黃 煜 徐青山 劉建坤 衛(wèi) 鵬

(1東南大學(xué)電氣工程學(xué)院, 南京 210096)(2江蘇省電力公司電力科學(xué)研究院, 南京 210003)

基于混合高斯模型的相關(guān)非高斯輸入變量隨機(jī)潮流計(jì)算

黃 煜1徐青山1劉建坤2衛(wèi) 鵬2

(1東南大學(xué)電氣工程學(xué)院, 南京 210096)(2江蘇省電力公司電力科學(xué)研究院, 南京 210003)

提出一種考慮輸入變量相關(guān)性的隨機(jī)潮流計(jì)算方法.該方法針對(duì)系統(tǒng)中的非高斯輸入變量,建立其混合高斯模型(GMM).在此基礎(chǔ)上,引入高斯分量組合算法(GCCM),通過(guò)多次加權(quán)最小二乘計(jì)算(WLS)直接求得輸出變量的概率分布.研究限制GMM中高斯分量個(gè)數(shù)的約簡(jiǎn)方法,以減少WLS運(yùn)算次數(shù).對(duì)IEEE-30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的仿真和誤差分析表明,GMM具有擬合精度高、適用性廣的特點(diǎn).所提方法與MCS的計(jì)算結(jié)果基本一致,但計(jì)算效率有了顯著提高,并且算法的速度和精度與WLS運(yùn)算次數(shù)有關(guān).

混合高斯模型;約簡(jiǎn)算法;相關(guān)性;高斯分量組合;隨機(jī)潮流

近年來(lái),以風(fēng)電為代表的新能源發(fā)電在我國(guó)得到了大力發(fā)展[1-2].由于風(fēng)機(jī)出力具有強(qiáng)隨機(jī)性、弱可控性,因而其大規(guī)模接入將給電網(wǎng)運(yùn)行帶來(lái)許多不確定因素[3].而分布式電源及儲(chǔ)能的發(fā)展、電動(dòng)汽車的興起以及電力市場(chǎng)的逐步建立則將加劇系統(tǒng)的不確定性[4-6].

另一方面,實(shí)際電力系統(tǒng)中還需考慮各種關(guān)聯(lián)因素的影響,如同一地區(qū)的同類負(fù)荷受自然或社會(huì)因素的影響具有相似的波動(dòng)特性,地理位置相近的風(fēng)電場(chǎng)之間風(fēng)速具有強(qiáng)相關(guān)性(同時(shí)增大或減小)等[7-8],隨著能源互聯(lián)網(wǎng)概念的提出[9],未來(lái)電網(wǎng)中各部分的聯(lián)系將愈加緊密.為了應(yīng)對(duì)新環(huán)境下電網(wǎng)呈現(xiàn)出的隨機(jī)性和相關(guān)性的挑戰(zhàn),準(zhǔn)確評(píng)估系統(tǒng)的潮流分布特性是基礎(chǔ)和前提.

近些年,大量國(guó)內(nèi)外學(xué)者在Borkowska等[10]提出的隨機(jī)潮流基礎(chǔ)上考慮相關(guān)性因素.目前,相關(guān)性的隨機(jī)潮流方法有蒙特卡洛仿真法(MCS)、點(diǎn)估計(jì)法(PEM)[11-12]和半不變量法[13]等.以簡(jiǎn)單隨機(jī)采樣為基礎(chǔ)的傳統(tǒng)MCS除了原理簡(jiǎn)單、精度高的優(yōu)勢(shì)外,還能方便地與ARMA模型和時(shí)移技術(shù)[14]、Nataf變換[15]、Copula函數(shù)等相關(guān)性問(wèn)題的處理方法相結(jié)合,但計(jì)算規(guī)模大、耗時(shí)長(zhǎng),即使采用改進(jìn)的抽樣技術(shù),如拉丁超立方采樣[16]、準(zhǔn)蒙特卡洛法等,計(jì)算負(fù)擔(dān)仍很重,這也制約了其進(jìn)一步發(fā)展.而點(diǎn)估計(jì)法和半不變量法與MCS相反,文獻(xiàn)[17-18]通過(guò)Cholesky分解在上述方法的基礎(chǔ)上考慮輸入變量之間的相關(guān)性,但當(dāng)系統(tǒng)規(guī)模較大時(shí),其有效性及誤差大小有待進(jìn)一步驗(yàn)證.文獻(xiàn)[19]將不確定度量化的方法用于隨機(jī)潮流中,采用基于廣義正交多項(xiàng)式混沌(gPC)的隨機(jī)Galerkin法,將隨機(jī)潮流方差轉(zhuǎn)化為一組確定性的高維方差,通過(guò)一次求解代替MCS的反復(fù)計(jì)算,具有較高的計(jì)算精度.

