史　峰，李禎怡，趙　爍，單杏花

(1.中南大學(xué) 交通運輸工程學(xué)院，湖南 長沙　410075；2.中國鐵道科學(xué)研究院 電子計算技術(shù)研究所，北京　100081)

高速鐵路列車運行組織中，列車停站方案優(yōu)化是一個既重要、又復(fù)雜、且重視不夠、研究積累還非常薄弱的問題。該問題的重要性表現(xiàn)為直接影響到旅客出行的便捷程度和出行時間的長短，直觀上看，若列車停站次數(shù)越多，則旅客可搭乘的列車越多，但列車旅行時間越長，否則旅客可搭乘的列車越少，但列車旅行時間越短。其復(fù)雜性表現(xiàn)為每1列列車通過每個車站時都存在是否停站的0-1決策，所有列車在沿途各站是否停站的0-1決策組合構(gòu)成非常龐大的離散決策空間，優(yōu)化搜索的工作量極大。重視不夠表現(xiàn)為停站優(yōu)化是列車開行方案優(yōu)化問題的子問題，而列車開行方案還包括列車開行徑路、數(shù)量、列車等級和編組等內(nèi)容，在涉及諸多重要因素的列車開行方案優(yōu)化研究中，對列車開行數(shù)量、徑路和列車編組更加重視，對停站方案往往只假設(shè)為幾種簡單的模式。研究積累還非常薄弱的原因除與前2個因素直接相關(guān)外，還由于列車停站優(yōu)化問題的獨立性不強，難于從整體優(yōu)化問題中剝離出來。

列車停站方案優(yōu)化問題的相關(guān)研究主要集中在3個方面。其一，停站方案與列車開行方案的綜合優(yōu)化。文獻[1,2]將車站和列車都劃分為3個級別，規(guī)定每個級別的列車在低級別的車站不停車、在同級別和高級別的車站全停車，并在這種固定停站模式下優(yōu)化列車開行方案。文獻[3,4]基于列車備選集優(yōu)化列車開行方案，其中列車備選集中包括了備選列車的停站和其他信息，最終選擇的所有備選列車及其開行頻率確定了列車停站方案。文獻[5]在列車開行方案的優(yōu)化模型中包括了列車停站策略，用客流分配對包括停站方案在內(nèi)的列車開行方案進行整體評價，在優(yōu)化列車開行方案的同時優(yōu)化停站方案。其二，列車停站方案與列車時刻表綜合優(yōu)化。文獻[6]在列車時刻表優(yōu)化問題中引入列車是否服務(wù)于O-D對的決策變量，線路上每個O-D對的服務(wù)列車數(shù)達到下限要求，目標(biāo)函數(shù)中增加了列車停站總數(shù)的加權(quán)負(fù)效用，并采用列生成法求解模型。文獻[7]在列車時刻表優(yōu)化問題中引入列車是否在車站停車的決策變量，每個車站停車的列車數(shù)達到下限要求，停站列車在該站分配的載客能力達到該站的發(fā)送量要求，并以最小化列車停站總時間為目標(biāo)函數(shù)對停站方案實現(xiàn)了控制。其三，給定所有列車運行徑路優(yōu)化停站方案。文獻[8]以鐵路網(wǎng)絡(luò)為研究背景，建立了優(yōu)化列車停站方案的雙層規(guī)劃模型，上層規(guī)劃在停站數(shù)量上限約束下優(yōu)化停站方案，使得廣義出行費用最小化；下層規(guī)劃在給定停站方案基礎(chǔ)上進行客流分配，并采用模擬退火方法對列車停站方案進行搜索。文獻[9]以列車在車站停車與否為決策變量，列車的停站數(shù)滿足上下限約束，在車站停車的列車數(shù)滿足下限約束，以2類列車的停站成本最小化和每個O-D對可達方案數(shù)的加權(quán)平均值最大化為優(yōu)化目標(biāo)，其中每類列車在車站的停車成本為固定常數(shù)，可達方案包括直達和1次換乘2種形式，可達方案數(shù)的權(quán)值按照各O-D需求所占份額確定，并利用混合遺傳算法進行求解。文獻[10]以列車是否在車站停車為0-1決策變量，每個車站停車的列車數(shù)滿足上下限要求，線路上每個O-D對的服務(wù)列車數(shù)滿足下限要求，并給出了該下限值的估計方法，以最小化所有列車的停站總數(shù)為目標(biāo)，建立列車停站方案的優(yōu)化模型；通過松弛0-1決策變量為連續(xù)變量求解線性規(guī)劃，并按照一定的閾值進整和舍零求解模型。文獻[11]針對不確定性出行需求，要求所有列車在給定車站的到發(fā)能力分別達到規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)的置信水平條件下滿足下限約束，G字頭和D字頭動車組在給定車站分別滿足下限停站次數(shù)約束，并且共同滿足上限停站次數(shù)約束條件下，謀求列車總停站數(shù)最小化。

