宋向東, 楊 儀

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

休哈特控制圖的改進(jìn)

宋向東, 楊 儀

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

在常規(guī)控制圖的基礎(chǔ)上提出了“平均鏈長(zhǎng)(ARL)無(wú)偏的常規(guī)控制圖”及“控制圖的ARL無(wú)偏性質(zhì)”. 首先, 通過(guò)利用樣本的分布函數(shù)精確求解出標(biāo)準(zhǔn)差, 獲得控制圖的上下控制限. 然后比較ARL無(wú)偏控制圖和常規(guī)控制圖在監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程中的質(zhì)量變化. 最后結(jié)合數(shù)值算例, 得出ARL無(wú)偏控制圖在監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程中和質(zhì)量變化時(shí)更具有優(yōu)勢(shì).

休哈特R控制圖； 休哈特s控制圖； 平均鏈長(zhǎng)； 概率分布函數(shù)

0 引言

在研究中往往假設(shè)常規(guī)控制圖R圖和s圖都是近似正態(tài)分布, 在實(shí)際問(wèn)題中, 樣本的極差R和標(biāo)準(zhǔn)差s都是從0開(kāi)始趨近無(wú)限大, 在控制圖的右側(cè)無(wú)限延長(zhǎng)且趨近于零. 當(dāng)α=0.002 7 時(shí), 在許多情況下R和s控制圖平均鏈長(zhǎng)最大值不是370, 這種缺陷在小樣本檢測(cè)中更加明顯,原因在于監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程中R和s圖的最小值均是從0開(kāi)始, 去掉了負(fù)數(shù)部分的下控制限,使整個(gè)控制圖呈偏態(tài)分布的.

為了克服這些問(wèn)題, 文獻(xiàn)[1]提出了一種改進(jìn)的R圖(IRC).文獻(xiàn)[2]討論了常規(guī)s圖的不足, 提出了一種修正的s控制圖.文獻(xiàn)[3]研究了高產(chǎn)過(guò)程的 CCC-r控制圖.文獻(xiàn)[4-6]提出了多種改進(jìn)的常規(guī)控制圖.文獻(xiàn)[7]展示了改進(jìn)的R和s控制圖(IRC和ISC),通過(guò)計(jì)算順序統(tǒng)計(jì)量的分布函數(shù)得到IRC和ISC.本文在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上, 通過(guò)定義無(wú)偏的平均鏈長(zhǎng), 得到了ARL無(wú)偏的R(UBRC)和s(UBSC)控制圖, 并精確計(jì)算控制圖的上下限的參數(shù).

定義1 對(duì)于某個(gè)同時(shí)具有上下控制限的控制圖, 若σ=1時(shí)，平均鏈長(zhǎng)達(dá)到最大；當(dāng)σ偏離標(biāo)準(zhǔn)值1時(shí)，平均鏈長(zhǎng)變小, 則稱該控制圖為ARL無(wú)偏的.否則稱該控制圖為ARL有偏的.

1 ARL無(wú)偏的R和s控制圖

1.1 ARL無(wú)偏的R控制圖

假設(shè)X服從獨(dú)立同分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(μ,σ2)，已知其均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ0.有一組大小為n的樣本,對(duì)這些樣本進(jìn)行排序得到x(1),x(2),…，x(n).標(biāo)記σ為過(guò)程標(biāo)準(zhǔn)差,其標(biāo)準(zhǔn)值為σ0.設(shè)0<λ<∞，用λσ0表示系統(tǒng)偏移量,當(dāng)λ=1時(shí)表示無(wú)偏移.

R控制圖的上下控制限UCLR和LCLR分別表示為[7]

(1)

(2)

(3)

ARL無(wú)偏的R控制圖的平均鏈長(zhǎng)為L(zhǎng)R(λ)=1/p(λ),當(dāng)λ=1時(shí),平均鏈長(zhǎng)L(λ)取極大值L(1)=370.398 3，即發(fā)出失控信號(hào)的概率為p(λ),當(dāng)λ=1時(shí)得到極小值.當(dāng)λ=1時(shí),由方程(3)整理可得

(4)

其中g(shù),G分別為R圖的概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù).

