胡俊強(qiáng)，羅毅平

(湖南工程學(xué)院 風(fēng)力發(fā)電機(jī)組及控制湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湘潭 411104)

具有時(shí)變時(shí)滯和無時(shí)滯耦合復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步保性能控制

胡俊強(qiáng)，羅毅平

(湖南工程學(xué)院 風(fēng)力發(fā)電機(jī)組及控制湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湘潭 411104)

為了提高模型的適應(yīng)性以及真實(shí)地仿真現(xiàn)實(shí)的網(wǎng)絡(luò)世界，研究一類具有時(shí)變時(shí)滯和非時(shí)滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，同時(shí)考慮到該系統(tǒng)的控制成本，還需要研究此類復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的保性能控制.為此系統(tǒng)設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)反饋控制器，構(gòu)造保性能函數(shù).利用李雅普洛夫穩(wěn)定性理論以及矩陣不等式處理等數(shù)學(xué)方法，得出具有時(shí)變時(shí)滯和非時(shí)滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步保性能控制器的充分條件.所設(shè)計(jì)的動(dòng)態(tài)反饋控制器在保證系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定條件下讓系統(tǒng)的性能指標(biāo)滿足特定條件.最后給出數(shù)值仿真證明其可行性和有效性.

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；同步；反饋控制；保性能；時(shí)變時(shí)滯

自然界和人類社會的許多系統(tǒng)都能描述成復(fù)雜系統(tǒng)，因此復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究廣泛存在于科學(xué)、社會和工程等領(lǐng)域，國內(nèi)外學(xué)者已然掀起探索復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的熱潮[1].

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步控制則是其中一個(gè)重要的研究熱點(diǎn).很多控制方法如: 自適應(yīng)控制[2]、牽制控制[3]、脈沖控制[4]、間歇控制[5]等均被應(yīng)用到復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步控制中.此外，時(shí)滯是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)普遍存在的一種客觀現(xiàn)象，它能使系統(tǒng)運(yùn)行不穩(wěn)定導(dǎo)致性能變差[6].因此，時(shí)滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步得到各領(lǐng)域?qū)W者的關(guān)注[7].在時(shí)滯存在的前提下，我們希望系統(tǒng)達(dá)到同步，同時(shí)也希望系統(tǒng)的控制成本達(dá)到特定的要求.所以，保性能控制也成為一個(gè)熱門課題，也已有一定成果[8-9].

本文研究具有時(shí)變時(shí)滯和非時(shí)滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步保性能控制，設(shè)計(jì)出一種自適應(yīng)反饋控制器，得到了控制器存在的充分條件以及設(shè)計(jì)方法，這些設(shè)計(jì)方法與時(shí)滯有關(guān).同時(shí)構(gòu)造了Lyapunov函數(shù)，運(yùn)用Lyapunuv穩(wěn)定性理論并結(jié)合矩陣不等式處理方法，得出具有時(shí)變時(shí)滯和非時(shí)滯的保性能控制存在的充分條件.所設(shè)計(jì)控制器不僅保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，也使系統(tǒng)滿足特定保性能指標(biāo)，最后給出數(shù)值仿真以驗(yàn)證其有效性.

1 問題描述及預(yù)備條件

考慮一個(gè)含有N個(gè)節(jié)點(diǎn)的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)，具時(shí)滯和非時(shí)滯耦合，模型如下:

(1)

為了證明的需要，引入以下引理和假設(shè)：

(2)

(3)

定義誤差變量，使系統(tǒng)達(dá)到同步.

(4)

用式(1)減去式(2)，可得到誤差系統(tǒng)

(5)

(6)

由引理1，存在一個(gè)矩陣,使得GTΦk=λkΦk(k=1,2,…,N),其中是矩陣的特征值.使用一個(gè)非奇異變換：

∈Rn×N

則有:

(7)

2 控制器設(shè)計(jì)與穩(wěn)定分析

對于系統(tǒng)(1)，設(shè)計(jì)一個(gè)誤差反饋控制器：

(8)

其中U(t)=(u1(t),u2(t)…uN(t))∈Rn×N將作為控制輸入ui(t),K∈Rn×n是控制增益.

同時(shí)，設(shè)定如下二次保性能控制函數(shù)來保證復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的性能，

(9)

其中，D為給定正定對稱矩陣.

定理1：給定矩陣C,D，若存在不變時(shí)滯τ(t)∈[0,],使得如下矩陣不等式成立：

(10)

其中H=l1I+c1λi1A1+Q+K+C+KTDK

則復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)式(1)的保性能控制律為動(dòng)態(tài)控制律式(7)，且保性能控制函數(shù)的上界為.

