覃亞平　黃琳　鄧勇

摘 要 利用幾何畫板3D工具設(shè)計(jì)立體動(dòng)態(tài)模型，揭示概念形成、突破認(rèn)知難點(diǎn)、探究問題解決，幫助學(xué)生更好地內(nèi)化幾何概念、化解認(rèn)知困難、提高問題解決能力，彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)手段的不足，促進(jìn)立體幾何教學(xué)活動(dòng)的有效開展。

關(guān)鍵詞 立體幾何；幾何畫板；3D工具

中圖分類號(hào)：G633.63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1671-489X（2017）04-0039-04

Abstract This paper designs three-dimensional dynamic models by

using geometers sketchpad 3D tools， to reveal the formation of con-

cept， to break cognitive difficulties and to explore the problem solving.

These models help students better internalize geometric concepts， dissolve the cognitive difficulties， improve the ability of solving pro-

blem. The 3D tools make up for the inadequacy of traditional tea-

ching tools， and promote effective development of three-dimensional

geometry teaching activities.

Key words three-dimensional geometry； Geometers Sketchpad； 3D tools

1 引言

我國《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》指出，高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提倡利用信息技術(shù)來呈現(xiàn)以往教學(xué)中難以呈現(xiàn)的課程內(nèi)容，加強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)與信息技術(shù)的結(jié)合[1]。立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要課程，在培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力、抽象思維能力等方面具有重要意義[2]。但用傳統(tǒng)教學(xué)媒體或工具輔助教學(xué)，立體幾何通常被學(xué)生認(rèn)為是難學(xué)的內(nèi)容。傳統(tǒng)的二維作圖手段不能提供全面的視覺信息，一些空間想象力欠缺的學(xué)生很難克服視覺干擾，容易出現(xiàn)立體幾何學(xué)習(xí)中的認(rèn)知困難。于是教師習(xí)慣于使用實(shí)物模型進(jìn)行展示，實(shí)物模型雖然比較直觀，但是其畢竟沒有相應(yīng)的字母標(biāo)識(shí)，不便于描述和講解。另外，傳統(tǒng)教學(xué)手段很難反映立體幾何圖形的動(dòng)態(tài)變化，教師在講解某些有些問題時(shí)，再多的語言都無法讓學(xué)生真正理解[3]。

利用幾何畫板3D工具設(shè)計(jì)立體動(dòng)態(tài)模型，彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)手段的不足，促進(jìn)立體幾何教學(xué)活動(dòng)的有效開展，是本文的主要研究內(nèi)容。

2 幾何畫板3D工具簡介

幾何畫板在國內(nèi)發(fā)行20年來，受到大量數(shù)學(xué)教師的開發(fā)和使用，幾經(jīng)改進(jìn)，已發(fā)展得非常成熟。幾何畫板的最新版本整合了3D幾何畫板工具，彌補(bǔ)了幾何畫板只適用于平面幾何的不足，為解決立體幾何問題提供了有利條件。這里大概介紹一下幾何畫板有哪些3D工具[1]。

基本工具 每次使用這套工具，第一步必須新建坐標(biāo)系，建立坐標(biāo)系后必須初始化。坐標(biāo)系中有三視圖、旋轉(zhuǎn)功能，可以直接建立三棱柱、三棱錐、長方體。通過作圖功能可以構(gòu)造其他幾何模型，如圖1所示。除了構(gòu)造立體圖形之外，還有測量功能，可以測量距離、夾角、面積、體積等。

旋轉(zhuǎn)工具 建立坐標(biāo)系，可以水平和垂直旋轉(zhuǎn)立體圖形，使學(xué)習(xí)者從不同角度觀察立體圖形。實(shí)現(xiàn)空間點(diǎn)繞軸的旋轉(zhuǎn)，制作立體圖形的展開動(dòng)畫等。

著色工具 對(duì)凸多面體設(shè)置線段的虛實(shí)，對(duì)平面著色，繪制二元函數(shù)。利用這三個(gè)部分的工具，可以解決高中立體幾何的大多數(shù)問題。

