張文學+寇文琦+陳盈+汪振

摘 要：斜拉橋縱向一階自振周期簡化計算對方案比選和抗震驗算均具有非常重要的意義.首先，根據(jù)斜拉橋縱向水平地震慣性力傳遞路徑，建立了固定鉸接體系斜拉橋的雙質(zhì)點模型，采用柔度法推導了固定鉸接體系斜拉橋縱向一階自振周期的簡化計算公式.其次，基于固定鉸接體系斜拉橋縱向一階振型呈現(xiàn)縱向振動與豎向振動相互耦合的特點，利用能量守恒原理推導了固定鉸接體系斜拉橋縱向一階自振周期的簡化計算公式.與10座已建斜拉橋的有限元計算結(jié)果進行對比驗證，結(jié)果表明，本文提出的2個簡化公式的計算精度良好，均可用于固定鉸接體系斜拉橋縱向一階自振周期的簡化計算.相比之下，柔度法的計算精度更高，可靠性更好.

關(guān)鍵詞：固定鉸接體系；斜拉橋；縱向振動一階周期；雙質(zhì)點模型；柔度法；能量原理

中圖分類號：U442.5 文獻標志碼：A

文章編號：1674-2974（2017）03-0028-07DOI：10.16339/j.cnki.hdxbzkb.2017.03.004

Abstract：The simplified calculation of the first-order longitudinal vibration period for a cable-stayed bridge is very important for the comparison of design plans and the evaluation of seismic performance. Firstly， according to the longitudinal seismic inertia force transmission of cable-stayed bridges， the double-mass model derived by flexibility method was developed to simplify the calculation of the first-order longitudinal vibration. Based on significant coupling between the longitudinal modes and vertical modes， the simplified calculation of the first-order longitudinal vibration period was then investigated by energy principle in fixed hinge cable-stayed bridges. Finally， the two formulas were evaluated by the tests on ten built-up bridges. It is concluded that these two simplified formulas were in good agreement with those predicated by finite element method. The proposed double-mass model has higher accuracy and reliability.

Key words：fixed hinge system； cable stayed bridges； the first-order longitudinal vibration period； double-mass model； flexibility method； energy principles

大跨度斜拉橋具有較長的自振周期，其抗震性能備受關(guān)注[1].斜拉橋的自振頻率和模態(tài)是分析結(jié)構(gòu)抗震、抗風、車橋耦合振動的基礎(chǔ)[2-3].斜拉橋自振頻率的簡化計算，既可用于在方案設(shè)計階段通過反應譜對結(jié)構(gòu)的地震響應進行估算，又可用于對有限元分析結(jié)果進行快速校核[4-5].因此，建立一套有一定精度的斜拉橋基頻計算公式是非常必要的.

斜拉橋的縱向一階振型對其地震響應的貢獻率占絕對優(yōu)勢，因而對縱向一階周期的簡化計算具有重要的意義[6]，已有一些學者提出了斜拉橋基頻簡化計算方法，張楊永等[7]將大量有限元數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，對規(guī)范規(guī)定的主梁豎彎頻率估算公式進一步簡化，給出了普遍適用且精度更高的主梁豎彎頻率的簡化計算公式；項海帆等[3]基于漂浮體系斜拉橋“縱飄”振型具有主梁剛體位移與塔頂縱向位移相等的特點，建立了漂浮體系斜拉橋單質(zhì)點模型，采用剛度法推導了“縱飄”基頻的簡化計算公式，但該公式精度較差；袁萬城等[8]在漂浮體系斜拉橋單質(zhì)點模型的基礎(chǔ)上提出了雙質(zhì)點簡化模型，該模型較好地彌補了單質(zhì)點模型的不足，得到了精度更高的“縱飄”基頻簡化計算公式；Camara等[9]采用線性回歸的方法得到考慮與不考慮橋塔縱向剛度的斜拉橋基頻簡化計算公式，研究發(fā)現(xiàn)橋塔的剛度對斜拉橋基頻有著重要的影響.斜拉橋結(jié)構(gòu)體系包括漂浮體系、半漂浮體系、塔梁固結(jié)體系和剛構(gòu)體系[10]，目前關(guān)于漂浮體系斜拉橋基頻的簡化計算已有大量研究，但對縱向固定鉸接體系（以下簡稱為固定鉸接體系）斜拉橋基頻簡化計算的研究還很少.