由于系統(tǒng)的隨機(jī)輸入變量,如負(fù)荷功率、風(fēng)電機(jī)組出力等大多是非高斯分布,難以用單一的標(biāo)準(zhǔn)分布函數(shù)準(zhǔn)確擬合[20],使得PEM所得高階矩誤差較大,并給輸入變量的各階半不變量求解帶來(lái)困難.文獻(xiàn)[21-23]采用高斯分布來(lái)近似不同類型的負(fù)荷,由此產(chǎn)生的建模誤差會(huì)帶入到隨機(jī)潮流計(jì)算中,并在誤差傳遞作用下放大[24],影響結(jié)果的精度.

本文提出了采用混合高斯模型(Gaussian mixture model, GMM)描述系統(tǒng)的相關(guān)非高斯輸入變量,能夠適應(yīng)各種分布類型且擬合精度較高.并在此模型基礎(chǔ)上,引入高斯分量組合算法(Gaussian component combination method, GCCM),通過(guò)多次加權(quán)最小二乘運(yùn)算(weighted least square, WLS)得到各節(jié)點(diǎn)電壓和支路潮流的概率分布(PDF).為了減少WLS計(jì)算次數(shù),研究不同的約簡(jiǎn)方法以限制GMM的高斯分量個(gè)數(shù).通過(guò)對(duì)IEEE-30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的測(cè)試,驗(yàn)證了所提方法的準(zhǔn)確性和實(shí)用性.

1 混合高斯模型

GMM是由若干個(gè)高斯分布加權(quán)線性疊加而成,對(duì)于一維隨機(jī)變量X,其PDF可表示為[25]

(1)

式中,ωi,μi和σi分別為GMM中第i個(gè)分量的權(quán)重、均值和標(biāo)準(zhǔn)差.其中,權(quán)重系數(shù)ωi必須滿足歸一化條件,即

(2)

通過(guò)EM算法[26]并結(jié)合量測(cè)數(shù)據(jù)可以方便地求得參數(shù)ω,μ和σ.而高斯分量個(gè)數(shù)n會(huì)直接影響模型的精確程度,n越大,模型的偏差越小.理論上,當(dāng)n→∞時(shí),GMM能夠平滑任何類型的輸入變量分布,但待求參數(shù)和耗時(shí)也增大.應(yīng)用AIC信息準(zhǔn)則[27]能夠較好地平衡模型復(fù)雜度與擬合準(zhǔn)確性之間的矛盾,從而得到n的最佳取值.圖1為采用GMM(n=4)近似非高斯的實(shí)際負(fù)荷樣本分布.為了評(píng)估GMM的擬合效果,選取3種常用分布(高斯分布、對(duì)數(shù)高斯分布和γ分布)作為參照(見(jiàn)圖2),可以看出,GMM的擬合精度明顯優(yōu)于其他分布.卡方檢驗(yàn)[28]可用于擬合優(yōu)度的量化分析,卡方值越小,說(shuō)明函數(shù)的擬合效果越好.表1列出了不同擬合分布卡方值的大小(利用Matlab中的chi2gof函數(shù)),其中GMM的卡方值遠(yuǎn)小于其他3種分布,證明了其建模的準(zhǔn)確性.