表1 ARL無(wú)偏的休哈特R圖和改進(jìn)的R圖的參數(shù)值

1.2 ARL無(wú)偏的s控制圖

(5)

(6)

s控制圖的ARL為L(zhǎng)s(λ)=1/p(λ). 當(dāng)λ=1 時(shí)，由方程(6)可以得到

其中f和F分別為自由度為n-1的2分布的概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù).ARL無(wú)偏s控制圖的上下控制限分別為：σ；σ.同理可得在α未知時(shí)參數(shù)為和.表2表示在第一類錯(cuò)誤α下,參數(shù)值隨n的變化趨勢(shì).圖1b表示當(dāng)n=10時(shí),兩種控制圖的平均鏈長(zhǎng)曲線,可以看出ARL無(wú)偏控制圖無(wú)偏斜的平均鏈長(zhǎng)曲線.

圖1 當(dāng) n=10 時(shí)無(wú)偏的和改進(jìn)的常規(guī)控制圖的平均鏈長(zhǎng)曲線Fig.1 Unbiased chavts and improved charts ARL profiles when n=10

2 數(shù)值比較

2.1 平均鏈長(zhǎng)精確值的比較

可使用數(shù)值積分方法精確計(jì)算出控制圖R圖和s圖的平均鏈長(zhǎng).標(biāo)記σ0為標(biāo)準(zhǔn)差(σ0=1),σ為生產(chǎn)過(guò)程中發(fā)生偏差的標(biāo)準(zhǔn)差,δ(δ=σ/σ0)為偏差幅度.

表2 ARL無(wú)偏的休哈特s圖和改進(jìn)的休哈特s圖的參數(shù)值

表3和表4分別給出在不同樣本容量n和系統(tǒng)偏差δ下的控制圖R圖(UBRC和IRC)和控制圖s圖(UBSC和ISC)的平均鏈長(zhǎng).可以發(fā)現(xiàn)ARL無(wú)偏的R圖和s圖的平均鏈長(zhǎng)最大值都在370,當(dāng)系統(tǒng)偏差逐漸變小或變大時(shí)平均鏈長(zhǎng)都會(huì)變小,并且隨著樣本容量的變大,監(jiān)控更加靈敏.

表3 當(dāng)最長(zhǎng)平均鏈長(zhǎng)為370下,隨著系統(tǒng)誤差的變化ARL無(wú)偏的R圖和改進(jìn)的R圖的平均鏈長(zhǎng)

表4 當(dāng)最長(zhǎng)平均鏈長(zhǎng)為370下,隨著系統(tǒng)誤差的變化ARL無(wú)偏的s圖和改進(jìn)的s圖的平均鏈長(zhǎng)

2.2 UBRC圖和UBSC圖的比較

對(duì)樣本容量n=5,10,20時(shí),ARL無(wú)偏的R圖和s圖的平均鏈長(zhǎng)進(jìn)行了比較,圖2a，2b，2c中R圖和s圖的平均鏈長(zhǎng)分別為

pR=p(σ)=1-G(D2σ)+G(D1σ)，即ARLR=1/pR,

(7)

ps=p(σ)=1-F((n-1)(B6/σ)2)+F((n-1)(B5/σ)2)，即ARLs=1/ps.

(8)

當(dāng)n=5時(shí),圖2a給出了系統(tǒng)偏差σ從1到3的曲線.圖2a中可以看到,當(dāng)σ<1且逐漸趨近于1時(shí),R圖(UBRC)比s圖(UBSC)有更短的平均鏈長(zhǎng)，當(dāng)σ>1且逐漸趨近于無(wú)窮時(shí),UBSC控制圖比UBRC控制圖的平均鏈長(zhǎng)減少速度更快,較快的減少速率代表檢測(cè)水平更為敏感.對(duì)比圖2a、圖2b及圖2c,隨著樣本容量的變大,兩條曲線越來(lái)越趨近，當(dāng)0.1<σ<1時(shí),兩條曲線幾乎沒(méi)什么區(qū)別，當(dāng)σ>1時(shí),UBSC圖比UBRC更加有效.

圖2d表示兩個(gè)控制圖平均鏈長(zhǎng)的差,可以更直觀地比較兩個(gè)控制圖平均鏈長(zhǎng).當(dāng)n逐漸增大時(shí),兩個(gè)控制圖的平均鏈長(zhǎng)之差越來(lái)越小,當(dāng)σ趨近無(wú)窮時(shí),兩個(gè)控制圖平均鏈長(zhǎng)幾乎相等.將圖2中四個(gè)圖形比較可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)，s圖處處比R圖能進(jìn)行更有效的監(jiān)測(cè).當(dāng)0.6<σ<1時(shí),R圖監(jiān)測(cè)效果非常靈敏.原因在于公式(7)和(8)中兩個(gè)微小的概率密度,它們的變化對(duì)平均鏈長(zhǎng)之差產(chǎn)生很大的影響.當(dāng)樣本容量足夠大時(shí),s圖比R圖更有效，是因?yàn)镽圖只利用了樣本最大值和最小值,沒(méi)有利用所有統(tǒng)計(jì)量的信息.

