā)揮的作用也是十分明顯的.因此，在以后的教學(xué)工作中，應(yīng)關(guān)注高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的“下靠”與“上聯(lián)”問(wèn)題，居“高等數(shù)學(xué)之高”去臨“中學(xué)數(shù)學(xué)之下”，切實(shí)提高教學(xué)研究水平.

【參考文獻(xiàn)】

[1]李三平.高觀點(diǎn)下的中學(xué)數(shù)學(xué)[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2013.

[2]胡炳生，吳俊，王佩瑾，孫國(guó)漢.現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀下的中學(xué)數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1999.