列車在車站的停站概率簡稱為列車經(jīng)停比。經(jīng)停比描述了列車停站的疏密程度，是列車停站方案的重要屬性。本文以高鐵線路為背景，從最優(yōu)經(jīng)停比的角度研究列車停站方案優(yōu)化問題?？紤]到省會城市(包括直轄市)和地級市(或地區(qū)政府所在城市)高鐵旅客出行需求的集聚特征，對出行需求進行分類。在省、地兩級行政區(qū)內(nèi)不同列車停站密度較均勻的約束下，將旅客上車時間分解為旅客出行時間偏差、列車停站時間和列車起停附加時間(簡稱為停站及附加時間)，構(gòu)建最小化人均出行時間的列車經(jīng)停比優(yōu)化模型，利用最優(yōu)經(jīng)停比可獲得各需求類每個O-D對的平均服務(wù)列車數(shù)。并通過京滬高鐵的實例，分析驗證該優(yōu)化方法的有效性。

1　列車經(jīng)停比優(yōu)化問題

考慮到列車經(jīng)停比優(yōu)化問題是列車開行方案優(yōu)化問題的子問題，我們從列車開行方案優(yōu)化問題出發(fā)，在若干假設(shè)條件下，提出列車經(jīng)停比優(yōu)化問題。

眾所周知，高速鐵路列車開行方案優(yōu)化問題可基本描述為：給定高速鐵路網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及線路通過能力、可支配的動車組總里程和旅客出行需求，在給定的旅客服務(wù)水平條件下，以旅客人均出行時間最少為目標(biāo)，求解最優(yōu)列車開行方案。

在上述列車開行方案優(yōu)化問題中，高速鐵路網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可以是單條高速鐵路線路，也可以是任意網(wǎng)絡(luò)；線路通過能力和可支配的動車組總里程共同表現(xiàn)為運輸能力；不同O-D對的旅客出行需求在全天運營時間內(nèi)具有不同的分布特征；旅客服務(wù)水平表現(xiàn)為列車客座利用率下限等標(biāo)準(zhǔn)。

為了簡潔描述列車經(jīng)停比優(yōu)化問題，針對列車開行方案優(yōu)化問題中的各個要素，提出如下假設(shè)條件。

(1) 僅限于高速鐵路上列車經(jīng)停比優(yōu)化問題的研究；

(2) 對于高速鐵路沿線的縣、地級車站(位于縣政府或地級市政府所在城市的車站)，同地級市的地級車站和同省的省級車站(位于省會城市或直轄市的車站)也在這條高速鐵路上；

(3) 線路上開行的列車具有相同的編組，運輸能力能夠滿足旅客出行需求；

(4) 在運營時間內(nèi)，所有O-D對不同類別的旅客出行需求都服從均勻分布；

(5) 在每條高鐵線路上，列車的追蹤運行間隔時間是個定值；

(6) 只考慮旅客直達出行方案(不考慮旅客換乘出行)；

(7) 不同省級車站的列車經(jīng)停比相互獨立，每個省級車站的列車經(jīng)停比獨立同分布。列車在省級車站停車與否確定后，在同省的地級車站的列車經(jīng)停比也獨立同分布；在地級車站停車與否確定后，在同地級市的縣級車站的列車經(jīng)停比同樣獨立同分布。

現(xiàn)實中的高速鐵路線路不一定滿足假設(shè)條件(2)，但只要根據(jù)相關(guān)車站客流量的大小，采用歸并(到相鄰省份)、升級(升級為省地級車站)或降級(降級為地縣級車站)的方法進行調(diào)整，便可使假設(shè)條件(2)得到滿足。

