正態(tài)分布概率的機器計算

李沁杭

摘要：為了彌補傳統(tǒng)正態(tài)分布概率查表計算的局限性，本文根據(jù)定積分的極限定義，融合計算機的快速計算能力，設計和實現(xiàn)正態(tài)分布機器計算。數(shù)據(jù)仿真表明本文提出的機器計算精度達到了工程要求。

關鍵詞：正態(tài)分布；概率；機器計算

1.引言

由大數(shù)定理和中心極限定理可知[1]，自然界的許多隨機變量均可由正態(tài)分布來模擬。如醫(yī)學中同質群體的身高、紅細胞數(shù)、血紅蛋白量均呈現(xiàn)正態(tài)或近似正態(tài)分布，實驗中的隨機誤差也可按正態(tài)分布規(guī)律處理。正態(tài)分布是一個在數(shù)學、物理及工程等領域都非常重要的概率分布，甚至在統(tǒng)計學的許多方面存在重大的影響力。

連續(xù)性正態(tài)分布的密度函數(shù) 為：

（1）

式中表示隨機變量，是隨機變量均值，是隨機變量的方差。正態(tài)分布的密度函數(shù)的特點是：關于對稱且在該處最大值，在正（負）無窮遠處取值為0，在處有拐點， 它的形狀是中間高兩邊低。當是為標準正態(tài)分布，如圖1所示。服從正態(tài)分布的隨機變量的概率規(guī)律為：鄰近的概率大，而遠離的概率越小；越小，分布集中在附近，反之，分布越分散。

對于標準正態(tài)分布概率計算常常采用查表計算方法，正態(tài)分布的概率計算一般使用將原來的分布轉化為標準正態(tài)分布利用查表進行計算。

傳統(tǒng)查表計算正態(tài)分布概率必須具有標準正態(tài)分布表，同時需要人為進行必要的的計算。上述因素使得傳統(tǒng)計算方法效率較低，為了彌補這些不足，本文運用定積分的極限定義，結合計算機的快速計算能力，實現(xiàn)正態(tài)分布概率的快速計算。

2.機器計算

設隨機變量服從期望為方差為 的正態(tài)分布，隨機變量在區(qū)間的概率：

（2）

（2）無法運用牛頓積分法得到其解析解。本文運用定積分的極限定義[2]，將區(qū)間等間隔劃分為個子區(qū)間，如圖2所示。運用矩形面積逼近（2）式：

（3）

（3）式的取值決定了得精度，越大，其精度越高，但計算量較大。

在實際應用中，除了計算區(qū)間的概率外，還存在和兩種概率的計算，由于計算無法對進行數(shù)值計算，本文根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，將的概率轉化為：

（4）

同理可得

（5）

3.實驗仿真

為了驗證本文算法的有效性，在1.6GHz主頻CPU和4G RAM的個人計算機上，運用C語言編程實現(xiàn)[3]，本文未采用任何優(yōu)化計算，對服從標準正態(tài)分布的任意區(qū)間概率進行計算，并與人工查表計算相比較，部分結果如表1所示。本文算法的運行時間較短，其中最大為2.710ms。相對于人工計算，本文算法最大相對誤差為0.877%，滿足工程要求。

為了進一步驗證本文算法的有效性，對服從期望為方差為 的正態(tài)分布的任意區(qū)間概率進行計算，并與人工查表計算相比較，部分結果如表2所示。本文算法的運行時間較短，其中最大為2.882ms。相對于人工計算，本文算法最大相對誤差為0.961%，滿足工程要求。

4.結論

傳統(tǒng)查表計算正態(tài)分布概率必須具有標準正態(tài)分布表，效率較低，同時需要人為進行必要的的計算。為了彌補為了彌補傳統(tǒng)正態(tài)分布概率查表計算的局限性這些不足，本文運用定積分的極限定義，結合計算機的快速計算能力，實現(xiàn)正態(tài)分布概率的快速計算。仿真結果表明，本文算法的計算效率較高，且計算精度滿足工程要求。

參考文獻：

[1]劉紹學 普通高中課程標準試驗教科書 數(shù)學選修2-3 人民教育出版社，2009年4月第3版 2015年6月成都第7次印刷

[2]劉紹學 普通高中課程標準試驗教科書 數(shù)學選修2-2 人民教育出版社，2007年1月第2版 2015年5月成都第7次印刷

[3]譚浩強 C程序設計（第四版）清華大學出版社 2012年07月