胡云飛

(江蘇省溧陽市埭頭中學(xué) 213311)

“集合”是高中數(shù)學(xué)的一個重要概念，也是高中數(shù)學(xué)的開篇內(nèi)容,在高中數(shù)學(xué)中有重要的意義.筆者選取了本市4所高中的8位老師的“集合的含義及其表示”這一節(jié)課進行了調(diào)研(本市共有高中6所，本次調(diào)研選取了生源排名1、2、3、6的4所高中，其中3所省四星級高中，1所省三星級高中)，8位教師中有3位9年教齡，2位12年教齡，1位15年教齡，2位19年教齡，其中縣市級“教學(xué)能手”以上專業(yè)榮譽稱號的教師有3位.雖然課堂調(diào)研都提前告知了上課教師，但課堂教學(xué)狀況實感有待商榷.

本文通過剖析調(diào)研中的主要問題，給出了“集合的含義及其表示”這一節(jié)課新的教學(xué)設(shè)計，并提出了核心素養(yǎng)視角下概念教學(xué)的一些思考.

1 問題分析

1.1 教學(xué)內(nèi)容認(rèn)識不到位帶來的教學(xué)目標(biāo)不清

理解教學(xué)內(nèi)容是上好課的基礎(chǔ)，課堂調(diào)研中一個突出的問題就是教師對教學(xué)內(nèi)容的認(rèn)識不到位，導(dǎo)致教學(xué)目標(biāo)不清晰.

第一，對“集合”概念的認(rèn)識存在偏差.“集合”是不定義的概念，只要學(xué)生感知，明白是什么就可以.不必深究它的內(nèi)涵，這也是教科書本節(jié)內(nèi)容標(biāo)題為“集合的含義及其表示”而非“集合的概念及其表示”的用意.教科書在習(xí)題中給出的“閱讀題”有這樣的敘述：一位漁民非常喜歡數(shù)學(xué)，但他怎么也想不明白集合的意義.于是，他請教數(shù)學(xué)家：“尊敬的先生，請你告訴我，集合是什么？”集合是不定義概念，數(shù)學(xué)家很難回答那位漁民.有一天，他來到漁民的船上，看到漁民撒下魚網(wǎng)，輕輕一拉，許多魚蝦在網(wǎng)中跳動.數(shù)學(xué)家非常激動，高興地告訴漁民：“這就是集合！”[1]

第二，對“集合”作用的認(rèn)識存在偏差.“集合”作為高中數(shù)學(xué)的開篇，除了是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)外，很重要的作用在于它是一種數(shù)學(xué)語言，它是學(xué)生從初中進入高中以后，“用數(shù)學(xué)語言表達世界”的開始.因此課堂教學(xué)應(yīng)該突出集合的“語言功能”，教學(xué)過程中要重視學(xué)生“用集合的語言”的意識，集合的表示方式就自然成了教學(xué)的重點.同時，因為高中語言表達的抽象性要遠高于初中學(xué)習(xí)要求，這也導(dǎo)致了“集合的表示方式”成為了本課的難點.{x|p(x)}是重要的數(shù)學(xué)語言，要從“語言的角度”講清描述法，理解形式所表達的意義：x代表集合的元素即描述的對象，p(x)表示元素x滿足的條件.不能死記形式，教師口述的時候特別要注意{x|p(x)}不要讀作“x、p(x)”，應(yīng)該讀作“元素x滿足條件p(x)”，這樣有利于學(xué)生對描述法的理解，后面出現(xiàn){(x,y)|p(x,y)}時學(xué)生的理解就方便了.另外需要指出的是，多數(shù)老師給出了集合的三種表示方式：列舉法、描述法和Venn圖，課堂中把這三者放在并列的關(guān)系，其實把“Venn圖”示意看成是“列舉法”的一種表達方式更符合學(xué)生的認(rèn)知.

