如此等效錯在哪里?

馬繼云

(北京大學(xué)附屬中學(xué),北京 100190)

如此等效錯在哪里?

馬繼云

(北京大學(xué)附屬中學(xué),北京 100190)

“同性電荷相斥,異性電荷相吸”一直是我們在講解電荷間相互作用時的一個結(jié)論性總結(jié),它有沒有使用的局限性呢?本文根據(jù)中學(xué)階段一道常見的帶電導(dǎo)體球間的相互作用為例,通過電荷等效分析了不同的材質(zhì)球間的相互作用問題,發(fā)現(xiàn)該結(jié)論實際是有使用條件的,從而進一步體現(xiàn)出物理規(guī)律的使用范圍和使用條件的嚴謹性,不能隨意地等效和擴展類推．

導(dǎo)體球； 感應(yīng)電荷； 鏡像電荷； 庫侖定律

在靜電場部分,考查庫侖定律的題目中時常有這類問題出現(xiàn),兩個帶電導(dǎo)體球位置較近時討論它們間的庫侖力,目的是考查庫侖定律的適用條件以及等效思想的應(yīng)用．可是實際上這類題目在中學(xué)階段的解答是有問題的,或是需要一定的限制條件的．下面以一道題目為例說明這類問題分析時到底錯在哪里．

有一個帶正電的點電荷與一個帶等電量的導(dǎo)體球,它們相距較近且位置保持不變,設(shè)它們帶同種電荷時它們間的靜電力為F1,它們帶異種電荷(電荷量大小不變)時它們間的靜電力為F2,則F1和F2大小關(guān)系是

(A)F1=F2. (B)F1>F2.

(C)F1

該題答案為選項(C).分析認為由于點電荷與導(dǎo)體球靠得較近,所以導(dǎo)體球不可以直接當成點電荷處理,又考慮到電荷間同性相斥、異性相吸的作用規(guī)律,所以導(dǎo)體球帶同性電荷時,等效電荷間的距離d′要大于球心間距d,如圖1所示;同理,導(dǎo)體球帶異性電荷時,等效電荷間的距離d′要小于球心間距d,如圖2所示．

圖1 導(dǎo)體球與點電荷帶同種電荷

圖2 導(dǎo)體球與點電荷帶異種電荷

該題的分析乍一看很有道理,我們知道均勻帶電球可以等效為電荷量集中在球心的點電荷,由于題目中的帶電球是導(dǎo)體球,因此當有其他電荷存在時導(dǎo)體球表面的電荷不再是均勻分布,那么等效電荷要偏離球心是理所當然的事情．可是其中忽略了一個重要問題,那就是導(dǎo)體球在電場中的靜電感應(yīng)現(xiàn)象,也就是說上面這個問題實際上并不是剛才分析的那么簡單,還應(yīng)該考慮感應(yīng)電荷的影響．下面,我們將從簡單到復(fù)雜逐一分析這個問題．

首先,假設(shè)有一個帶正電的點電荷Q和一個半徑為R的導(dǎo)體球,點電荷到導(dǎo)體球球心距離為r.

問題1:如果將導(dǎo)體球接地,導(dǎo)體球與點電荷間的靜電力F的表達式是怎樣的呢?

由于導(dǎo)體球處于點電荷Q的靜電場中,所以會在導(dǎo)體球表面靠近點電荷的一側(cè)出現(xiàn)異性感應(yīng)電荷,設(shè)電荷量為q．由于導(dǎo)體球被接地,則導(dǎo)體球球面上電勢為0,利用邊界條件(導(dǎo)體球的表面電勢為0)和鏡像法,[1]可以知道在導(dǎo)體球表面的感應(yīng)電荷可以等效為一個點電荷(稱為鏡像電荷),其位置到導(dǎo)體球球心的距離d為R2r,鏡像電荷是電荷量q為RrQ的負電荷,如圖3所示.

圖3 點電荷Q電場中導(dǎo)體球(接地)的電荷分布

點電荷Q處于鏡像電荷的電場中,根據(jù)點電荷間庫侖力公式,[2]

點電荷Q與導(dǎo)體球間的靜電力為

F=-kQq(r-b)2=-kQ2Rr(r2-R2)2.

完善了水資源配置體系。錦凌水庫、青山水庫、三灣水利樞紐分別完成總進度的89%、85%和88%，其中三灣水利樞紐已下閘蓄水。輸水應(yīng)急入連、長海縣引水工程具備通水條件。觀音閣水庫輸水工程開工建設(shè)。全年完成供水143億m3，其中省直水利工程調(diào)放河道生態(tài)水6.58億m3。

(1)

問題2:如果該導(dǎo)體球帶電荷量為Q0(Q0>0),且不接地,那么點電荷Q受到的電場力F又該如何呢?

此時導(dǎo)體球上被點電荷感應(yīng)出的負電荷q仍然存在,因此導(dǎo)體球上的正電荷包括Q0和與感應(yīng)負電荷相對應(yīng)的正感應(yīng)電荷q兩部分．由于導(dǎo)體球是等勢體,這些正電荷會均勻分布在球體表面，如圖4所示.