(11)

證明：

對系統(tǒng)式(9)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

(12)

有：

(13)

(14)

(15)

由定理1可知：

同時(shí)可得：

(16)

將式(16)對時(shí)間t∈[0,)積分，有：

=J*

(17)

證畢成立.

<0

(18)

如果存在對稱正定矩陣Q以及矩陣K,使得式(19)所示線性矩陣不等式(LMI)成立，則時(shí)滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)式(1)滿足性能指標(biāo)式(10)，且保性能穩(wěn)定，保性能函數(shù)滿足：

(19)

經(jīng)過仿真，證明能得到對稱正定矩陣Q以及矩陣K.

3 數(shù)值仿真

下面給出添加了反饋控制器后三個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)圖，如圖1所示.

圖1 狀態(tài)曲線圖

由上圖得知，經(jīng)過一段時(shí)間后，系統(tǒng)狀態(tài)漸進(jìn)達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的值.

4 結(jié)語

對具有時(shí)變時(shí)滯和非時(shí)滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，本文提出了一種基于LMI的保性能線性反饋控制技術(shù)，利用泛函數(shù)方程等數(shù)學(xué)分析方法.獲得滿足保性能指標(biāo)的充分條件，所設(shè)計(jì)的反饋控制器能通過求解矩陣不等式而得到，在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的同時(shí)也保證了性能指標(biāo)滿足一定上界.最后，數(shù)值仿真表明結(jié)果的正確性及控制方法的有效性.

[1] 王 娟. 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)及其研究現(xiàn)狀概述[J]. 現(xiàn)代計(jì)算機(jī)(專業(yè)版),2013(34):16-18.

[2] 郭曉永. 復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)同步控制研究[D].西安電子科技大學(xué)博士學(xué)位論文,2013.

[3] Hai-Yi Sun, Ning Li, De-Ping Zhao, Qing-Ling Zhang. Synchronization of Complex Networks with Coupling Delays via Adaptive Pinning Intermittent Control [J]. International Journal of Automation and Computing, 2013(4):312-318.

[4] 李 美,陳其工,魏利勝. 一類復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的脈沖同步研究[J]. 重慶科技學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2016(1):121-124.

[5] XIE L. Output feedback H∞Control of Systems with Parameter Uncertainty [J].International Journal of Control,1999,63(4):741-750．

[6] LUO Y， ZHOU B．Guaranteed Cost Synchronization of Complex Network Systems with Delay[J].Asian Journal of Control,2015,17(4) : 1-11．

[7] 韓 敏,張雅美,張 檬. 具有雙重時(shí)滯的時(shí)變耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的牽制外同步研究[J]. 物理學(xué)報(bào),2015(7):151-159.

[8] LEE T H,PARK J H,JI D H, Et Al. Guaranteed Cost Synchronization of A Complex Dynamical Network via Dynamic Feedback Control[J].Applied Mathematics and Computation,2012,218 (11):6469-6481．

Synchronous Guaranteed Cost Control for Coupled Complex Dynamical Networks with Time Varying Delays and Time Varying Delays

HU Jun-qiang, LUO Yi-ping

(Key Laboratory of Wind Turbine and Control Hunan Province, Hunan Institute of Engineering, Xiangtan 411101, China)

In order to improve the adaptability of the model and simulate the real world, a complex network with time-varying delay and non-time-delay is studied. In order to control the cost of the system, it is necessary to study the guaranteed performance control of such complex network systems. A dynamic feedback controller is designed for this system, and the guaranteed performance function is constructed. Based on the Lyapunov stability theory and matrix inequality treatment, a sufficient condition for the synchronization guaranteed cost controller with time-varying delay and non-delay complex network is obtained. The dynamic feedback controller is designed to meet the specific conditions under the condition of asymptotic stability of the system. Finally, numerical simulation is given to prove its feasibility and effectiveness.

complex network; synchronization; feedback control: guaranteed cost; time varying delay

2016-09-08

國家自科基金資助項(xiàng)目(11372107)；湖南省教育廳創(chuàng)新平臺項(xiàng)目(15K031).

胡俊強(qiáng)(1990-)，男，碩士研究生，研究方向：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)控制.

羅毅平(1966-)，男，博士，教授，研究方向：動(dòng)力學(xué)分析與控制.

TP273.3

A

1671-119X(2017)01-0017-04