李西華+許世紅

課堂追問的目的是激發(fā)學(xué)生思維的深度和廣度，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、敏捷性有著不可忽視的作用。教師應(yīng)把握好數(shù)學(xué)課堂追問的時(shí)機(jī)，在學(xué)生困惑時(shí)追問、在看似無疑時(shí)追問、在一題多解處追問、在出錯(cuò)地方追問、在意外時(shí)追問……問出智慧，問出高潮，問出精彩，問出真知，促進(jìn)學(xué)生交流素養(yǎng)的培養(yǎng)。

一、典型案例與診斷

（一）交流不順暢的教學(xué)片段舉例

下面是“初中生數(shù)學(xué)交流素養(yǎng)培養(yǎng)方法”課題研討會(huì)上研討課《相似三角形中的分類規(guī)律》（單元復(fù)習(xí)課）的兩個(gè)教學(xué)片段：

片段1 問題1：如圖1，在△ABC中，∠C>∠B，D是AC上一點(diǎn)，在AB邊上畫出一點(diǎn)E，連接DE，使以A、D、E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過作圖，回顧“相似三角形”整章的主要知識(shí)點(diǎn)，在簡(jiǎn)單分類中明晰判斷三角形相似的基本方法。

學(xué)生表現(xiàn)：甲生上臺(tái)板演用尺規(guī)法作∠ADE，使∠ADE=∠C（可能圓規(guī)不好用，甲生用了5分鐘左右才完成作圖）。乙生上臺(tái)作出了兩種情況：一是作DE∥BC；二是畫出DE2，使得∠ADE2=∠C，如圖1-1（顯然點(diǎn)E2不符合要求，正確作圖應(yīng)該是點(diǎn)E和E1）。

片段2 問題2：如圖2，一次函數(shù)y=x+2的圖像與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)。

設(shè)計(jì)意圖：以線段OB作為分類標(biāo)準(zhǔn)，探討OB分別為斜邊、直角邊時(shí)，點(diǎn)P可能在的位置；或者以點(diǎn)B作為分類標(biāo)準(zhǔn)，探討點(diǎn)B分別為直角頂點(diǎn)、銳角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P可能在的位置。先讓學(xué)生充分表達(dá)想法，教師再串聯(lián)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)。

學(xué)生表現(xiàn)：丙生上臺(tái)板演并講解：過O作OP⊥AB于點(diǎn)P，

∵ ∠BOP+∠OBP=90°，∠BOP+∠POA=90°，∠POA+∠OAP=90°，

∴ ∠BOP=∠OAP，

又∵∠BPO=∠BOA=90°，

∴ △BOP∽△BAO。

丙生講解時(shí)采用了三個(gè)字母表示一個(gè)角的方法，并貫穿始終，其他學(xué)生聽得很費(fèi)勁。

丁生上臺(tái)在黑板上畫出BP1（點(diǎn)P1在x軸上，如圖2-1），使∠OBP1=∠OAB。

教師看到此情況，暫停了展示交流，給學(xué)生一些時(shí)間討論后，接著繼續(xù)展示交流。

戊生上臺(tái)在黑板上畫出BP、BP2、BP3，如圖2-1，并講解畫圖思路。

戊生覺得自己做對(duì)了，但未能很有條理地講述出作圖原理，其他學(xué)生聽得不太明白。

（二）交流不順暢的原因診斷

上述兩個(gè)教學(xué)片段，課前教師預(yù)設(shè)與課堂實(shí)際生成之間落差明顯，說明師生、學(xué)生之間的交流有待改進(jìn)。

片段1是希望學(xué)生通過畫示意圖回顧三角形相似的判定方法，而不是檢查學(xué)生是否掌握了尺規(guī)作圖技能；當(dāng)甲生把研究重心放在尺規(guī)作圖時(shí)，由于教師沒有及時(shí)干預(yù)，全班學(xué)生被甲生牽引而偏離了學(xué)習(xí)主線，打亂了教師預(yù)設(shè)的講課節(jié)奏。接著，乙生雖然采用了畫示意圖的方法給出三角形相似的兩種基本類型，但教師沒有及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生討論為什么點(diǎn)E2的位置不符合要求。