圖4 點電荷Q電場中帶電荷量為Q0的導(dǎo)體球電荷分布情況

由于正電荷均勻分布在表面,所以正電荷可以等效為位于球心,帶電荷量為Q0+q的點電荷,而負感應(yīng)電荷可以等效為鏡像電荷-q距離導(dǎo)體球心d為R2r,鏡像電荷電荷量-q為-RrQ,點電荷Q就處于這兩個點電荷激發(fā)的疊加場中．如圖5所示.

圖5 導(dǎo)體球電荷等效分布

設(shè)電荷間斥力為正,則由庫侖定律得,點電荷Q受到的電場力為

F=kQ(Q0+q)r2-kQq(r-d)2.

(2)

代入d與q得

F=kQQ0r2-kQ2R3(2r2-R2)r3(r2-R2)2.

(3)

該式第1項F1為斥力,第2項F2為引力,如果我們設(shè)點電荷Q=nQ0,而點電荷到球心的距離r=mR, 其中m、n取任意值,則(3)式中斥力項與引力項的比值為

代入不同數(shù)值可以得到表1.

表1 m、n取不同值是兩者作用力的引力項與斥力項數(shù)值之比

表1中小于1的數(shù)據(jù)說明斥力小于引力,點電荷與導(dǎo)體球間作用力表現(xiàn)為引力,而大于1的數(shù)據(jù)表明斥力大于引力,點電荷與導(dǎo)體球間作用力表現(xiàn)為斥力．這說明點電荷與導(dǎo)體球間表現(xiàn)出的靜電作用力并不再是異性電荷吸引,同性電荷相互排斥的作用規(guī)律,具體情況還要取決于兩者的距離和它們的電荷量關(guān)系．這是因為當r→R時,(3)式中第二項吸引力的數(shù)值大于第一項,因此即使Q與Q0同號,只要Q距離導(dǎo)體球足夠近,它受到導(dǎo)體球的作用力就可能為引力．這是由于靜電感應(yīng)作用,雖然導(dǎo)體球凈電荷量為正電,但在導(dǎo)體球靠近點電荷的一側(cè)可能出現(xiàn)異號電荷．當兩項相等時兩者間作用力為0,即

kQQ0r2=kQ2R3(2r2-R2)r3(r2-R2)2，

整理得

Q0Q=R3(2r2-R2)r(r2-R2)2.

通過計算得到表2.

表2 點電荷Q到球心距離取不同值時庫侖作用力為0時兩者電荷量關(guān)系

導(dǎo)體球與點電荷間的作用力為0的點是引力與斥力轉(zhuǎn)變的分界點,而這個位置是與兩個帶電體的電荷量關(guān)系和距離關(guān)系決定的．

前面題目的分析中把導(dǎo)體球表面電荷的不均勻分布認為是點電荷對導(dǎo)體球表面電荷的庫侖作用造成的,隨著點電荷的靠近,這種等效得到的結(jié)論是作用力僅僅會由于等效距離變化造成大小變化,不會發(fā)生方向的變化(即引力與斥力的轉(zhuǎn)變);但實際上這種電荷的不均勻分布是導(dǎo)體球上均勻分布的原電荷與不均勻分布的感應(yīng)電荷疊加后的效果,因此它們之間的電場力應(yīng)該是這兩種電荷作用的合力,它可能最后表現(xiàn)為引力也可能表現(xiàn)為斥力,甚至在某一位置力的作用為0．

除此之外,我們還在有些學(xué)習資料上看到用兩個導(dǎo)體球帶同性等量電荷或是異性電荷時作用力的大小比較,[3]分析過程與開始題目的分析方法類似,結(jié)論也是有條件的．因為兩個帶電導(dǎo)體球間的相互作用更復(fù)雜,需要進行無限次鏡像電荷等效進行討論．只有在兩球體半徑相同,并帶等量同性電荷時作用力將恒為斥力,等量異號電荷時作用力將恒為引力,否則,兩球之間的作用力將會出現(xiàn)引力,零,斥力的復(fù)雜變化過程．[4]

因此,等效法的應(yīng)用雖然容易理解,但是不可以任意推廣,一定要清楚等效背后的物理實質(zhì)，以免推廣出錯誤結(jié)論．教師在日常教學(xué)中也應(yīng)該對這些問題嚴加推敲,對于有條件性的結(jié)論應(yīng)該進行嚴謹說明和論證,避免學(xué)生形成一些有局限性的認識和結(jié)論．

1 郭鴻碩.電動力學(xué)(第3版)[M].北京：高等教育出版社，2008: 53-56.

2 物理選修3-1[M].北京：人民教育出版社，2010: 5-7.

3 李國宇，李奕斌等.課堂導(dǎo)學(xué)與針對訓(xùn)練(中冊)[M].北京：中國言實出版社，2011：5.

4 歐紅葉，胡先權(quán).兩個帶電導(dǎo)體球之間相互作用力的計算[J].重慶師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2003(2)：6.

2016-10-05)