圖1 實(shí)際負(fù)荷的混合高斯模型近似

圖2 不同擬合曲線的比較

表1 各種分布的卡方檢驗(yàn)

2 高斯分量的約簡(jiǎn)

當(dāng)系統(tǒng)中采用GMM所表示的非高斯輸入變量較多時(shí),隨機(jī)潮流計(jì)算規(guī)模會(huì)隨高斯分量個(gè)數(shù)n的增大成幾何倍數(shù)甚至指數(shù)式的增長(zhǎng).因此,在基本不丟失擬合精度的前提下,采用約簡(jiǎn)算法以減少高斯分量的個(gè)數(shù)n.約簡(jiǎn)算法主要應(yīng)滿足以下三點(diǎn)準(zhǔn)則:

1) 保持約簡(jiǎn)前后的均值和方差不變,即使有偏差也很小,可忽略不計(jì).

2) 算法本身便捷有效、魯棒性好.

3) 約簡(jiǎn)后的結(jié)果應(yīng)當(dāng)與初始模型具有類似的結(jié)構(gòu)或形式上一致.

一般的約簡(jiǎn)方法,如文獻(xiàn)[29]的整體合并和聚類合并能夠滿足上述準(zhǔn)則1或2,但約簡(jiǎn)得到的結(jié)果均為單一的高斯分布,在形式上與原GMM有一定差異.為了滿足準(zhǔn)則3的要求,本文采用配對(duì)合并的方法,設(shè)約簡(jiǎn)后的結(jié)果為gX(x),可表示為

(3)

Jd=∫(fX(x)-gX(x))2dx

(4)

式(4)可進(jìn)一步展開為

Jd=Jd,ff-2Jd,fg+Jd,gg

(5)

其中,Jd,ff=∫fX(x)2dy,Jd,fg=∫fX(x)gX(x)dx,Jd,gg=∫gX(x)2dx.結(jié)合式(1)、(3)中的fX和gX的具體表達(dá)式,可得

2個(gè)高斯函數(shù)乘積的積分可表示為[30]

(9)

式中,α為尺度參數(shù),

(10)

(11)

(12)

用式(9)替換式(6)～(8)中的積分項(xiàng),經(jīng)化簡(jiǎn)后得到

(13)

(14)

(15)

將gX中所有分量?jī)蓛膳鋵?duì)組合,使Jd最小的一對(duì)分量i,j合并,得到新的高斯分量ij的各個(gè)參數(shù)為

(16)

(17)

(18)

完成一次配對(duì)合并,gX減少一個(gè)分量,但均值和方差保持不變.重復(fù)以上步驟,直到高斯分量個(gè)數(shù)n達(dá)到指定值.圖3為配對(duì)合并后所得gX(l=2,3)的曲線,相較于前2種約簡(jiǎn)方法,其與原GMM分布基本吻合,擬合效果最好.

圖3 不同約簡(jiǎn)模型的比較

3 非高斯輸入變量的隨機(jī)潮流

3.1 高斯分量組合算法

Dopazo等[31]借鑒了狀態(tài)估計(jì)的思想,利用WLS進(jìn)行隨機(jī)潮流計(jì)算,但所有輸入變量必須服從高斯分布.針對(duì)用GMM近似的非高斯輸入變量,本文提出一種高斯分量組合算法(GCCM).從各GMM中每次選取一個(gè)高斯分量并進(jìn)行WLS運(yùn)算,共有Nc種高斯分量的組合方式,總的WLS運(yùn)算次數(shù)為

(19)

式中,N為非高斯輸入變量的個(gè)數(shù)；Li為第i個(gè)GMM所含高斯分量的個(gè)數(shù).若Li=1,i=1,2,…,N,則意味著所有輸入變量的PDF都簡(jiǎn)化為高斯分布,此時(shí)只需要一次WLS運(yùn)算.

就單次運(yùn)算,WLS方法的關(guān)鍵是最小化如下目標(biāo)函數(shù):

J(x)=[z-h(x)]TR-1[z-h(x)]

(20)

式中,x為由節(jié)點(diǎn)電壓幅值和相角組成的向量；z為輸入變量向量(高斯分量的均值)；h(x)由一系列非線性的節(jié)點(diǎn)電壓量測(cè)方程組成；R為輸入向量z的誤差協(xié)方差矩陣.