1.2 教學(xué)方式使用不科學(xué)帶來的教學(xué)效益不高

本節(jié)課是概念課，而且是包含較多概念的“概念組”，在“集合”的主概念下還有元素、自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集、列舉法、描述法、相等集合、有限集、無限集、空集等概念，這么多概念在一節(jié)課里出現(xiàn)，難以“串聯(lián)”，許多教師采取了“講述+練習(xí)”的方式組織教學(xué).即使有些課堂嘗試“問題解決教學(xué)”，也因為問題設(shè)置不科學(xué)又回到一講到底的路上.事實上，這種“講述+練習(xí)”的教學(xué)方式中，概念得來是被動的，教學(xué)效益是低下的.學(xué)生對概念認(rèn)識不足，自然難以理解.“概念”生成過程中的感悟不足帶來的概念不清只得通過課后的強化訓(xùn)練解決.然而，再多的訓(xùn)練也只能停留在記憶與模仿的思維層次，缺少感悟和理解的課堂，出現(xiàn)“無根”“低空飛行”的現(xiàn)象也就難免了.

初中的學(xué)習(xí)內(nèi)容以及學(xué)習(xí)要求與高中相比是有很大的區(qū)別的，初中主要以形象思維為主，而作為高中數(shù)學(xué)的起始課，“集合”是一個抽象的內(nèi)容，要基于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和特征組織教學(xué).“講述+練習(xí)”的方式難以達到這個要求，相反，會給剛剛接觸高中數(shù)學(xué)的學(xué)生當(dāng)頭一棒，危害的不僅僅是本節(jié)課的學(xué)習(xí)，更是對學(xué)生未來學(xué)習(xí)的傷害.

因此，本節(jié)課應(yīng)該設(shè)計科學(xué)的題組，讓學(xué)生在探究的過程中獲得新知，獲得感悟，獲得一種良好學(xué)習(xí)方式，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

2 基于探究的“集合的含義及其表示”的教學(xué)設(shè)計

2.1 教學(xué)設(shè)計

問題1(1)請仿照下列敘述，向大家介紹一下自己.我家有爸爸、媽媽和我；我來自第二中學(xué).

(2)讓班級里的同學(xué)按性別站在一起分成兩組，一組叫A,一組叫B.問：你屬于哪一組？

(3)讓班級里畢業(yè)于相同初中學(xué)校的同學(xué)站在一起，分成不同組，編上編號.問：你屬于哪一組？

(4)剛剛這些問題中的“家庭”、“學(xué)?！?、“男生”、“女生”等概念有什么共同特征？

引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生用自己的語言表述，在學(xué)生表述的基礎(chǔ)上概括抽象生成“集合”的描述性概念：一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對象的全體構(gòu)成一個集合.集合中的每一個對象稱為該集合的元素，簡稱元.

說明：通過這些問題讓學(xué)生體驗和感知，在學(xué)生的感知基礎(chǔ)上抽象概括生成集合的概念.從生活中的例子出發(fā)，有利于學(xué)生的理解；通過分組實驗活動，讓學(xué)生參與并體驗，同時寓教于樂.概念的得來要讓學(xué)生參與，讓學(xué)生有充分的體驗和感悟.

問題2指出下列對象是否構(gòu)成集合，如果是，指出該集合的元素.

(1)我國的直轄市；(2)單詞“book”中的字母；(3)高一的高個子同學(xué)；(4)大于100的數(shù).

通過這個問題加深對“集合”的理解，在此基礎(chǔ)上給出集合的符號表示及元素與集合的關(guān)系.

說明：這是概念的運用，讓學(xué)生在概念的運用中加深對概念的理解，同時這個問題起到承上啟下的作用，作為下一個問題的載體，起到生成“元素與集合的關(guān)系、集合的表示方法”等新知的作用.

問題3你會用符號來表示出問題2中相應(yīng)的集合嗎？

以此問題作為探究集合兩種表示方法的載體.學(xué)生會比較方便地用列舉的方法來解決(1)(2)，老師在學(xué)生“列舉”的基礎(chǔ)上規(guī)范生成第一種表示方法：列舉法.“列舉法”解決不了(4)對應(yīng)的集合，這就激活了學(xué)生的“認(rèn)知沖突”，在這種情況下給出規(guī)范的表示，并生成一般的描述法{x|p(x)}.再回頭讓學(xué)生寫(1)(2)的描述法表示，在此基礎(chǔ)上比較兩種方法各自的優(yōu)點.并對照(1)(2)(4)對應(yīng)的集合給出“有限集、無限集、空集、相等集合”的概念及Venn圖表示集合的方法.