為此，本文在分析地震慣性力傳遞路徑的基礎(chǔ)上[11]，建立了固定鉸接體系斜拉橋的雙質(zhì)點模型，基于柔度法推導了固定鉸接體系斜拉橋縱向一階自振周期的簡化計算公式.其次考慮到固定鉸接體系斜拉橋縱向一階振型呈現(xiàn)出縱向振動與豎向振動相互耦合的特點，基于Rayleigh能量法推導了固定鉸接體系斜拉橋的縱向一階自振周期簡化計算公式.并與國內(nèi)10座已建斜拉橋的有限元分析結(jié)果進行對比驗證.

1 地震慣性力傳遞路徑

地震作用下斜拉橋主梁、橋面系的水平地震慣性力傳遞路徑如圖1所示.其中，H為主塔高度，h1為塔頂?shù)街髁褐匦牡母叨龋琱2為主梁重心到塔底的高度.

主梁、橋面系的水平地震慣性力分別通過斜拉索傳遞分量P1和塔梁間連接裝置傳遞分量P2給橋塔.對于固定鉸接體系斜拉橋，主梁、橋面系的水平地震慣性力主要通過塔梁間連接裝置傳至主塔.

2 柔度法

基于圖1所示的斜拉橋水平地震慣性力傳遞路徑，將上塔柱等效質(zhì)量mp堆聚在上塔柱重心處，主梁質(zhì)量和下塔柱等效質(zhì)量之和md堆聚在下塔柱重心處，塔柱等效質(zhì)量取塔柱質(zhì)量乘以0.16[12]，則固定鉸接體系斜拉橋可簡化成雙質(zhì)點模型，如圖2所示.其中，h1g=12h1；h2g=h2；up和ud分別為mp和md的縱向位移.

將單位水平力分別單獨作用在2質(zhì)點處時質(zhì)點的水平撓度用柔度影響系數(shù)δij（i=p，d；j= p，d）表示，則柔度矩陣為：

假設(shè)該雙自由度體系的自由振動是簡諧振動，忽略拉索的彈性變形和結(jié)構(gòu)的阻尼效應，基于結(jié)構(gòu)動力學方法可知簡化結(jié)構(gòu)的頻率方程為：

式中：結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣Mg=mp00md；ωg為基于柔度法的固定鉸接體系斜拉橋縱向一階自振頻率；I為單位矩陣.

將式（1）代入式（2），可解得：

因此，基于柔度法的固定鉸接體系斜拉橋的縱向一階自振周期為：

3 Rayleigh能量法

固定鉸接體系斜拉橋的一階振型以主塔的縱彎為主，并伴有主梁豎彎.

根據(jù)斜拉橋結(jié)構(gòu)特點，引入以下假設(shè)：1）所有的材料符合虎克定律；2）將主梁和主塔均視為歐拉梁，僅考慮其彎曲變形，不考慮主塔的扭轉(zhuǎn)變形、橫向變形和軸向變形，且梁的各橫截面的中心主慣性軸在同一平面內(nèi)；3）成橋狀態(tài)下，恒載沿跨度均勻分布，斜拉索為直線狀，僅考慮其軸向變形.

3.1 Rayleigh能量法基本原理

根據(jù)能量守恒定律，當系統(tǒng)進行固有振動時，沒有能量的輸入和損耗，則機械能保持為一恒量，即：

式中：Q和W分別代表體系某一時刻的動能和勢能（勢能包括重力勢能及變形能）；Π為一常數(shù).

當振動體系幅值達到最大值時，動能為零，而勢能最大；當體系經(jīng)過靜平衡位置的瞬時，動能為最大值，而勢能為零.根據(jù)能量守恒定律，在這2個特定的時刻，有：

利用式（6）即可求得系統(tǒng)的頻率.

3.2 變形能

1）拉索的變形能：固定鉸接體系斜拉橋縱向一階振型下單根拉索的變形如圖3所示.圖中：UG為縱向一階振型下主塔塔頂縱向位移的幅值，VG為縱向一階振型下斜拉索與主梁交點處主梁豎向位移的幅值，d為最外側(cè)拉索與主梁錨固點到主梁與主塔連接點的距離，Δl為單根拉索伸長量，α為斜拉索與主梁夾角，由幾何關(guān)系可知：

對于整個斜拉橋，斜拉索的總變形能為

式中：ΔSi為單根拉索的索力增量；EcAc為拉索的軸向剛度，計算時取所有拉索軸向剛度的平均值；N為拉索總根數(shù)；l為所有拉索長度的平均值；計算時取α為最外側(cè)拉索與主梁夾角.

