福建省龍海第一中學新校區(qū)(363100) 蘇藝偉

五個函數(shù)的不等關系及其應用

福建省龍海第一中學新校區(qū)(363100) 蘇藝偉

一、五個函數(shù)的不等關系及其證明

函數(shù)y=x2-x,y=xlnx,y=x-1,y=lnx, y=1-在x＞0時存在這樣的不等關系：x2-x≥xlnx≥x-1≥lnx≥1-,當且僅當x=1時取等號.其證明如下.

1.證明x-1≥lnx.

證明：令f(x)=x-1-lnx(x＞0),f′(x)=1-,令f′(x)=0得x=1.當x∈(0,1)時,f′(x)＜0,f(x)在(0,1)上單調遞減;當x∈(1,+∞)時,f′(x)＞0,f(x)在(1,+∞)上單調遞增;故f(x)的最小值為f(1)=0,即f(x)≥0.因此有x-1≥lnx,當且僅當x=1時取等號.

2.證明xlnx≥x-1.

證明：令f(x)=xlnx-x+1(x＞0),f′(x)=lnx,令f′(x)=0得x=1.當x∈(0,1)時,f′(x)＜0,f(x)在(0,1)上單調遞減;當x∈(1,+∞)時,f′(x)＞ 0,f(x)在(1,+∞)上單調遞增;故f(x)的最小值為f(1)=0,即f(x)≥0.因此有xlnx≥x-1,當且僅當x=1時取等號.

3.證明x2-x≥xlnx.

由x-1≥lnx,兩邊同時乘以x,得x2-x≥xlnx.當且僅當x=1時取等號.

4.證明lnx≥1-.

綜合上述分析,有x2-x≥xlnx≥x-1≥lnx≥1-,當且僅當x=1時取等號.其圖像如圖1.從圖像可以看到,直線y=x-1將它們隔開,是它們在x=1處的切線.

圖1

二、應用

例1.求不等式x2(4x-3-6lnx)＞1的解集.

解析由已知有,即

令

即求f(x)＞f(1)的解集.

即f′(x)=x2-x-xlnx.由上述不等關系可知f′(x)≥0,故f(x)在(0,+∞)上單調遞增.因此不等式f(x)＞f(1)的解集即為{x|x＞1}.

評析由已知條件出發(fā),經過一系列變形,構造出可導函數(shù),結合不等關系x2-x≥xlnx判斷導函數(shù)的正負,從而判斷出原函數(shù)的單調性,進而借助單調性求出自變量取值范圍.

例2. 函數(shù)f(x)=alnx-x+1.(1)求f(x)的單調區(qū)間.(2)若f(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,求所有實數(shù)a的值.(3)證明：, n＞1,n∈N+.

解析(1)x＞0,f′(x)=.

若a≤0,則f′(x)＜0,f(x)在(0,+∞)上單調遞減;

若a＞0,令f′(x)=0,得x=a.

當x∈(0,a)時,f′(x)＞0,f(x)在(0,a)上單調遞增;

當x∈(a,+∞)時,f′(x)＜0,f(x)在(a,+∞)上單調遞減;

綜上,當a≤0時,f(x)的單調遞減區(qū)間為(0,+∞);當a＞0時,f(x)的單調遞減區(qū)間為(a,+∞),f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,a).

(2)由第(1)問可知,當a≤0時,f(x)在(0,+∞)上單調遞減.又f(1)=0,故當x∈(0,1)時,f(x)＞0,與f(x)≤0矛盾.

當a＞0時,因為f(x)在(0,a)上單調遞增,在(a,+∞)上單調遞減,所以f(x)max=f(a)=alna-a+1.由已知有alna-a+1≤0.令f(a)=alna-a+1,a＞0.由上述不等關系可知f(a)≥0.故f(a)=0,a=1.

(3)由第(2)問可知,f(x)=lnx-x+1≤ 0,即lnx≤x-1,x＞ 0,當且僅當x=1時取等號.要證即證2lnn＜n2-1,即證lnn2＜n2-1.其中n＞1,n∈N.令x=n2,x＞0,轉化為證lnx＜x-1.由上述分析可知該不等式顯然成立.故原不等式成立.

評析本題在對數(shù)函數(shù)y=lnx和一次函數(shù)y=x-1的基礎上巧妙構造出新的函數(shù)f(x)=alnx-x+1,借助a的不確定性增加試題難度.第(2)步中令f(a)=alna-a+1,是以a為自變量的一個函數(shù),等同于f(x)=xlnx-x+1,借助上述不等關系可得f(a)≥0,又題目告知f(a)≤0,故只能是f(a)=0,從而求出a=1.第(3)步借用第(2)步的結論可以得到lnx≤x-1,事實上,不借助第(2)步的結論,直接運用上述不等關系同樣能夠求解.另外,對于第(2)步,要求a的值,還可以采用分離變量轉化為求新的函數(shù)的最值的方來做,在這過程中,借助不等關系lnx≥1-可迅速求解.

由alnx-x+1≤0,得alnx≤x-1.

若x=1,則a·0≤0,a∈R.

故a≥1.

分析ln(n+1)可以看成是正項數(shù)列{ln(n+1)-lnn},

例4.已知函數(shù)f(x)=x2lnx-a(x2-1),a∈R.若當x≥1時,f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.

分析以恒成立問題為載體求參數(shù)的取值范圍,可以考慮采用分離變量轉化為求函數(shù)最值的方法來做.

解析由已知有,當x≥1時x2lnx-a(x2-1)≥0恒成立.

當x=1時,該不等式成立,故a∈R.