張 鵬 費(fèi)慶國 吳邵慶 李彥斌

(東南大學(xué)土木工程學(xué)院, 南京 210096)

基于模態(tài)疊加法的面壓載荷與基礎(chǔ)激勵等效方法

張 鵬 費(fèi)慶國 吳邵慶 李彥斌

(東南大學(xué)土木工程學(xué)院, 南京 210096)

基于模態(tài)疊加法,將隨機(jī)面壓載荷等效為隨機(jī)基礎(chǔ)激勵,為薄壁構(gòu)件的振動臺試驗替代成本較高的噪聲試驗提供依據(jù)．該方法要求等效前后2種載荷作用下主模態(tài)位移一致,將單源載荷等效這一超靜定問題合理簡化為靜定問題．以炭/炭復(fù)合材料懸臂板為研究對象,來驗證載荷等效方法的有效性．分析結(jié)果顯示,在隨機(jī)面壓載荷及等效隨機(jī)基礎(chǔ)激勵作用下,板上典型部位隨機(jī)正應(yīng)力響應(yīng)的功率譜密度高度吻合,在分析頻段內(nèi)危險點(diǎn)處x軸向正應(yīng)力響應(yīng)均方根分析誤差低于1%,分布在板上的5個響應(yīng)點(diǎn)處x軸向正應(yīng)力響應(yīng)均方根分析誤差低于2%．該方法能有效地將隨機(jī)面壓載荷等效為基礎(chǔ)激勵,保證等效前后2種載荷作用下薄壁構(gòu)件的隨機(jī)動應(yīng)力響應(yīng)在頻域及空間域上的分布一致性．

面壓載荷; 基礎(chǔ)激勵; 載荷等效; 替代試驗; 模態(tài)疊加法

高強(qiáng)隨機(jī)脈動壓力作用下先進(jìn)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為是工程上較為關(guān)注的問題之一[1-3]．在高強(qiáng)隨機(jī)脈動壓力作用下,復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)可能會發(fā)生疲勞破壞[4]．在設(shè)計階段,必須通過地面試驗分析校核結(jié)構(gòu)的可靠性．然而,噪聲試驗對設(shè)備的要求較高．在構(gòu)件級設(shè)計階段,復(fù)合材料的性能具有較大離散性,需開展批量試驗分析,從而導(dǎo)致噪聲試驗的實(shí)施成本較高．因此,尋求一種節(jié)約成本的替代試驗分析方法具有現(xiàn)實(shí)意義．振動臺基礎(chǔ)激勵對平板類構(gòu)件的作用效果類似于面壓載荷,等同于一種分布載荷．振動臺可以同時對多個較小尺寸構(gòu)件施加基礎(chǔ)激勵,振動臺試驗的實(shí)施成本較低,因而采用振動臺基礎(chǔ)激勵試驗代替噪聲試驗具有較高的可行性．開展替代試驗的關(guān)鍵是進(jìn)行載荷等效,即將隨機(jī)面壓載荷等效為振動臺基礎(chǔ)激勵的強(qiáng)迫位移載荷．

載荷等效在工程中得到了廣泛的應(yīng)用,主要包括將動載荷等效為靜載荷[5-10]以及將動載荷等效為動載荷[11]兩種情況．將動載荷等效為靜載荷可有效簡化結(jié)構(gòu)在動載荷作用下的響應(yīng)分析過程,提高結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、剛度設(shè)計以及結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的效率．該類方法主要包括加速度等效靜載荷法[5]、位移等效靜載荷法[6-7]、應(yīng)力等效靜載荷法[8-9]和能量等效靜載荷法[10],其等效原則為,在等效前后2種載荷作用下,結(jié)構(gòu)特定響應(yīng)量相等．將動載荷等效為動載荷一般服務(wù)于疲勞壽命評估,其目的主要是簡化疲勞試驗加載、加速疲勞試驗過程,等效原則為,等效前后結(jié)構(gòu)關(guān)鍵部位的損傷量相同或呈特定比例[11]．