說明：在認(rèn)知沖突中激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，產(chǎn)生新知并加以鞏固.探究的方式有利于學(xué)生對新知的理解，也有利于學(xué)生素養(yǎng)的發(fā)展.

問題4你能再舉幾個集合的例子嗎？

若學(xué)生沒有舉到學(xué)過的數(shù)集就追問：我們最早學(xué)數(shù)學(xué)就是從數(shù)開始的，你能不能舉一些數(shù)組成的集合呢？在此基礎(chǔ)上給出常見數(shù)集的符號表示.

說明：學(xué)生舉例子是對概念的理解，同時通過這個問題產(chǎn)生“自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集”等概念及表示，把新知的生成納入問題解決過程中，使得整個問題鏈環(huán)環(huán)相扣層層遞進.

問題5用恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

(1)由小于20的既是奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)的數(shù)組成的集合；

(2)不等式3x-1>5的解組成的集合；

(3)方程x2-x+1=0的實數(shù)解組成的集合；

(4)函數(shù)y=x2+2x-3圖象上所有的點組成的集合.

讓學(xué)生自主完成，然后進行展示，先自評再他評，最后教師點評并提煉兩種表示方法.

說明：主要是對兩種表示方法的理解，讓學(xué)生掌握兩種表示方式，在點評中加強理解，在教師提煉中升華.問題解決是一種探究的方法，既解決了問題又發(fā)展了學(xué)生的素養(yǎng).

問題6已知M={2,a,b}，N={2a,2,b}，且M=N,求a，b的值.

學(xué)生自主思索，在獨立思考的基礎(chǔ)上相互交流，教師巡視觀察，展示有代表性的解答(不完整的也可以)，展示的時候讓學(xué)生本人自己先講思路的依據(jù)，然后其他同學(xué)點評和補充，需要的時候教師進行追問.解題后抽象概括出元素的“確定性、互異性、無序性”特征.

說明：本題顯性目的是考查“相等向量”，隱性目的是提高分析問題解決問題的能力和分類討論思想的感悟.本題的解題過程是學(xué)生探究的過程.

問題7你現(xiàn)在對集合有什么樣的認(rèn)識？

說明：通過這個問題對課堂進行小結(jié)，開放的問題突出學(xué)生的主體地位，更是“探究”學(xué)習(xí)的體現(xiàn).

2.2 設(shè)計說明

“集合”出現(xiàn)在高中教材的開篇，主要有兩個原因.第一，集合是重要的數(shù)學(xué)知識，是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).比如，高中的函數(shù)中集合知識的應(yīng)用很多：定義域、值域、單調(diào)區(qū)間以及不等式的解集；再如，邏輯用語中充分條件、必要條件和充要條件與集合的關(guān)系；還有概率、立體幾何、解析幾何等等內(nèi)容，都與集合有關(guān).第二，集合是重要的數(shù)學(xué)語言，是后續(xù)學(xué)習(xí)的工具.數(shù)學(xué)是刻畫自然規(guī)律的科學(xué)語言和有效工具，符號化、形式化是數(shù)學(xué)的顯著特點.從某種意義上來說，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)一種有特定含義的形式化語言，以及用這種形式化語言去表述、解釋、解決各種問題.集合論是德國數(shù)學(xué)家康托爾在19世紀(jì)末創(chuàng)立的.集合語言是近代數(shù)學(xué)的基本語言，利用它可以簡潔、準(zhǔn)確地表述數(shù)學(xué)對象.[2]“集合”的學(xué)習(xí)不僅僅是知識層面的意義，更重要的是它的語言意義，以及由此開始的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般模式.

