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      關(guān)于Pell方程x2-18y2=1與y2-Pz2=16公解的研究

      2017-03-30 11:01:51
      關(guān)鍵詞:先存偶數(shù)正整數(shù)

      趙 建 紅

      (麗江師范高等專科學校數(shù)學與計算機科學系,云南 麗江 674199)

      關(guān)于Pell方程x2-18y2=1與y2-Pz2=16公解的研究

      趙 建 紅

      (麗江師范高等??茖W校數(shù)學與計算機科學系,云南 麗江 674199)

      目的 Pell方程的公解是數(shù)論中的一個重要問題。設(shè)P=2p1…ps(1≤s≤4),p1,…,ps(1≤s≤4)是互異的奇素數(shù),關(guān)于Pell方程組x2-18y2=1與y2-Pz2=16的整數(shù)解的初等解法至今仍未解決。方法 主要利用同余的性質(zhì)、Pell方程解的性質(zhì)和遞歸序列等方法。結(jié)果 得出Pell方程組x2-18y2=1與y2-Pz2=16僅當D=2×577時有非平凡公解(x,y,z)=(±19601,±4620,±136)。結(jié)論 推進了該類Pell方程組整數(shù)解的研究。

      Pell方程;公解;整數(shù)解;同余;遞歸序列

      Pell方程

      x2-D1y2=m(D1∈Z+,m∈Z)與y2-D2z2=m(D2∈Z+,m∈Z)

      (1)

      是一類重要的方程,其公解問題一直受到數(shù)論愛好者的關(guān)注。目前主要結(jié)論集中在m=1,n=1及m=1,n=4,具體詳見文獻[1~8]。

      m=1,n=16時Pell方程(1)成為:

      x2-D1y2=1與y2-D2z2=16

      (2)

      關(guān)于Pell方程(2)的公解的情況,目前無相關(guān)結(jié)果。本文主要討論D1=5,D2為偶數(shù)時Pell方程(2)的公解的情況,

      即方程

      x2-18y2=1 與y2-D2z2=16

      (3)

      公解的情況。

      1 關(guān)鍵性引理

      引理2[10]當a>0且是一個平方數(shù)時,方程ax4-by2=1至多只有一組正整數(shù)解。

      引理3[11]若D是一個非平方的正整數(shù),則方程x2-Dy4=1至多有1組正整數(shù)解(x,y),而且方程恰有2組正整數(shù)解的充要條件是D=1785或D=28560或2x0和y0都是平方數(shù),這里的(x0,y0)是方程x2-Dy2=1的基本解。

      證明 設(shè)(xn,yn),n∈Z是Pell方程x2-18y2=1的整數(shù)解,若xn=a2,代入方程x2-18y2=1得a4-18y2=1。由引理1知,方程a4-18y2=1僅有平凡解(a,y)=(±1,0),此時xn=1,從而n=0;反之,顯然。

      2 定理及證明

      定理 設(shè)P=2p1…ps(1≤s≤4),p1,…,ps(1≤s≤4)是互異的奇素數(shù),

      則Pell方程

      x2-18y2=1與y2-Pz2=16

      (4)

      當D=2×577時有非平凡公解(x,y,z)=(±19601,±4620,±136)和平凡公解(x,y,z)=(±17,±4,0);當D≠2×577時僅有平凡公解(x,y,z)=(±17,±4,0)。

      (5)

      由(4)式得

      Pz2=ym+1ym-1

      (6)

      設(shè)(x1,y1)為Pell方程x2-18y2=1的基本解,則有(x1,y1)=(17,4),故Pell方程x2-18y2=1的全部整數(shù)解為:

      容易驗證以下性質(zhì)成立:

      (Ⅰ)xn≡1(mod2),x2n≡±1(mod17) ,x2n+1≡0(mod17);

      (Ⅱ)y2n+1≡4(mod),y2n≡0(mod17),y2n+1≡±4(mod17);

      (Ⅲ)gcd(xn,yn)=1,gcd(xn,xn+1)=1,gcd(yn,yn+1)=4;

      (Ⅳ)gcd(x2n,y2n+1)=gcd(x2n+2,y2n+1)=1,gcd(x2n+1,y2n)=gcd(x2n+1,y2n+2)=17;

      (Ⅴ)xn+2=34xn+1-xn,x0=1,x1=17;yn+2=34yn+1-yn,y0=0,y1=4。

      情形1m為偶數(shù)

      則(6)式為

      (7)