矩陣R的對(duì)角元素為對(duì)應(yīng)的高斯分量的方差,而非對(duì)角元素反映的是不同輸入變量間的相關(guān)性.假設(shè)任意2個(gè)高斯分量的相關(guān)性與它們各自所屬的GMM間的相關(guān)性保持一致,則非對(duì)角元素R(i,j)可表示為

R(i,j)=ρijσiσj

(21)

式中,σi,σj為高斯分量i或j的標(biāo)準(zhǔn)差；ρij為第i,j個(gè)輸入變量之間的相關(guān)系數(shù).通過(guò)迭代搜尋使式(20)的最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)值最小,第k次迭代的表達(dá)式為

G(xk)Δxk=HT(xk)R-1[z-h(xk)]

(22)

式中,H=(?h(x)/?x)；G=HTR-1HT為信息矩陣.當(dāng)Δxk=xk+1-xk小于設(shè)定值時(shí),迭代終止.由求得的狀態(tài)量可進(jìn)一步計(jì)算出系統(tǒng)的支路潮流及各節(jié)點(diǎn)的注入量.

對(duì)信息矩陣G求逆，可以得到狀態(tài)量x的協(xié)方差矩陣Σs,即

Σs=[HT(x)R-1HT(x)]-1

(23)

相應(yīng)地,支路潮流和部分節(jié)點(diǎn)注入量的協(xié)方差矩陣Σp可表示為

Σp=K(x)G-1(x)KT(x)

(24)

式中,K(x)=(?k(x)/?x),k(x)為包含支路潮流及節(jié)點(diǎn)注入量的量測(cè)方程.

(25)

最終建立節(jié)點(diǎn)電壓幅值、相角及支路潮流的PDF表達(dá)式為

(26)

3.2 算法流程

GCCM算法求解隨機(jī)潮流的流程如圖4所示,可歸納為以下幾步:

① 分別從GMM擬合的各輸入變量中選取一個(gè)高斯分量,形成一種組合方式.每個(gè)高斯分量的均值作為輸入變量向量z的一個(gè)元素,方差為誤差協(xié)方差矩陣R相應(yīng)的對(duì)角元素.考慮輸入變量的相關(guān)性,由式(21)修正R中的非對(duì)角元素.

② 通過(guò)WLS得到系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)電壓、支路潮流及部分節(jié)點(diǎn)注入量的最優(yōu)估計(jì)值,并儲(chǔ)存式(23)、(24)所得協(xié)方差矩陣Σs和Σp的對(duì)角元素.

④ 重復(fù)步驟①～③,直到輸入變量的所有高斯分量組合方式都完成遍歷.最終Nc個(gè)高斯分量按式(26)建立輸出變量的PDF.

GCCM的耗時(shí)主要取決于WLS運(yùn)算次數(shù)Nc.如果Nc較大,則需要在對(duì)非高斯輸入變量建模后,采用2.3節(jié)的方法約簡(jiǎn)GMM中高斯分量的個(gè)數(shù).由式(19)可知,對(duì)于輸入變量個(gè)數(shù)Nc較多的大型系統(tǒng),每約簡(jiǎn)一個(gè)高斯分量,Nc會(huì)顯著減小,相應(yīng)的計(jì)算時(shí)間也隨之減少.

圖4 GCCM隨機(jī)潮流計(jì)算方法的流程圖

4 算例分析

4.1 仿真系統(tǒng)介紹

由于WLS計(jì)算誤差一般與系統(tǒng)規(guī)模關(guān)系不大[31],為了便于說(shuō)明問(wèn)題,以改進(jìn)的IEEE-30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例,網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與線路參數(shù)詳見(jiàn)文獻(xiàn)[32].在節(jié)點(diǎn)24,29處分別接入2座裝機(jī)容量為10,35 MW的小型風(fēng)電場(chǎng),其有功功率采用GMM擬合,具體參數(shù)如表2所示.采用恒功率因數(shù)控制方式(φ=0.95),風(fēng)電場(chǎng)之間的出力具有相關(guān)性,相關(guān)系數(shù)ρ=0.6.

表2中GMM參數(shù)的確定需要大量的風(fēng)電場(chǎng)歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),若缺少必要的量測(cè)數(shù)據(jù),則通常先利用標(biāo)準(zhǔn)分布函數(shù)(如Weibull分布)來(lái)近似風(fēng)速分布,并結(jié)合風(fēng)電機(jī)組的輸出特性,得到風(fēng)電場(chǎng)出

力的概率分布[33].由于風(fēng)速擬合過(guò)程中不可避免地會(huì)產(chǎn)生誤差,在風(fēng)機(jī)輸出特性的傳遞作用下,該誤差將被放大,導(dǎo)致模型精度不高.