本文以C/C復(fù)合材料懸臂板為研究對象,基于模態(tài)疊加法,將板面受到的隨機(jī)面壓載荷等效為基礎(chǔ)激勵的隨機(jī)強(qiáng)迫位移載荷．該載荷等效方法將動載荷等效為動載荷．將動應(yīng)力響應(yīng)作為疲勞壽命評估的輸入條件.為服務(wù)于疲勞壽命評估,要求在隨機(jī)面壓載荷和等效基礎(chǔ)激勵的隨機(jī)強(qiáng)迫位移載荷這2種載荷作用下,復(fù)合材料板上的隨機(jī)動應(yīng)力響應(yīng)一致．特定頻率點(diǎn)處結(jié)構(gòu)的最大動應(yīng)力響應(yīng)多由單個主模態(tài)主導(dǎo),因此上述載荷等效的直接目標(biāo)為,載荷等效前后分析頻率點(diǎn)處主模態(tài)的隨機(jī)位移響應(yīng)一致．分析結(jié)果表明,以主模態(tài)位移為直接等效目標(biāo),可使等效前后2種載荷作用下,結(jié)構(gòu)上的隨機(jī)動應(yīng)力響應(yīng)在頻域及空間域上分布一致．

1 基礎(chǔ)理論

1.1 模態(tài)疊加法

對于一個具有N自由度的線性平板結(jié)構(gòu),在板一側(cè)的面壓載荷p(ω)作用下(見圖1(a)),頻域內(nèi)的動力學(xué)方程為

(-ω2M+jωC+K)X(ω)=Lp(ω)

(1)

式中,M,C,K分別為N×N階質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣;X(ω)為結(jié)構(gòu)在頻域內(nèi)的N×1階位移響應(yīng)向量,其中ω為角頻率;L為N×1階面壓載荷影響向量,取決于面壓載荷的有限元離散．式(1)由時域變換而來,該變換的初始條件為,初始位移與初始速度均為零．

(a) 面壓載荷 (b) 基礎(chǔ)激勵

模態(tài)坐標(biāo)系下頻域內(nèi)結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程為

(-ω2Mq+jωCq+Kq)Xq(ω)=ΦTLp(ω)

(2)

式中,Φ=[φ1φ2…φq]為N×q階滿足質(zhì)量歸一化條件的正則模態(tài)振型矩陣,其中,φi為第i階模態(tài)振型,q為模態(tài)截斷后的模態(tài)數(shù);Mq,Cq,Kq分別為q×q階模態(tài)質(zhì)量矩陣、模態(tài)阻尼矩陣和模態(tài)剛度矩陣,且Mq=ΦTMΦ=I;Xq(ω)為結(jié)構(gòu)在頻域內(nèi)的q×1階模態(tài)位移響應(yīng)向量,且X(ω)≈ΦXq(ω)．

求解方程(2),可得第i階模態(tài)的位移響應(yīng)xi(ω)為

xi(ω)=Hip(ω)p(ω)

(3)

式中,Hip(ω)為第i階模態(tài)位移響應(yīng)對面壓載荷p(ω)的頻響,即結(jié)構(gòu)在單位面壓載荷作用下第i階模態(tài)的位移響應(yīng),且

(4)

式中,ωi為第i階模態(tài)的固有頻率．

進(jìn)一步可求得隨機(jī)面壓作用下結(jié)構(gòu)在任一自由度k上隨機(jī)位移響應(yīng)的自功率譜密度為

(5)

式中,Spp(ω)為隨機(jī)面壓載荷的自功率譜密度．

1.2 等效基礎(chǔ)激勵

令結(jié)構(gòu)在固支或簡支邊界上的節(jié)點(diǎn)為約束節(jié)點(diǎn),其余節(jié)點(diǎn)為非約束節(jié)點(diǎn)．當(dāng)結(jié)構(gòu)受到基礎(chǔ)作用時,約束節(jié)點(diǎn)的位移等于基礎(chǔ)激勵的強(qiáng)迫位移載荷xe(ω) (見圖1(b)),結(jié)構(gòu)在頻域內(nèi)的動力學(xué)方程為

(-ω2M+jωC+K)X(ω)=0

(6)