3 幾何畫板3D工具在立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用探索

設(shè)計(jì)立體動(dòng)態(tài)模型，揭示概念形成 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試驗(yàn)）》中指出：“教材應(yīng)注意創(chuàng)設(shè)情境，從具體的事例出發(fā)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，使學(xué)生能夠從中發(fā)現(xiàn)問題、指出問題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，了解知識(shí)的來龍去脈[4]。”因此，不僅要教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，而且要重視揭示知識(shí)的形成過程，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征的理解。用幾何畫板3D工具設(shè)計(jì)立體動(dòng)態(tài)模型，把立體情境具體形象地、有步驟地向?qū)W生展示出來，向?qū)W生揭示或讓學(xué)生親身體驗(yàn)知識(shí)形成和發(fā)展的全過程，促進(jìn)其理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。

【案例1】探究直線和平面所成的角的概念形成。

首先，借助幾何畫板的“[3D]基本工具”，依次點(diǎn)擊“建立三維坐標(biāo)系”—“正交視圖定點(diǎn)”，在xoy平面構(gòu)造出正方形，這樣直觀看上去就是代表水平面；

其次，構(gòu)造出在xoy平面投影在正方形內(nèi)，Z軸坐標(biāo)一個(gè)為正、一個(gè)為負(fù)的兩點(diǎn)；

再次，利用幾何畫板的“[3D]著色工具”，依次點(diǎn)擊“控制臺(tái)”—“四邊面遮擋”，就可以構(gòu)造出一條直線與水平面相交的空間圖形，其中飽和度調(diào)節(jié)被遮擋部分的深淺，通常調(diào)到0～0.4效果較好；

最后，利用幾何畫板的“[3D]基本工具”依次點(diǎn)擊“線段上定點(diǎn)”—“點(diǎn)在正交視圖的投影”—“正交視圖定點(diǎn)”—“構(gòu)造線段”，做出直線在平面的射影和平面上的經(jīng)過斜足的其他直線。

最終設(shè)計(jì)出圖2所示立體動(dòng)態(tài)模型。讓學(xué)生借助3D模型，通過旋轉(zhuǎn)多角度觀察模型，比較斜線和平面內(nèi)過斜足的直線所成角的大小關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)斜線和它的射影所成的角是最小的，并引導(dǎo)學(xué)生利用三角知識(shí)證明這個(gè)結(jié)論，最后給出直線和平面所成的角的概念。這樣學(xué)生不僅對(duì)概念有了直觀的、感性的認(rèn)知，而且對(duì)概念的形成和本質(zhì)也有了深刻的認(rèn)識(shí)。

設(shè)計(jì)立體動(dòng)態(tài)模型，突破認(rèn)知難點(diǎn) 由于空間想象力的缺乏，有些學(xué)生不能將一些題目的文字語言或符號(hào)語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，更加無法判斷兩直線的位置關(guān)系，如案例1。利用3D工具繪制各種立體問題情境非常直觀，能把一個(gè)“活”的立體圖形展現(xiàn)在學(xué)生眼前，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的感覺器官，形成豐富的直觀感知，從而突破認(rèn)知難點(diǎn)，建立起對(duì)空間圖形的理解[5]。

【案例2】已知α∩β=l，a?α，a∩l=A，b?β，b∩l=B，A、B為不同點(diǎn)，則a，b的位置關(guān)系是什么？

借助幾何畫板的“[3D]基本工具”，依次點(diǎn)擊“建立三維坐標(biāo)系”—“初始化”—“長方體”—“線段上定點(diǎn)”—“線段”—“多邊形工具”—“隱藏”不必要的圖形，構(gòu)造出案例2的立體情境。圖3中的圖像是3D旋轉(zhuǎn)過程中截取的。通過此連續(xù)旋轉(zhuǎn)過程，幫助學(xué)生在頭腦中形成空間想象。學(xué)生很容易判斷出a，b兩條直線是既不相交也不平行的直線，即異面直線。