      (7)式右邊為平方數(shù)的奇數(shù)倍。又P=2p1…ps(1≤s≤4),p1,…,ps(1≤s≤4)是互異的奇素數(shù),則(7)式左邊為平方數(shù)的偶數(shù)倍,顯然矛盾,故(7)式不成立,此時Pell方程(4)無公解。

      情形2m為奇數(shù)

      令m=2k+1,K∈Z則(7)式為

      Pz2=y2ky2(k+1)

      (8)

      由y2k=2xkyk,y2(k+1)=2xk+1yk+1知,

      (8)式可化為

      Pz2=4xk+1yk+1xkyk

      (9)

      情形2.1k為偶數(shù)

      令k=2l,l∈Z,此時(9)式為

      Pz2=4x2l+1y2l+1x2ly2l

      (10)

      由y2l=2xlyl知,(10)式可化為

      Pz2=8x2l+1y2l+1x2lxlyl

      (11)

      (12)

      l=1時,由(Ⅴ)式知,(11)式為Pz2=8x1x2x3y1y3=8×4×17×577×4620×19601=27×5×7×11×172×577×1153,則P=2×3×5×7×11×577×1153,z=8×17,與“P=2p1…ps(1≤s≤4),p1,…,ps(1≤s≤4)是互異的奇素數(shù)”相矛盾,故此時方程(11)無整數(shù)解,因此Pell方程(4)無公解。

      情形2.2 為奇數(shù)

      仿情形2.1的證明可知此情形Pell方程(4)僅有平凡公解(x,y,z)=(±17,±4,0)。

      綜上所述,定理得證。

      [1]Ljunggren W.Littom Simultane Pellske Ligninger[J].Norsk Mat Tidsskr,1941,(23):132-138.

      [2]胡永忠,韓清.也談不定方程組x2-2y2=1與y2-Dz2=4[J].華中師范大學學報:自然科學版,2002,36(01):17-19.

      [3]管訓貴.關(guān)于Pell方程x2-2y2=1與y2-Dz2=4的公解[J].華中師范大學學報:自然科學版,2012,46(03):267-269+278.

      [4]賀臘榮,張淑靜,袁進.關(guān)于不定方程組x2-6y2=1,y2-Dz2=4[J].云南民族大學學報:自然科學版,2012,21(01):57-58.

      [5]杜先存,管訓貴,楊慧章.關(guān)于不定方程組x2-6y2=1與y2-Dz2=4的公解[J].華中師范大學學報:自然科學版,2014,48(03):5-8.

      [6]杜先存,李玉龍.關(guān)于不定方程x2-6y2=1與y2-Dz2=4的公解[J].安徽大學學報:自然科學版,2015,39(06):19-22.

      [7]過靜,杜先存.關(guān)于不定方程x2-12y2=1與y2-Dz2=4的解[J].數(shù)學的實踐與認識,2015,45(09):289-293.

      [8]過靜,杜先存.關(guān)于Pell方程x2-30y2=1與y2-Dz2=4的公解[J].數(shù)學的實踐與認識,2015,45(01):309-314.

      [9]朱衛(wèi)三.x4-Dy2=1有解的充要條件[J].數(shù)學學報,1998,28(05):681-683.

      [10]樂茂華.一類二元四次不定方程[J].云南師范大學學報:自然科學版,2010,30(01):12-17.

      [11]Walsh G.A note on a theorem of Ljunggren and the Diophantine equationsx2-kxy2+y4=1 orx2-kxy2+y4=4 [J].Arch Math,1999,73(2):501-514.

      [責任編輯:關(guān)金玉 英文編輯:劉彥哲]

      Common Solution to Pell Equationsx2-18y2=1 andy2-Pz2=16

      ZHAO Jian-hong

      (Department of Mathematics and Computer Science,Lijiang Teachers College,Lijiang,Yunnan 330013,China)

      Objective The common solution to Pell equations is a very important problem of Number theory.LetP=2p1…ps(1≤s≤4),whereps(1≤s≤4) are distinct odd primes,the common solution to Pell equations ofx2-18y2=1 andy2-Pz2=16 still remains unresolved.Methods Congruence,some properties of the solutions to Pell equation and recursive sequence were used.Result The Pell equations in the title have two nontrival common solutions only whenD=2×577.Conclusion These results promote the study of the kind of Pell equations.

      Pell equation;common solution;integer solution;congruence;recursive sequence

      云南省教育廳科研基金項目(2014Y462);紅河學院校級課題(XJ15Y22)

      趙建紅(1981-),男,云南巍山人,副教授,碩士,研究方向:數(shù)學教育及數(shù)論。

      O 156.1

      A

      10.3969/j.issn.1673-1492.2017.01.001

      來稿日期:2016.06.20

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