式中,結(jié)構(gòu)在頻域內(nèi)的位移響應(yīng)X(ω)可表示為基礎(chǔ)激勵強(qiáng)迫位移xe(ω)與非約束節(jié)點(diǎn)相對約束節(jié)點(diǎn)的相對位移Xm(ω)之和,即

(7)

式中,Xm(ω)為m×1階相對位移向量,其中,m+n=N,m為非約束自由度個數(shù),n為約束自由度個數(shù);E為N×1階強(qiáng)迫位移載荷的影響向量,對應(yīng)xe(ω)方向位移自由度的元素為1,其余為0．

令

(8)

將式(7)和(8)代入式(6)可得

(-ω2M+jωC+K)Y(ω)=Q(ω)xe(ω)

(9)

式中,Q(ω)為基礎(chǔ)激勵作用下等效節(jié)點(diǎn)力激勵的N×1階影響向量,且

Q(ω)=-(-ω2M+jωC+K)E

(10)

式(9)與式(1)具有相同的形式,等同于在分布載荷作用下的結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程．可通過模態(tài)疊加法求解式(9),得到第i階模態(tài)的位移響應(yīng)為

yi(ω)=Hie(ω)xe(ω)

(11)

式中,Hie(ω)為第i階模態(tài)位移響應(yīng)對基礎(chǔ)強(qiáng)迫位移載荷xe(ω)的頻響,即結(jié)構(gòu)在單位基礎(chǔ)強(qiáng)迫位移載荷作用下第i階模態(tài)的位移響應(yīng),且

(12)

進(jìn)一步可求得隨機(jī)基礎(chǔ)激勵作用下結(jié)構(gòu)在任一自由度k上隨機(jī)相對位移響應(yīng)的自功率譜密度為

(13)

式中,See(ω)為基礎(chǔ)激勵隨機(jī)強(qiáng)迫位移的自功率譜密度．

按位移等效原則,當(dāng)基礎(chǔ)激勵作用下任一自由度k上的相對位移響應(yīng)與面壓載荷作用下該自由度上的絕對位移響應(yīng)一致時,2種載荷作用下結(jié)構(gòu)上的應(yīng)力分布也一致,此時可認(rèn)為該基礎(chǔ)激勵為面壓載荷的等效載荷,有

(14)

面壓載荷及基礎(chǔ)激勵均為單源載荷,因此式(14)為超靜定問題．結(jié)構(gòu)低頻響應(yīng)一般由頻率點(diǎn)處的主模態(tài)主導(dǎo),忽略其余模態(tài)對響應(yīng)的貢獻(xiàn),式(14)可簡化為

(15)

式中,Hdp(ω)為第d階模態(tài)位移響應(yīng)對面壓載荷p(ω) 的頻響;Hde(ω)為第d階模態(tài)位移響應(yīng)對面壓載荷xe(ω)的頻響．

基于式(15),可求得等效基礎(chǔ)激勵的強(qiáng)迫位移功率譜為

(16)

根據(jù)式(16),將隨機(jī)面壓載荷等效為基礎(chǔ)激勵的隨機(jī)強(qiáng)迫位移載荷,其等效原則為,等效前后主模態(tài)的位移響應(yīng)一致．由式(16)獲得的等效載荷可最大限度地滿足式(14)所示的超靜定方程．

2 算例驗證

為驗證所提載荷等效方法的有效性,以一開孔C/C復(fù)合材料懸臂板為研究對象,開展仿真研究．該懸臂板的有限元模型如圖2所示．板尺寸為400 mm×300 mm×3 mm,板材料參數(shù)如下:x,y,z方向上的軸向拉伸模量分別為Ex=60 GPa,Ey=55 GPa,Ez=40 GPa;xy,xz,yz平面上的剪切模量分別為Gxy=32 GPa,Gxz=30 GPa,Gyz=29 GPa;xy,xz,yz平面上的泊松比分別為μxy=0.05,μxz=0.09,μyz=0.08;密度ρ=1 800 kg/m3．在一短邊處30 mm范圍內(nèi)采用夾具夾持以實(shí)現(xiàn)固定約束．