片段2是希望學(xué)生先梳理出分類方法，然后在分類方法指導(dǎo)下不重不漏地找出第一象限內(nèi)所有符合條件的點(diǎn)P。由于片段1的教學(xué)活動(dòng)中沒有將“如何確定分類標(biāo)準(zhǔn)”這一問題交流透徹，在給出問題2時(shí)，教師又沒有讓學(xué)生先進(jìn)行討論，歸納如何確定分類標(biāo)準(zhǔn)、如何根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類作圖，因此出現(xiàn)了學(xué)生一拿到題目馬上就去作圖的狀況。由于思考不充分，因此學(xué)生在作答時(shí)自然就會(huì)呈現(xiàn)出不完整或算多的情況。

由于這兩個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的師生交流不順暢，導(dǎo)致后續(xù)內(nèi)容也無法按計(jì)劃進(jìn)行。

（三）解決問題處方：及時(shí)干預(yù)和追問

課堂活動(dòng)是動(dòng)態(tài)的、生成的，師生間的交流也同樣具有動(dòng)態(tài)性、生成性。教師是課堂活動(dòng)的設(shè)計(jì)者、組織者，在引導(dǎo)教學(xué)活動(dòng)順利開展的過程中，需要掌握交流研討的常見技巧，其中，及時(shí)干預(yù)、適時(shí)追問就是有效方法。

追問，即追根究底地查問、多次地問。在課堂教學(xué)中，追問是師生對(duì)話的主要形式。為了幫助學(xué)生獨(dú)立理解透徹某一問題，教師通過提問對(duì)學(xué)生思維進(jìn)行及時(shí)疏導(dǎo)與點(diǎn)撥，每次追問都是對(duì)前次提問的延伸和拓展，直到學(xué)生能正確解答、深入理解為止。追問有助于激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，延伸學(xué)生思維的廣度和深度。

對(duì)于教學(xué)片段1中乙生的作答，教師可以采用追問方法來改進(jìn)師生的交流。

追問1：第二種情況畫出的點(diǎn)E2滿足要求嗎？為什么？

追問2：為什么你會(huì)想出兩種情況？

學(xué)生：要分類考慮。

追問3：你的分類標(biāo)準(zhǔn)是什么？

學(xué)生：判定三角形相似所需條件是角或邊，可以考慮把角或邊作為分類標(biāo)準(zhǔn)。

追問4：相似三角形的判定方法中哪個(gè)最常用？為什么？

追問5：需要滿足相似的兩個(gè)三角形，哪對(duì)角的對(duì)應(yīng)關(guān)系已經(jīng)確定？

學(xué)生：△AED中的∠A與△ABC中的∠A對(duì)應(yīng)。

追問6：所畫的∠ADE可能與△ABC中的哪個(gè)角對(duì)應(yīng)？

學(xué)生：所畫的∠ADE可能與△ABC中的∠B對(duì)應(yīng)或與∠C對(duì)應(yīng)。

這樣，通過教師追問、學(xué)生回應(yīng)，自然地滲透了用分類方法完整地解決三角形相似的各種情況，學(xué)生明確了以角作為分類標(biāo)準(zhǔn)，在畫∠ADE時(shí)，只需要按照∠ADE=∠B或∠ADE=∠C這兩種類型來分析，問題就可以得到徹底解決。

二、課堂上要把握好追問的時(shí)機(jī)

追問讓學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望得到激發(fā)，追問讓數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生過程得到還原，追問能夠挖掘出問題背后隱含的知識(shí)點(diǎn)，追問讓學(xué)生思考過程得到展現(xiàn)，追問可以引導(dǎo)學(xué)生反思答案的依據(jù)和思維的線路，追問能拓展學(xué)生思路、有序發(fā)散學(xué)生思維……教師要把握好追問時(shí)機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，積極思維，進(jìn)行深層次探究，這樣才能真正實(shí)現(xiàn)有意義的數(shù)學(xué)交流。

（一）在困惑時(shí)追問

在課堂教學(xué)過程中，當(dāng)學(xué)生面臨困惑、遇到困難、分析失去方向時(shí)，教師不妨適當(dāng)?shù)亍懊髦蕟枴保ㄟ^由淺入深地不斷追問，讓學(xué)生直面問題，引導(dǎo)學(xué)生辨析、辯論，讓學(xué)生模仿教師的角色釋疑解惑，讓學(xué)生在相互糾錯(cuò)的過程中交流、反思、總結(jié)、提煉，盡情展現(xiàn)思維過程。