表3給出了采用GMM擬合的負(fù)荷模型參數(shù),一般高斯分量n取2或3即可達(dá)到AIC信息準(zhǔn)則的收斂要求.假定負(fù)荷有功與無(wú)功之間的功率因數(shù)角恒定,有

(27)

式中,μP,σP為有功功率高斯分量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差；φ為功率因數(shù)角.

表2 風(fēng)電場(chǎng)有功功率的GMM參數(shù) p.u.

表3 負(fù)荷有功功率的GMM參數(shù) p.u.

除節(jié)點(diǎn)4,7和21外,其余節(jié)點(diǎn)負(fù)荷功率均服從高斯分布,均值見(jiàn)文獻(xiàn)[32]的負(fù)荷數(shù)據(jù),標(biāo)準(zhǔn)差取均值的10%.考慮節(jié)點(diǎn)負(fù)荷之間的相關(guān)性,可將系統(tǒng)大致分為2個(gè)區(qū)域:區(qū)域1包含節(jié)點(diǎn)16～20,相關(guān)系數(shù)ρ1=0.6；區(qū)域2(節(jié)點(diǎn)15,23～26)的相關(guān)系數(shù)ρ2=0.75,2個(gè)區(qū)域間存在弱相關(guān)性(ρ1,2=0.2).

4.2 仿真結(jié)果與誤差分析

采用GCCM對(duì)上述算例進(jìn)行仿真計(jì)算,為了比較負(fù)荷的GMM及高斯模型對(duì)隨機(jī)潮流結(jié)果的影響,利用下式將表3中的節(jié)點(diǎn)負(fù)荷模型替換為與原GMM相等的高斯分布的均值和方差：

(28)

(29)

以MCS所得結(jié)果作為參照(樣本規(guī)模NL=2×104),圖5為節(jié)點(diǎn)25電壓幅值U25及支路19-20無(wú)功功率的CDF曲線比較.由圖可知,采用GMM求得的概率分布曲線非常接近于MCS方法的概率分布,而高斯模型的概率分布與MCS存在一定偏差.

對(duì)上述誤差做定量分析,引入方差和的根均值(average root mean square,ARMS)來(lái)衡量輸出變量概率分布的計(jì)算精度[34],即

(30)

(a) 節(jié)點(diǎn)25電壓幅值的CDF

(b) 支路19-20無(wú)功功率的CDF

為了減少WLS的運(yùn)算次數(shù),采用配對(duì)合并方法對(duì)表2中GMM擬合風(fēng)電場(chǎng)有功出力進(jìn)行高斯分量的約簡(jiǎn),將高斯分量個(gè)數(shù)L從5降至4，最后降到3,則對(duì)應(yīng)的WLS次數(shù)Nc=300,192和108(取決于所有GMM的高斯分量組合數(shù)).

表4 部分輸出變量的ARMS %

圖6(a)比較了約簡(jiǎn)前后節(jié)點(diǎn)26電壓幅值的PDF.可以明顯看出,Nc=300和192所對(duì)應(yīng)的PDF與MCS的結(jié)果較為接近,而當(dāng)WLS次數(shù)Nc降至108時(shí),經(jīng)約簡(jiǎn)所帶來(lái)的擬合誤差影響開始顯現(xiàn),盡管得到的PDF曲線形狀上仍保持一致,但精度有所損失.

圖6(b)給出的支路10-17無(wú)功功率的變化規(guī)律與圖6(a)的電壓幅值變化規(guī)律正好相反:WLS次數(shù)越少,其PDF反而越接近MCS的結(jié)果.這是由于所提方法假設(shè)相關(guān)系數(shù)ρij在每次WLS計(jì)算中固定不變(即任意2個(gè)高斯分量的相關(guān)性與它們各自所屬的GMM間的相關(guān)性一致),導(dǎo)致每次運(yùn)算都會(huì)引入誤差,而減小Nc能有效避免這種誤差的影響.