圖2 C/C復(fù)合材料懸臂板有限元模型(單位:mm)

2.1 模態(tài)位移頻響分析

在懸臂板上表面施加單位面壓載荷,分析獲得板前39階模態(tài)在0～2 000Hz內(nèi)的位移,即板模態(tài)位移響應(yīng)對面壓載荷的頻響Hip(ω),結(jié)果見圖3(a)．類似地,可分析獲得板模態(tài)位移響應(yīng)對基礎(chǔ)強(qiáng)迫位移載荷的頻響Hie(ω),結(jié)果見圖3(b)．

(a) 面壓載荷

(b) 基礎(chǔ)強(qiáng)迫位移載荷

圖3中結(jié)果顯示,在分析頻段內(nèi),懸臂板第1,3,6,10,17,24階模態(tài)對2種載荷的頻響,在其固有頻率附近頻段內(nèi)的取值遠(yuǎn)大于其余模態(tài)．這些模態(tài)在相應(yīng)頻段內(nèi)即為主模態(tài),板振動響應(yīng)由主模態(tài)主導(dǎo)．圖4給出懸臂板在0～2 000 Hz內(nèi)各主模態(tài)振型及固有頻率fi．由圖可知,各主模態(tài)具有一個共同的特征:模態(tài)振型在短邊方向(y軸向)的波數(shù)為零．這表明相對于其他模態(tài),該類模態(tài)更易被面壓載荷及基礎(chǔ)強(qiáng)迫位移載荷激發(fā)．

2.2 載荷等效

噪聲試驗廣泛采用中華人民共和國軍用標(biāo)準(zhǔn)(GJB 150.17—86)推薦的用于噪聲試驗的1/3倍頻程譜．本研究將該噪聲1/3倍頻程譜的上限轉(zhuǎn)換成面壓功率譜密度Spp,如圖5所示(雙對數(shù)坐標(biāo)),其中基準(zhǔn)功率譜密度S0為

S0=10(Lp-L0)/10

(17)

式中,Lp為噪聲總聲壓級;L0=123.1dB．

采用式(16)計算等效載荷前,需確定各頻率點(diǎn)處的主模態(tài)．圖3中結(jié)果顯示,基于模態(tài)位移對2種載荷的頻響所確定的主模態(tài)存在差異．例如,由圖3(a)可確定第1階模態(tài)在多頻段內(nèi)為主模態(tài), 但由圖3(b)可判定第1階模態(tài)僅在起始頻段內(nèi)為主模態(tài)．經(jīng)比較,根據(jù)圖3(b)中結(jié)果確定主模態(tài)階次更合理．載荷等效過程中,各頻率點(diǎn)處主模態(tài)階次d如圖6所示．

(a) 1階，f1=20 Hz

(b) 3階，f3=125 Hz

(c) 6階，f6=350 Hz

(d) 10階，f10=681 Hz

(e) 17階，f17=1 132 Hz

(f) 24階，f24=1 687 Hz

圖5 雙對數(shù)坐標(biāo)下的隨機(jī)面壓載荷功率譜密度

在確定主模態(tài)的基礎(chǔ)上,采用式(16)計算得到不同量級面壓載荷下等效基礎(chǔ)激勵強(qiáng)迫位移的功率譜密度(見圖7)．由圖可知,在主模態(tài)發(fā)生更替的臨界頻率處,等效基礎(chǔ)激勵強(qiáng)迫位移功率譜的大小會發(fā)生突變．為考查圖7中等效載荷的有效性,對載荷等效前后懸臂板上的應(yīng)力響應(yīng)進(jìn)行了對比．

圖6 不同頻段內(nèi)主模態(tài)的階次

圖7 等效基礎(chǔ)激勵強(qiáng)迫位移的功率譜密度

圖8給出了等效前后2種載荷作用下板上A1，A2兩個典型位置處的應(yīng)力響應(yīng)功率譜密度,隨機(jī)面壓載荷總聲壓級為140 dB．由圖8可知,載荷等效前后板上典型位置處正應(yīng)力響應(yīng)的功率譜密度吻合較好,僅在遠(yuǎn)離峰值頻率的頻段內(nèi)出現(xiàn)差異,該差異對應(yīng)力響應(yīng)均方根的影響甚微．在總聲壓級為140 dB的面壓載荷作用下,載荷等效前后,板上A1～A5五個響應(yīng)點(diǎn)處x軸向正應(yīng)力響應(yīng)在0～2 000 Hz范圍內(nèi)的均方根如表1所示．