對(duì)于教學(xué)片段2中丁生的作答，教師可以采用追問方法來改進(jìn)師生的交流。

追問1：△BOA中∠BOA是直角，則△BOP中一定有一個(gè)直角，你能確定哪個(gè)是直角嗎？

追問2：分幾類進(jìn)行討論？分類標(biāo)準(zhǔn)是什么？

追問3：若△BOP的點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)，則直角邊OP與△BOA的哪條邊對(duì)應(yīng)？

（OP與OA對(duì)應(yīng)，或OP與OB對(duì)應(yīng)，分兩類情況考慮。）

追問4：若△BOP的點(diǎn)O為銳角頂點(diǎn)，則有兩類情況，請(qǐng)問本題一共可以分幾種情況？

追問5：這幾種情況都符合題意嗎？為什么？

（這時(shí)點(diǎn)P的大概位置就水落石出了。）

（二）在看似無疑時(shí)追問

看似無疑問的地方，往往隱藏著很多疑問，教師若能在學(xué)生似通非通、似懂非懂時(shí)及時(shí)追問，引導(dǎo)學(xué)生查出疑問點(diǎn)，然后與學(xué)生共同釋疑，就可收到事半功倍的效果。

問題3：下列說法中，正確的是（ ）

A. 相等的圓心角所對(duì)的弧相等

B. 90°角所對(duì)的弦是直徑

C. 等弧所對(duì)的弦相等

D. 圓的切線垂直于半徑

設(shè)計(jì)意圖：本題目的是讓學(xué)生辨析圓中弧、弦、圓心角之間的關(guān)系、圓周角與直徑的關(guān)系、切線的性質(zhì)等基本概念與性質(zhì)。

教學(xué)處理：當(dāng)學(xué)生完成本題作答后，教師講解時(shí)可以采用追問方式，讓學(xué)生明晰圓的基本概念與性質(zhì)中需要仔細(xì)辨析的地方。

學(xué)生1：我選C。

追問1：為什么選C？理由是什么？

學(xué)生1：“等弧”就說明是“同圓或等圓”，在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其它量都分別相等。

追問2：等弧就是相等的弧嗎？

追問3：如果把C選項(xiàng)改為“等弦所對(duì)的弧相等”，那么它正確嗎？

追問4：你能舉出反例嗎？

追問5：其它選項(xiàng)為什么不正確？

如果學(xué)生對(duì)這類題目?jī)H僅滿足于知道正確答案就算了，那就失去了做題目的真正意義，錯(cuò)失了很好的思考機(jī)會(huì)，這是非常可惜的。

（三）在一題多解處追問

在數(shù)學(xué)解題中，不同的學(xué)生由于思考的起點(diǎn)、方法不同，可以呈現(xiàn)出不同的解題過程。因此，教師應(yīng)通過追問，積極鼓勵(lì)學(xué)生一題多解，拓寬思路。

問題4：如圖3，點(diǎn)P是∠AOB的角平分線上一點(diǎn)，過P作PC//OA交OB于點(diǎn)C，若∠AOB=60°，OC=4，則點(diǎn)P到OA的距離PD等于多少？

設(shè)計(jì)意圖：本題目的是讓學(xué)生在角平分線、平行線、等腰三角形、特殊直角三角形等眾多條件中靈活選擇適當(dāng)?shù)墓ぞ?，求出線段長(zhǎng)度。解題思路雖然眾多，但有簡(jiǎn)易與繁瑣的區(qū)分。

下面是一位學(xué)生向教師請(qǐng)教，教師通過追問引導(dǎo)學(xué)生自己理順解題思路的一個(gè)案例。

學(xué)生：老師這道題怎么做？

教師反問：老師想聽聽你是怎么想的？

學(xué)生：在Rt△ODP中，可求出∠DOP=30°，則DP=OP，但OP又不知道，怎么辦？

教師追問1：OP除了是△ODP的邊之外，還是哪個(gè)三角形的邊？

學(xué)生：還是△OCP的邊。

教師追問2：你猜想這個(gè)三角形是什么特殊三角形？能證明嗎？

學(xué)生：可以證明它是等腰三角形。

教師追問3：等腰三角形有哪些性質(zhì)？

學(xué)生：兩腰相等，等邊對(duì)等角和三線合一。老師，我知道怎么做了，過C作CG⊥OP于G，先在△OCG中求出OG，再利用等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)來解決。

教師追問4：明白了？我再問你，已知點(diǎn)P是∠AOB的角平分線，角平分線有什么性質(zhì)？

學(xué)生：平分一個(gè)角，還有定理“角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等”。

教師追問5：由“角平分線”這個(gè)條件你會(huì)想到什么？

學(xué)生：過點(diǎn)P作PE⊥OB與E，即可得PD=PE，只要求出PE即可。但還是要用到剛才的方法先求出OP，再求解，麻煩了點(diǎn)，走了彎路。