在假設(shè)條件下，如果再給定所有列車的開行徑路，列車開行方案優(yōu)化問題中只剩下列車停站方案沒有確定。這樣就可描述高鐵列車經(jīng)停比優(yōu)化問題如下。

給定高速鐵路線路、所有列車的開行徑路和旅客出行需求，在假設(shè)條件的約束下，以旅客人均出行時間最小化為目標(biāo)，求解最優(yōu)列車經(jīng)停比。

根據(jù)假設(shè)條件，只考慮旅客直達出行方案，則旅客出行時間由2部分組成，即上車時間偏差和乘車時間；其中上車時間偏差是指旅客在計劃出行時間基礎(chǔ)上推遲上車或提前上車的偏移時間；乘車時間等于列車旅行時間，而列車旅行時間包括列車區(qū)間運行時間、列車停站及附加時間。注意到列車區(qū)間運行時間是固定不變的，而在目標(biāo)函數(shù)中去掉這個固定部分并不影響優(yōu)化的結(jié)果，故將其忽略，所以將旅客出行時間定義為旅客上車時間偏差與列車停站及附加時間之和。

為了方便描述、求解和展示，分先后2個階段求解省、地、縣三級車站的最優(yōu)列車經(jīng)停比。首先，不區(qū)分地縣級車站，研究省會城市高鐵旅客出行需求集聚條件下的最優(yōu)列車經(jīng)停比；然后，在給定省級車站最優(yōu)列車經(jīng)停比的條件下，研究省、地2個層次需求集聚條件下地、縣級車站的最優(yōu)列車經(jīng)停比。

2　省會城市高鐵路旅客出行需求集聚條件下的列車經(jīng)停比

2.1　2類車站與5類需求的劃分

W1，1：2個不同省級車站之間的。

W1，2：省級車站與外省地縣級車站之間的。

W2，2：不同省的2個地縣級車站之間的。

上述需求類的符號中，沒有上畫線的表示省際高鐵旅客出行需求類，有上畫線的表示省內(nèi)高鐵旅客出行需求類；下標(biāo)1和2分別表示省級車站和地縣級車站。在下文的客流量比例、O-D起訖站同時停站概率、通過O-D對的列車數(shù)、人均上車時間偏差等參數(shù)或變量中，都采用相同的命名規(guī)則。

2.2　各需求類每個O-D對的平均服務(wù)列車數(shù)

(1)

(2)

其中，通過O-D對的列車是指同時通過O-D對起訖站的列車，服務(wù)于O-D的列車是指同時在O-D對起訖站停車的列車。

2.3　人均出行時間

1)旅客人均上車時間偏差

(3)

式中：T為全天運營時長，h。

Tdiff=λ1，1Tdiff,1,1+λ1，2Tdiff,1,2+λ2，2Tdiff,2,2+

(4)

2)旅客人均停站及附加時間

旅客人均停站及附加時間Tstop等于人均中途停站數(shù)與每次停車的平均停站及附加時間τstop之積，而旅客人均中途停站數(shù)又等于旅客中途人均通過車站數(shù)與列車在任意車站的平均經(jīng)停比之積。

旅客中途人均通過車站數(shù)不包括旅客上下車的車站，比旅客中途人均通過的區(qū)間數(shù)少1。而區(qū)間數(shù)等于旅客人均行程l除以高鐵線路的平均站間距d，所以旅客中途人均通過車站數(shù)等于1/d-1。根據(jù)兩類車站所占的比例θ1，θ2和列車在兩類車站的經(jīng)停比x1，x21及x22，可得列車在任意車站的平均經(jīng)停比等于θ1x1+θ2[x1x21+(1-x1)x22]。所以有

(1-x1)x22)]τstop

(5)

2.4　省會城市高鐵旅客出行需求集聚下的最優(yōu)列車經(jīng)停比優(yōu)化模型

在不同的高鐵線路上，盡管通過能力都能滿足需求，但運行圖的鋪畫結(jié)果與通過能力緊張程度是相關(guān)的，通過能力越緊張，要求不同列車的旅行速度越接近，進而要求不同列車的停站密度越接近，也就是說，要求在省級車站停車條件下的列車經(jīng)停比x21與不停車條件下的列車經(jīng)停比x22達到某種規(guī)定的比值，可表示為x22=αx21，其中，α(α>0)用于描述不同條件下列車停站密度的接近程度，α的值可以依據(jù)運行圖統(tǒng)計獲得。