4 實例分析

為驗證以上推導的簡化計算公式的可靠性，選取了10座典型斜拉橋，其中：濟南三橋、松花江大橋、松原大橋、南葉公路橋、海河大橋為單塔斜拉橋；飛云江大橋、金塘大橋、七都大橋、臺州灣主橋、蘇通大橋為雙塔斜拉橋.它們的基本計算參數(shù)列于表1.采用有限元軟件SAP2000分別建立這10座斜拉橋固定鉸接體系有限元模型，進行縱向一階模態(tài)分析，所得縱向一階振型如圖4所示；縱向一階自振周期見表2.為對比輔助墩對固定鉸接體系斜拉橋縱向一階自振周期的影響，將考慮輔助墩的有限元模型周期計算結(jié)果記為T1eg，忽略輔助墩的有限元模型周期結(jié)果記為T2eg，均與式（4）和式（21）計算得到的固定鉸接體系斜拉橋縱向一階自振周期進行對比，由此可知：

1）考慮輔助墩時，采用本文所提出的固定鉸接體系斜拉橋雙質(zhì)點簡化模型計算10座固定鉸接體系斜拉橋縱向振動一階自振周期的最大相對誤差為-5.22%，平均相對誤差只有0.05%；忽略輔助墩時，采用本文提出的固定鉸接體系斜拉橋雙質(zhì)點簡化模型計算10座固定鉸接體系斜拉橋縱向振動一階自振周期的最大相對誤差為8.93%，平均相對誤差為3.47%.說明無論有無輔助墩，采用本文提出的雙質(zhì)點簡化模型來估算固定鉸接體系斜拉橋縱向一階自振周期均是合理的.

2）考慮輔助墩時，采用能量法計算10座固定鉸接體系斜拉橋縱向一階自振周期的最小相對誤差為2.50%，最大相對誤差為15.60%，平均相對誤差為6.33%；忽略輔助墩時，采用能量法計算10座固定鉸接體系斜拉橋縱向一階自振周期的最小相對誤差為2.44%，最大相對誤差為16.78%，平均相對誤差為9.62%.說明無論有無輔助墩，采用能量法給出的固定鉸接體系斜拉橋縱向一階周期簡化計算公式均能滿足工程要求，本文假定的固定鉸接體系斜拉橋主塔一階縱向振動方程是合理的.由于主梁豎向振動和主塔縱向振動的初始相位角不同，主梁和主塔不一定同時達到動能最大或勢能最大的狀態(tài)，本文并未考慮此因素，故誤差略大.

3）通過10座已建斜拉橋?qū)嵗炞C可知，輔助墩對固定鉸接體系斜拉橋縱向一階自振周期影響較小，本文提出的固定鉸接體系斜拉橋縱向一階自振周期簡化計算公式的計算結(jié)果均與有限元計算結(jié)果符合較好，可用于斜拉橋初步設(shè)計和抗震評估.

4）雙質(zhì)點模型與能量法相比，不僅精度高，且離散性小，故推薦采用雙質(zhì)點模型來估算固定鉸接體系斜拉橋縱向一階周期.

5 結(jié) 論

分別采用柔度法、Rayleigh能量法，推演了固定鉸接體系斜拉橋縱向一階自振周期的簡化計算公式.并與國內(nèi)10座已建斜拉橋有限元模型計算結(jié)果進行了對比分析，主要工作和結(jié)論如下：

1）建立了固定鉸接體系斜拉橋雙質(zhì)點簡化分析模型，并基于該模型采用柔度法推導了縱向一階自振周期計算公式.

2）基于固定鉸接體系斜拉橋縱向一階振型呈現(xiàn)縱向振動與主梁豎向振動相互耦合的特點，采用Rayleigh能量法推導了縱向一階自振周期計算公式.

3）通過與是否考慮輔助墩的有限元模型周期計算結(jié)果進行對比發(fā)現(xiàn)，輔助墩對固定鉸接體系斜拉橋縱向一階自振周期影響較小，2種公式均可同時適用于有、無輔助墩的固定鉸接體系斜拉橋縱向一階自振周期的簡化計算.

4）雖然采用柔度法和Rayleigh能量法均能較準確地計算出固定鉸接體系斜拉橋的縱向一階自振周期，但基于雙質(zhì)點模型采用柔度法求解的精度和可靠性都比Rayleigh能量法好很多.因此，在進行斜拉橋的初步設(shè)計和方案比選時，推薦采用柔度法進行固定鉸接體系斜拉橋縱向一階自振周期估算.

5）本文所提出的固定鉸接體系斜拉橋的縱向一階自振周期簡化計算公式適用于對稱結(jié)構(gòu)的斜拉橋，對于非對稱固定鉸接體系斜拉橋還有待進一步研究.

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