設(shè)計(jì)立體動(dòng)態(tài)模型，探究問題解決 由于空間想象力的缺乏，學(xué)生解決立體問題的能力較弱。特別是對(duì)于一些需要對(duì)立體圖形進(jìn)行翻轉(zhuǎn)、切割、折疊的問題，學(xué)生更加難以求解，教師僅憑傳統(tǒng)的教學(xué)手段也難以將問題情境和問題解決的過程講解清楚。利用幾何畫板3D工具，創(chuàng)設(shè)問題情境，展示動(dòng)態(tài)的問題解決過程，能夠化抽象為具體、化具體為形象，有利于提高學(xué)生解決問題的能力，增強(qiáng)教學(xué)的趣味性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣[6]。

【案例3】長方體ABCD-A′B′C′D′，過BC的截面截去長方體的一角，余下的幾何體是不是棱柱？

首先，借助幾何畫板的“[3D]基本工具”，依次點(diǎn)擊“建立三維坐標(biāo)系”—“初始化”—“長方體”—“線段上定點(diǎn)”—“構(gòu)造線段”—“隱藏”，構(gòu)造幾何體A′E′F′D′-ABCD。

其次，利用幾何畫板的“[3D]旋轉(zhuǎn)”，依次點(diǎn)擊“定軸旋轉(zhuǎn)控制臺(tái)”—“定軸轉(zhuǎn)動(dòng)”—“構(gòu)造線段”，構(gòu)造可旋轉(zhuǎn)的幾何體F′C′C-E′B′B，如圖4a所示；轉(zhuǎn)動(dòng)幾何體F′C′C-E′B′B，如圖4b所示；接著隱藏幾何體F′C′C-E′B′B，如圖4c所示，表示以面ABCD、面A′E′F′D′為底面時(shí)，余下的幾何體A′E′F′D′-ABCD不是棱柱；垂直旋轉(zhuǎn)幾何體A′E′F′D′-ABCD，如圖4d所示，表示以面D′F′CD、面A'E'BA為底面時(shí)，余下的幾何體A′E′F′D′-ABCD是棱柱。

利用幾何畫板3D工具，對(duì)空間幾何體進(jìn)行切割、翻轉(zhuǎn)，直觀地揭示問題情境和問題解決過程。不僅使學(xué)生對(duì)棱柱的本質(zhì)概念有了更深的理解，而且讓學(xué)生學(xué)到要從不同的角度看待問題，才能得到更加全面、真實(shí)的解答。

【案例4】圖5是正方體平面展開圖，在這個(gè)正方體中，①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線；③CN與BM成60?角；④DM與BN垂直。4個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是（ ）。

首先，借助幾何畫板的“[3D]基本工具”，依次點(diǎn)擊“建立三維坐標(biāo)系”—“初始化”—“正交視圖定點(diǎn)”，在xoy平面構(gòu)造一個(gè)正方形ABCD。

其次，利用幾何畫板的“[3D]旋轉(zhuǎn)”，依次點(diǎn)擊“定軸旋轉(zhuǎn)控制臺(tái)” —“定軸轉(zhuǎn)動(dòng)” —“構(gòu)造線段”—“隱藏”，構(gòu)造案例4中的其他線段，如圖6a所示。圖6b、c表示將展開圖折回的過程，圖6d表示最終折回正方體。通過圖6d很容易看出，正確的有③④。

利用幾何畫板3D工具，對(duì)空間圖形進(jìn)行折疊，直觀地、動(dòng)態(tài)地展示問題情境和問題解決過程。在問題解決過程中，通過直觀動(dòng)態(tài)的模型，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

4 結(jié)語

利用3D幾何畫板工具設(shè)計(jì)直觀的、動(dòng)態(tài)的立體幾何教學(xué)案例，彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)手段的不足，幫助學(xué)生更好地探究概念本質(zhì)、突破認(rèn)知難點(diǎn)、解決疑難問題。利用3D工具進(jìn)行立體幾何教學(xué)，更有效地培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力，提高學(xué)生的問題解決能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

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