教師追問6：要求出PE，只能在△OPE中求嗎？

學(xué)生：哦，還可以在△PCE中用三角函數(shù)來求，我會(huì)做了。

教師追問7：不急，再觀察一下圖形和已知∠AOB=60°，OC=4，能否利用這個(gè)特殊角，構(gòu)造直角三角形求解？

學(xué)生：可以過點(diǎn)C作CF⊥OA與F，由PC//OA得出CF=PD，直接在△OCF中求解就得了。謝謝老師！以后我也要這樣去思考。

學(xué)生在解決問題的過程中，偶爾會(huì)出現(xiàn)思考問題不夠嚴(yán)謹(jǐn)，邏輯不夠清晰等現(xiàn)象，通過教師及時(shí)的追問，使學(xué)生及時(shí)地還原思考過程，更嚴(yán)謹(jǐn)、更清晰、更有條理地解決問題。長(zhǎng)期堅(jiān)持這種追問訓(xùn)練，學(xué)生的思維能力、交流素養(yǎng)一定會(huì)顯著提高。

（四）在出錯(cuò)地方追問

基于建構(gòu)主義理論，新課程背景下的數(shù)學(xué)教師應(yīng)充分發(fā)揮自己的主導(dǎo)作用，在潛移默化的追問中讓學(xué)生意識(shí)到自己的錯(cuò)誤，達(dá)成新的認(rèn)知?！袄硐氲恼n堂是真實(shí)的課堂?！睂W(xué)生在課堂中出現(xiàn)了一些差錯(cuò)是不足為奇的。這時(shí)教師不應(yīng)只關(guān)注問題解決與否、答案對(duì)錯(cuò)與否，更要關(guān)注學(xué)生是怎么思考的，應(yīng)該好好利用學(xué)生的“錯(cuò)題”，以巧妙的追問，讓學(xué)生講明錯(cuò)誤解法，弄清產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，讓其他學(xué)生幫忙糾正錯(cuò)誤。教師要善于提問：“你是怎么想的？”對(duì)于錯(cuò)題，要給學(xué)生一些探究討論的時(shí)間和空間，從而讓學(xué)生在交流中分析、反駁，在爭(zhēng)論中明理，在爭(zhēng)論中內(nèi)化知識(shí)。

學(xué)生的錯(cuò)誤是學(xué)生最樸實(shí)思想、最真實(shí)經(jīng)驗(yàn)的具體體現(xiàn)，教師應(yīng)該善于發(fā)現(xiàn)和挖掘錯(cuò)誤背后隱藏的教育價(jià)值，讓學(xué)生有更多的機(jī)會(huì)闡述自己的想法，明確錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因，掌握正確的糾錯(cuò)方法，使學(xué)生從錯(cuò)誤中獲得新知識(shí)，從錯(cuò)誤中學(xué)會(huì)反思、得到提高。

（五）在發(fā)生意外時(shí)追問

課堂教學(xué)隨時(shí)會(huì)有意外生成，數(shù)學(xué)教師不能對(duì)之熟視無睹，更不能束縛學(xué)生的創(chuàng)造性思維，禁錮他們的想象，使創(chuàng)新的火花熄滅。因此，教師要大膽打破預(yù)設(shè)的框架，對(duì)學(xué)生的意外回答，給予積極的回應(yīng)并主動(dòng)激疑，以睿智的追問激活學(xué)生思維，拓展想象空間，讓教學(xué)中的“意外生成”演繹出獨(dú)特的價(jià)值。適時(shí)追問，可以打開學(xué)生思維的“閘門”，使學(xué)生豐富的想象力得到淋漓盡致的發(fā)揮，使課堂呈現(xiàn)出“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”的教學(xué)景象。

當(dāng)然教師還可以在知識(shí)的延伸與拓展處追問，可以在知識(shí)的重難點(diǎn)處追問，在學(xué)生理解膚淺處追問，在方法提煉處追問……

課堂追問是一種技巧，更是一門藝術(shù)，在引導(dǎo)生成、深度對(duì)話教學(xué)過程中扮演著十分重要的角色。新課程背景下，數(shù)學(xué)教師要善于把握追問的時(shí)機(jī)，進(jìn)行有效追問，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)交流素養(yǎng)的培養(yǎng)。