圖2 ARL無(wú)偏的休哈特R圖和ARL無(wú)偏的休哈特s圖的平均鏈長(zhǎng)曲線Fig.2 Unbiased R and s chorts ARL profiles

3 對(duì)隨機(jī)模擬數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)

在隨機(jī)模擬中檢測(cè)ARL無(wú)偏控制圖的性能.隨機(jī)模擬20組樣本容量為10的變量,前10組是N(0,1)的獨(dú)立同分布數(shù)據(jù),后10組數(shù)據(jù)系統(tǒng)誤差為δ=σ/σ0=2.圖3中顯示，ARL無(wú)偏控制圖具有優(yōu)秀的監(jiān)控效果.

圖3 ARL無(wú)偏控制圖對(duì)隨機(jī)數(shù)據(jù)的監(jiān)控Fig.3 Unbiased ARL charts for monitoring simulated variance

4 結(jié)論

提出的“平均鏈長(zhǎng)(ARL)無(wú)偏的休哈特控制圖”及“控制圖的ARL無(wú)偏性質(zhì)”是對(duì)傳統(tǒng)常規(guī)控制圖的有效改進(jìn).通過(guò)數(shù)據(jù)顯示,無(wú)偏控制圖、常規(guī)控制圖在σ=1時(shí)，均達(dá)到平均鏈長(zhǎng)的最大值370，在監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程中質(zhì)量變化并無(wú)差異.而σ≠1時(shí)，隨著σ的變化，無(wú)偏控制圖平均鏈長(zhǎng)逐漸減小,而常規(guī)控制圖并無(wú)此優(yōu)勢(shì).此外,在大樣本容量下,通過(guò)比較ARL無(wú)偏的s控制圖和ARL無(wú)偏的R控制圖的平均鏈長(zhǎng),發(fā)現(xiàn)在質(zhì)量控制中，ARL無(wú)偏s控制圖更具有優(yōu)勢(shì).

[1] KHOO M B C, LIM E G. An improvedR(range) control chart for monitoring the process variance[J]. Quality and reliability engineering, 2004, 21(1): 43-50.

[2] KHOO M B C. A modifiedschart for the process variance [J]. Quality engineering,2005, 17(4): 567-577.

[3] 宋宗偉，宋向東. 高產(chǎn)過(guò)程的CCC-r圖控制限優(yōu)化[J]. 遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)，2014,33(4):535-538.

[4] 孫耀東，徐寶，趙志文. 固定設(shè)計(jì)下時(shí)間序列非參數(shù)回歸模型的方差變點(diǎn)檢驗(yàn)[J]. 鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版), 2014, 46(1): 1-4.

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[7] ZHANG G. Improvedrandscontrol charts for monitoring the process variance[J]. Journal of applied statistics, 2014, 41(41): 1260-1273.

[8] 全國(guó)統(tǒng)計(jì)方法標(biāo)準(zhǔn)化技術(shù)委員會(huì). GB/T 4091-2001常規(guī)控制圖[S].北京：中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)出版社，2001.

(責(zé)任編輯：方惠敏)

The Improvement ofRandsControl Charts

SONG Xiangdong, YANG Yi

(CollegeofScience,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China)

The “average run length (ARL) unbiased control charts ofRands” and “unbiased ARL property of control charts” were proposed. Firstly, cumulative distribution function of the sample range was used to accurately solve standard deviation to control limits of control charts. Then,the quality changes of unbiased control charts and shewhart control charts were compared.The numerical examples showed that ARL unbiased control charts were more efficient in monitoring quality changes that emerged in production.

shewhartRchart; shewhartschart; average run length unbiased; cumulative distribution function

2016-09-07

宋向東(1965—)，男，河北保定人，副教授，主要從事非參數(shù)統(tǒng)計(jì)和質(zhì)量控制研究，E-mail：Songxd@ysu.edu.cn; 通訊作者：楊儀(1991—)，男，山西臨汾人，碩士研究生，主要從事質(zhì)量控制研究，E-mail：yangyi--314@163.com.

O213.1

A

1671-6841(2017)01-0001-06

10.13705/j.issn.1671-6841.2016223