基于“集合”這部分內(nèi)容的理解，本課教學(xué)的設(shè)計應(yīng)該把知識性和工具性并舉，鑒于學(xué)生的思維特征和認(rèn)知規(guī)律，以“問題解決教學(xué)”為途徑，以“探究學(xué)習(xí)”為方式.課堂教學(xué)以題組為載體，學(xué)生在問題探究的過程中獲得感知、產(chǎn)生新知、自然生長，教師不斷地進行追問，發(fā)展和深化學(xué)生的思維.這種探究式學(xué)習(xí)方式突出了學(xué)生的主體地位，有利于學(xué)生的主動學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)，有利于學(xué)生思維的主動性和深刻性，有利于學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.課堂通過題組，用“集合”的概念這根主線把獨立的概念串成“概念組”：從“元素的屬性”角度產(chǎn)生各種數(shù)集；從“元素個數(shù)的多少”出現(xiàn)有限集、無限集和空集；從“元素的呈現(xiàn)方式”生成列舉法和描述法；從“不同集合間元素的關(guān)系”得到相等集合.這樣一來“概念組”的教學(xué)就很簡約了，教師只要通過設(shè)置問題就能讓這些概念在學(xué)生問題解決得過程中自然生成.

3 反思

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中表現(xiàn)，在學(xué)生自主發(fā)展中發(fā)揮不可替代的作用，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐步形成的，既反映課程內(nèi)容的主線，聚焦課程目標(biāo)要求，也是學(xué)業(yè)質(zhì)量的集中反映.[3]數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就是數(shù)學(xué)教育過程中，學(xué)生逐步形成的適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)能力，是數(shù)學(xué)知識、能力和態(tài)度的綜合表現(xiàn).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程落實“立德樹人”這一教育根本任務(wù)的具體表現(xiàn)，是從發(fā)展性角度對數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)定位，為當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教育新一輪改革指明了方向，理應(yīng)成為當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的價值取向和實踐的內(nèi)驅(qū)力.[4]

就學(xué)科教學(xué)而言，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)目標(biāo)是改善學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力,讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí).發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的根據(jù)地是課堂，課堂教學(xué)應(yīng)從“知識”核心向“素養(yǎng)”核心轉(zhuǎn)移.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的邏輯起點，是學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)，是學(xué)生進行數(shù)學(xué)思維的核心，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)中具有重要地位.[5]因此，概念教學(xué)是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的重要載體，以探究為方式的概念教學(xué)是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的有效途徑和方式.課堂教學(xué)中教師要精于設(shè)計問題，通過“問題解決教學(xué)”組織學(xué)生探究，通過對問題的探究在解決問題的過程中獲得新知，獲得感受，獲得解決問題的方法和思想，從而獲得核心素養(yǎng)的發(fā)展，獲得能力的提升.蘇州教科院祁平曾說過：“近十年來，人們越來越認(rèn)識到關(guān)注探究的數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)方式改變的重要標(biāo)志，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維和創(chuàng)造能力最重要的方式.離開探究的數(shù)學(xué)教學(xué)，就沒有思維的廣闊空間，就沒有鮮活的思維火花，就不可能有創(chuàng)造能力的培養(yǎng)和提升.……基于探究的數(shù)學(xué)教學(xué)是指教師針對教學(xué)中的某個教學(xué)內(nèi)容，精心設(shè)計能引發(fā)學(xué)生積極探索的教學(xué)過程，使學(xué)生在體驗數(shù)學(xué)研究的過程中培養(yǎng)獨立思考、合情推理等方面的能力.”[6]

4 結(jié)束語

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是隱性的，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展必須內(nèi)化在課堂教學(xué)中，一堂好課應(yīng)該是立足“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”發(fā)展的課.概念課是高中數(shù)學(xué)課堂的重要內(nèi)容，在概念教學(xué)中以探究的方式讓學(xué)生參與概念的生成，在概念生成的過程中理解概念，在探究的過程中感悟數(shù)學(xué)思想、積累思維經(jīng)驗發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)應(yīng)該成為課堂的常態(tài).