廣東省中山紀念中學(528454) 李文東

利用曲線的切線解題

廣東省中山紀念中學(528454) 李文東

切線是曲線割線的極限位置,它反映了曲線的局部的幾何性質.如果我們能夠利用曲線的切線與曲線的幾何位置關系,則能為我們的解題帶來極大的方便,本文舉例加以說明,展示切線的作用.

一、利用切線構造函數(shù)不等式

我們知道：若f(x)在區(qū)間[a,b]上為凸函數(shù),則f(x)在區(qū)間[a,b]上任意一點處的切線位于函數(shù)f(x)圖像的上方(除切點外);若f(x)在區(qū)間[a,b]上為凹函數(shù),則f(x)在區(qū)間[a,b]上任意一點處的切線位于函數(shù)f(x)圖像的下方(除切點外).

例1.考慮函數(shù)y=ex在x=0處的切線：y=x+1,結合函數(shù)y=ex為凹函數(shù)可得不等式：ex≥x+1,當且僅當x=0時取等號;進而可得ln(x+1)≤x,當且僅當x=0時取等號.又如考慮函數(shù)y=xlnx在x=1處的切線：y=x-1,結合函數(shù)y=lnx為凹函數(shù)可得不等式：xlnx≥x-1,即≤lnx,當且僅當x=1時取等號;從而有≤ln(x+1),當且僅當x=0時取等號.于是可得經(jīng)典不等式：≤ln(x+1)≤x,當且僅當x=0時取等號.

又如函數(shù)y=sinx和函數(shù)y=tanx在x=0處的切線：y=x;在區(qū)間上,函數(shù)y=sinx為凸函數(shù),函數(shù)y=tanx為凹函數(shù),故有不等式：若,則 sinx＜x＜tanx.

二、利用切線證明不等式

例2.已知a+b+c=1,求證：.

例3.(2013全國卷)設函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m),當m≤2時,證明f(x)＞0.

證明函數(shù)y=ex在x=1處的切線方程為y=x+1,從而有ex≥x+1,等號當且僅當x=0時成立;而函數(shù)y=ln(x+m)在x=1-m處的切線方程為y=x+m-1,函數(shù)y=ln(x+m)為凸函數(shù),從而ln(x+m)≤x+m-1,等號當且僅當x=1-m時成立;因為m ≤ 2,故ln(x+m)≤x+m-1≤x+1≤ex,等號不同時成立,從而ln(x+m)＜ex.

三、利用切線討論函數(shù)零點個數(shù)問題

例4.已知函數(shù)f(x)=x2-alnx(a∈R),討論方程f(x)=0解的個數(shù),并說明理由.

解方程 f(x)=x2-alnx=0的解的個數(shù) ??x2=alnx的解的個數(shù) ??函數(shù)y=x2與函數(shù)y=alnx的圖像交點的個數(shù).設函數(shù)y=x2與函數(shù)y=alnx在點P(x0,y0)處有相同的切線(公切線),則,從而a=e.作出函數(shù)y=x2與函數(shù)y=elnx的圖像如圖所示,它們在點處相切.由此可見：當a∈[0,e)時,函數(shù)y=x2與函數(shù)y=alnx的圖像無交點,方程f(x)=0無解;當a＜0或a=e時,函數(shù)y=x2與函數(shù)y=alnx的圖像有一個交點,方程f(x)=0有惟一解;當 a＞e時,函數(shù)y=x2與函數(shù)y=alnx的圖像有兩個交點,方程f(x)=0有兩解.

圖1

四、利用切線求參數(shù)的取值范圍

例5.設f(x)=若關于x的方程f(x)-k|x|=0有三個不等的實根,則實數(shù)k的取值范圍是( )

A. (e,2e) B. (e,+∞) C. (1,e) D. (-2e,e)

解方程f(x)-k|x|=0有三個不等的實數(shù)根 ?? 函數(shù)f(x)圖像與函數(shù)y=k|x|圖像有三個交點.作出它們的圖像如圖所示,可以看出,當x＜0時,若y=k|x|=-kx圖像位于曲線y=-x2-2ex在x=0處的切線y=-2ex的下方,即-k＞-2e時,在y軸左側總有一個交點;而當x≥0時,若y=k|x|=kx圖像位于曲線y=ex過原點的切線y=ex的上方,即k＞e時,在y軸右側總有兩個交點.綜上,所求實數(shù)k的取值范圍為e＜k＜2e.

圖2

五、利用切線求最值

例6. 直線y=a分別與曲線y=x2-lnx和直線y=x-2交于點P,Q,則|PQ|最小值為( )

解如圖3,過點P作PM垂直直線y=x-2于點M,由于直線y=x-2的傾斜角為45°,故|PQ|=|PM|,從而只需求出曲線y=x2-lnx上的動點P到直線y=x-2的距離的最小值.我們將直線y=x-2平移至與曲線 y=x2-lnx相切時,切點P即為所求.于是y′=2x-=1=? x=1,即P(1,1),從而.

圖3