(a) A1

(b) A2

圖8 140 dB面壓載荷等效前后板上x軸向正應(yīng)力響應(yīng)功率譜密度

表1 x軸向正應(yīng)力響應(yīng)均方根

表1中結(jié)果顯示,最大應(yīng)力響應(yīng)出現(xiàn)在固支端,即危險點(diǎn)出現(xiàn)在固支端．載荷等效引起的A1～A5五個響應(yīng)點(diǎn)處x軸向正應(yīng)力響應(yīng)均方根計算誤差不超過2%,危險點(diǎn)處x軸向正應(yīng)力響應(yīng)均方根誤差不超過1%,這對結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度設(shè)計及疲勞評估所產(chǎn)生的影響可忽略不計．圖8及表1中分析結(jié)果驗證了所提載荷等效方法的有效性．

3 結(jié)語

本文借助仿真分析手段,基于模態(tài)疊加法,將隨機(jī)面壓載荷等效為隨機(jī)基礎(chǔ)激勵．該方法以主模態(tài)的位移為等效目標(biāo),忽略了其余模態(tài)對結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的貢獻(xiàn),將單源載荷等效這一超靜定問題合理地轉(zhuǎn)化為靜定問題,簡單易行．研究結(jié)果顯示,在等效基礎(chǔ)激勵作用下,結(jié)構(gòu)典型部位正應(yīng)力響應(yīng)功率譜密度與等效前所得結(jié)果吻合較好,所選5個響應(yīng)點(diǎn)處x軸向正應(yīng)力響應(yīng)均方根誤差不超過2%,危險點(diǎn)處x軸向正應(yīng)力響應(yīng)均方根誤差不超過1%,從而驗證了所提載荷等效方法的有效性．

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Equivalence method of pressure load and foundation excitation based on mode superposition technique

Zhang Peng Fei Qingguo Wu Shaoqing Li Yanbin

(School of Civil Engineering, Southeast University, Nanjing 210096, China)

The random pressure load is equivalent to the random foundation excitation based on the modal superposition method to provide evidence for the replacement of the expensive acoustic tests with the shaking table tests for thin-walled structures. The displacement of the leading modes under the two loads are required to be identical. The statically indeterminate problem of the single source load equivalence is properly simplified to a determinate problem. A carbon/carbon (C/C) composite cantilever plate is used as a research subject to investigate the validity of the load equivalence method. The results show that the power spectral density of the random stress responses at typical points of the plate under the random pressure load agrees well with that under the equivalent random foundation excitation. In the analysis of frequency band, the error of the root-mean-square (RMS) of thex-axial normal stress response at the high-risk point on the plate is less than 1%, and the errors of the RMSs of thex-axial normal stress responses at five points distributed on the plate are less than 2%. By using the proposed method, the random pressure load can be effectively equivalent to the foundation excitation, ensuring the consistency of the random stress responses on the thin-walled structures in both the frequency domain and the spacial domain when the structures are subjected to the two loads.

pressure load; foundation excitation; load equivalence; alternative test; mode superposition method

10.3969/j.issn.1001-0505.2017.02.022

2016-08-08. 作者簡介:張鵬(1987—)，男，博士生；費(fèi)慶國(聯(lián)系人)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，qgFei@seu.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金資助項目(11402052，11572086)、教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計劃資助項目(NCET-11-0086)、江蘇省自然科學(xué)基金資助項目(BK20140616).

張鵬,費(fèi)慶國,吳邵慶,等. 基于模態(tài)疊加法的面壓載荷與基礎(chǔ)激勵等效方法[J].東南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2017,47(2):331-336.

10.3969/j.issn.1001-0505.2017.02.022.

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