(a) 節(jié)點(diǎn)26電壓幅值的PDF

(b) 支路10-17無(wú)功功率的PDF

表5列出了系統(tǒng)輸出變量均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ的平均相對(duì)誤差[35].可以看出，均值的相對(duì)誤差都很小，且與Nc關(guān)系不大，而對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差σ而言,Nc越大,誤差傳遞的次數(shù)越多,標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)誤差也就越大.

表5 均值和標(biāo)準(zhǔn)差的平均相對(duì)誤差 %

在主頻為2.63 GHz、運(yùn)行內(nèi)存為2 GB的intel i3計(jì)算機(jī)上,采用Matlab 2012b運(yùn)行得到算法的計(jì)算時(shí)間如表6所示.當(dāng)Nc=300時(shí),其耗時(shí)約為MCS(NL=2×104)的3%,且隨Nc的減小,耗時(shí)呈線性下降,極大地提升了計(jì)算效率.

表6 算法的計(jì)算時(shí)間對(duì)比 s

5 結(jié)論

1) 與其他標(biāo)準(zhǔn)分布相比,GMM的擬合精度更高,且模型靈活簡(jiǎn)單、參數(shù)確定較為方便.

2) 所提方法的計(jì)算耗時(shí)相較于MCS有了顯著降低,通過(guò)對(duì)高斯分量約簡(jiǎn),減少了GCCM中WLS運(yùn)算次數(shù),可進(jìn)一步加快計(jì)算速度.

3) 利用誤差協(xié)方差矩陣中的非對(duì)角元素,能方便地處理輸入變量之間的相關(guān)性.

4) 由于算法假設(shè)高斯分量間的相關(guān)系數(shù)在計(jì)算過(guò)程中固定不變,故每次WLS運(yùn)算都會(huì)引入誤差.約簡(jiǎn)高斯分量個(gè)數(shù)雖然使模型精度下降,但也減少了WLS運(yùn)算次數(shù),減小了誤差傳遞的影響,在某些場(chǎng)合反而能提高精度.

雖然本文的約簡(jiǎn)方法有效地提升了計(jì)算效率,但當(dāng)系統(tǒng)規(guī)模巨大,隨機(jī)變量數(shù)量眾多,維數(shù)升高時(shí),所提算法的計(jì)算量會(huì)顯著增加.后續(xù)將研究通過(guò)高性能并行計(jì)算或分布式計(jì)算策略,實(shí)現(xiàn)所提算法在實(shí)際大規(guī)模場(chǎng)景下的在線應(yīng)用.

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Probabilistic load flow with non-Gaussian correlated input variables based on Gaussian mixture model

Huang Yu1Xu Qingshan1Liu Jiankun2Wei Peng2

(1School of Electrical Engineering, Southeast University, Nanjing 210096, China)(2Jiangsu Electric Power Research Institute, Nanjing 210003, China)

An algorithm for probabilistic load flow considering the correlation between input variables was proposed. A Gaussian mixture model (GMM) was established by the algorithm to represent non-Gaussian input variables in the system. On such a basis, a Gaussian component combination method (GCCM) was introduced and the marginal distribution of any output variable was directly obtained from multiple weighted least square runs (WLS). A study was also carried out to reduce the number of trials by limiting the number of Gaussian components. The simulation and error analysis on IEEE-30 test system indicated that GMM had the features of high fitting precision and wide applicability. The results obtained from the proposed method are identical to that of MCS and the computational efficiency is obviously improved. The effectiveness and the accuracy are proved to be closely related to operation times of WLS.

Gaussian mixture model; reduction algorithm; correlation; Gaussian component combination; probabilistic load flow

10.3969/j.issn.1001-0505.2017.02.016

2016-07-19. 作者簡(jiǎn)介: 黃煜(1992—),男,博士生；徐青山(聯(lián)系人),男,博士,教授,博士生導(dǎo)師,xuqingshan@seu.edu.cn.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51577028)、國(guó)家電網(wǎng)公司科技資助項(xiàng)目.

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10.3969/j.issn.1001-0505.2017.02.016.

TM74

A

1001-0505(2017)02-0291-08