綜上所述，以旅客人均出行時間最少為目標(biāo)函數(shù)，構(gòu)建省會城市高鐵旅客出行需求集聚下的最優(yōu)列車經(jīng)停比優(yōu)化模型M為

minZ=Tdiff+Tstop

(6)

s.t.

x22+αx21

(7)

x1>0；x21≤1

(8)

2.5　省會城市高鐵旅客出行需求集聚下的實例分析

|Z*-Z0|=|0.605-0.620|

=0.015(h)=0.9(min)

由圖1可以看出：隨著列車經(jīng)停比的增加，人均旅行時間在前面下降期下降的速度較快、而在后面增長期增加的速度較慢。高鐵運營企業(yè)可據(jù)此在最優(yōu)列車經(jīng)停比基礎(chǔ)上適度增加列車經(jīng)停比，用少量的人均旅行時間增量換取更多的服務(wù)列車。與省級車站相比，地縣級車站列車經(jīng)停比從最優(yōu)列車經(jīng)停比開始，沿著列車經(jīng)停比增加方向，人均旅行時間增長速度更快。這是因為地縣級車站數(shù)比省級車站數(shù)更多一些所致。

圖1不區(qū)分地縣級站條件下隨列車經(jīng)停比變化的人均出行時間等值線

與地級車站相比，縣級車站的列車經(jīng)停比增加時，人均旅行時間在前期降低的更快，在后期增長的更慢。這是因為京滬高鐵沿途的縣級車站數(shù)所占比例較少所致。

在省會城市高鐵出行高度集聚狀態(tài)下，省級車站的最優(yōu)列車經(jīng)停比幾乎為1，可以為省級車站相關(guān)需求提供更多的服務(wù)列車數(shù)。這個實例的分析結(jié)果與高鐵現(xiàn)場組織形式是完全契合的。

3　兩層次高鐵旅客出行需求集聚下的列車經(jīng)停比

3.1　3類車站與13類需求的劃分

將全體高鐵旅客出行需求O-D對集劃分為6個省際需求類(其表示符號不帶上畫線者)和7個省內(nèi)需求類，其中省內(nèi)需求類包括地縣級車站都隸屬同1個地級市的4個需求類(其表示符號帶有單上畫線者)，地縣級車站隸屬不同地級市的3個需求類(其表示符號帶有雙上畫線者)。表示符號下標(biāo)中的1,2,3分別對應(yīng)表示省級車站、地級車站和縣級車站。具體13個雙向旅客出行需求類如下。

W1，1：2個不同省級車站之間的。

W1，2：省級車站與外省所轄地級車站之間的。

W1，3：省級車站與外省所轄縣級車站之間的。

W2，2：不同省的2個地級車站之間的。

W2，3：地級車站與外省縣級車站之間的。

W3，3：不同省的2個縣級車站之間的。

3.2　兩層次高鐵旅客出行需求集聚條件下的最優(yōu)列車經(jīng)停比優(yōu)化模型

(9)

由所有開行列車的徑路統(tǒng)計獲得各需求類每個O-D對的平均通過列車數(shù)，分別記為

(10)

類似于式(2)，由式(9)和式(10)可得各需求類每個O-D對的平均服務(wù)列車數(shù)分別為

(11)

類似于式(4)可得旅客人均上車時間偏差為

(12)

類似于式(5)可得旅客人均停站及附加時間為

(13)

(14)

s.t.

x3，2=βx3，1

(15)

x2>0；x31≤1

(16)

模型中的約束條件式(15)描述了在地級車站停車和不停車2種條件下列車經(jīng)停比應(yīng)滿足規(guī)定的比例要求，β(β>0)用于限制不同列車具有相近的旅行速度，描述了不同條件下列車停站密度的相近程度，β可以依據(jù)運行圖統(tǒng)計獲得。

3.3　兩層次高鐵旅客出行需求集聚條件下的實例分析

仍然以京滬高鐵為例，京滬高鐵省、地、縣3類車站數(shù)所占比例分別為θ1=0.173 9，θ2=0.652 2，θ3=0.173 9，各個需求類客流量所占比例分別為

