運(yùn)用整體思想解題培養(yǎng)創(chuàng)新能力

江西省景德鎮(zhèn)市第十九中學(xué)(333000) 韓 國(guó) ●

運(yùn)用整體思想解題培養(yǎng)創(chuàng)新能力

江西省景德鎮(zhèn)市第十九中學(xué)(333000) 韓 國(guó) ●

本文舉例論述了如何采用“整體思想”來(lái)解題，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力．

整體思想;解題;創(chuàng)新能力

“整體思想”是一種重要的數(shù)學(xué)解題思想方法．“整體思想”就是在解題過(guò)程中不執(zhí)著于局部的處理，不拘泥于常規(guī)的方法，而根據(jù)數(shù)學(xué)題目自身的特殊性，從整體的角度出發(fā)進(jìn)行處理，即把題目中的某一部分看成一個(gè)整體，而不進(jìn)行單獨(dú)求解．在求條件代數(shù)式的值時(shí)，一般從已知式中不能確定代數(shù)式中字母的值，或雖能確定，但計(jì)算繁雜，這時(shí)若采用整體思想代換求值，常能使問(wèn)題迅速獲解．這種從整體處理的思維方法，不僅解題方法別致新穎、思路清晰，而且能達(dá)到迅速、準(zhǔn)確的解題目的．有利于開(kāi)闊學(xué)生的視野，提高能力、發(fā)展智力、增強(qiáng)素質(zhì)．

例1 ①已知x3+x2+x+1=0，那么1+x+x2+x3+ x4+…+x1995=________;

②已知a2－a+1=0，求a3－2a+1的值．

③已知x2+x－1=0，求x3+2x2+1997的值．

解 ①原式=(1+x+x2+x3)+x4(1+x+x2+x3)+ x8(1+x+x2+x3)+…+x1992(1+x+x3+x3)=(1+x+x2+x3)(1+x4+x8+x12+…+x1992)．

∵1+x+x2+x3=0，∴原式=0．

②原式=a3－a2－a+a2－a－1+2=a(a2－a－1)+ (a2－a－1)+2．

∵a2－a－1=0，

∴原式=a×0+0+2=2．

③由x2+x－1=0，得x2+x=1．

原式=x3+x2+x2+x－x+1997=x(x2+x－1)+(x2+x)+1997=x×0+1+1997=1998．

說(shuō)明 如果從已知式中得出字母的值，再直接代入計(jì)算過(guò)程相當(dāng)繁瑣．將已知的代數(shù)式的值，整體代入待求的代數(shù)式中求值，可以大大減少運(yùn)算量，化繁為易．

②當(dāng)x2－4x+1=0時(shí)，求的值．

解 ①解法1:將已知式變形得x2=3x－1，x2+1= 3x．原式=

②解法2:

說(shuō)明 若已知條件式是二次三項(xiàng)式，可以根據(jù)待求式的特征，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃?，然后利用整體代入以達(dá)到簡(jiǎn)化的目的．

例3 已知－2x+y=5，求20x2－20xy+5y2－6x+3y +1870的值．

分析 用整體思維處理問(wèn)題，就是從大處著眼，不局限于細(xì)微枝節(jié)，有時(shí)可把已知條件或解題中所得的中間結(jié)果作為一個(gè)整體，代入所求的式子中，使問(wèn)題能快捷解決．

將2x－y視為一個(gè)整體，直接代入原式方便而快速求解．

解 由－2x+y=5，得2x－y=－5，

原式=5(2x－y)2－3(2x－y)+1870

=5×(－5)2－3×(－5)+1870

=2010．

例4 當(dāng)x=－3時(shí)，代數(shù)式ax5+bx3+cx－8=6，求當(dāng)x=3時(shí)，ax5+bx3+cx－8的值．

分析 因無(wú)法分別求出a、b、c的值，可把a(bǔ)x5+bx3+ cx看作一個(gè)“整體”，先求其值．

解 當(dāng)x=－3時(shí)，由已知可得35a+33b+3c=－14．故當(dāng)x=3時(shí)，ax5+bx3+cx－8=35a+33b+3c－8=－14－8= －22．

分析 把5x－4看成一個(gè)整數(shù)，即可消去x．

解 把②代入①，得4y=3+3y，即y=3．

把y=3代入②得5x－4=6，即x=2．

代換思想是解題中常用的策略，對(duì)于一般的代換思想同學(xué)們并不陌生，這里給出一個(gè)非常規(guī)的整體求解，整體代換的實(shí)例．

例6 已知x+y+z=3，求證:(x－1)2+(y－1)2+ (z－1)2=2［(x－1)(1－y)+(y－1)(1－z)+(z－1)(1－x)］．

分析 本題若從常規(guī)方法考慮，無(wú)疑是很繁瑣的，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn):求證的式子有點(diǎn)像(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．

再觀察條件x+y+z=3，可變?yōu)閤－1+y－1+z－1= 0于是可采用整體求解，整體代換的思想．

證 ∵x+y+z=3，

∴(x－1)+(y－1)+(z－1)=0，

∴［(x－1)+(y－1)+(z－1)］2=0，

∴(x－1)2+(y－1)2+(z－1)2+2(x－1)(y－1)+ 2(x－1)(z－1)+2(y－1)(z－1)=0，

∴(x－1)2+(y－1)2+(z－1)2=2［(x－1)(1－y) +(y－1)(1－z)+(z－1)(1－x)］．

在解決一些數(shù)學(xué)題時(shí)，有些問(wèn)題如果說(shuō)分開(kāi)來(lái)看，似乎很不好處理，找不到解決問(wèn)題的關(guān)鍵，但作為一個(gè)整體來(lái)處理，就變得容易一些．

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