λ1，1=0.299 4，λ1，2=0.309 6，

λ1，3=0.063 6，λ2，2=0.061 4，

λ2，3=0.006 0，λ3，3=0.000 1，

各需求類每個O-D對的平均通過列車數(shù)分別為

m1，1=65.58，m1，2=67.14，m1，3=67.04，

m2，2=69.96，m2，3=63.79，m3，3=63.83，

隨著列車在地、縣級車站經(jīng)停比(x2，x3)的變化，人均出行時間的等值線如圖2所示。由圖2可以看出：隨著列車經(jīng)停比的增加，人均旅行時間在前面的下降期降速較快、而在后面的增長期增速較慢。最優(yōu)解臨近等值線類似于水平橢圓狀表明：與地級車站相比，縣級車站的列車經(jīng)停比從最優(yōu)列車經(jīng)停比開始，沿著列車經(jīng)停比增加方向，人均旅行時間增長速度更慢。這是因為京滬高鐵線上縣級車站數(shù)所占比例較少所致。

圖2　省級車站的列車經(jīng)停比為1時人均出行時間等值線

重要的是，我們可以利用最優(yōu)列車經(jīng)停比和式(11)計算出服務(wù)各個需求類的列車數(shù)分別為

=0.011(h)=0.66(min)

模型最優(yōu)列車經(jīng)停比與實際列車經(jīng)停比的相對偏差為

由此可見，實際列車經(jīng)停比與模型最優(yōu)列車經(jīng)停比的偏差非常小。

各個需求類的實際服務(wù)列車數(shù)為

當(dāng)然，由于本文給出的最優(yōu)列車經(jīng)停比研究方法需要滿足前提假設(shè)條件(1)—(7)，而生產(chǎn)實際中難以完全具備這些假設(shè)條件，所以生產(chǎn)實際中的列車經(jīng)停比略高于模型的最優(yōu)列車經(jīng)停比也是合理的，旅客多支付少量人均出行時間，但能獲得更多的服務(wù)列車。

另外，由于京滬高鐵的縣級車站數(shù)所占比例特別少(θ3=0.173 9)，所以地級車站的需求集聚特征非常弱，這也是β=1/0.95>1的原因。

對京廣高鐵和杭福深高鐵的列車經(jīng)停比進行了優(yōu)化計算也獲得相近的計算結(jié)果，將2個層次的優(yōu)化問題進行整體優(yōu)化，同樣獲得了相同的結(jié)果。本文篇幅所限未予列出。

4　結(jié)　論

(1)列車在省、地級車站停與不停2種條件下，在所轄行政區(qū)內(nèi)列車經(jīng)停比是控制列車停站均勻程度的參數(shù)，該參數(shù)值與線路能力的富足程度相關(guān)，與對應(yīng)行政區(qū)所轄的地、縣級車站數(shù)相關(guān)。

(2)在省、地兩級行政區(qū)內(nèi)各列車停站密度較均勻的約束下，以最小化旅客人均出行時間為優(yōu)化目標(biāo)，建立列車經(jīng)停比優(yōu)化模型。雖然理想化假設(shè)可能導(dǎo)致列車最優(yōu)經(jīng)停比略小于實際的列車經(jīng)停比，但優(yōu)化結(jié)果與實際情況偏差很小，驗證了該優(yōu)化方法的合理性。

(3)省級車站的最優(yōu)列車經(jīng)停比接近于1，說明省級車站具有顯著的高鐵旅客出行需求集聚特征；如果縣級車站數(shù)所占比例較大，則地級車站也具有一定的集聚特征；縣級車站的列車經(jīng)停比相對穩(wěn)定，是因為縣級車站沒有大量旅客集聚需求的支撐。

(4)不論哪一類車站，隨著列車經(jīng)停比增加，人均旅行時間在前面的下降期下降速度較快、后面的增長期速度增長較慢。高鐵運營企業(yè)可據(jù)此在最優(yōu)列車經(jīng)停比基礎(chǔ)上適度增加列車經(jīng)停比，用少量的人均旅行時間增量換取更多的服務(wù)列車。對于數(shù)量占比越小的車站類別，從最優(yōu)列車經(jīng)停比開始，在列車經(jīng)停比增加方向，人均旅行時間的增長速度越慢。

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