錢子菡，游世輝

(湘潭大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，湘潭 411105)

基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的桁架結(jié)構(gòu)可靠性分析

錢子菡，游世輝

(湘潭大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，湘潭 411105)

提出了一種基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的桁架結(jié)構(gòu)的可靠性分析方法.建立了桁架結(jié)構(gòu)無權(quán)無向網(wǎng)絡(luò)模型，運(yùn)用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)對其可靠性進(jìn)行分析，在無權(quán)無向網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上，建立更符合桁架結(jié)構(gòu)工作狀態(tài)的加權(quán)有向網(wǎng)絡(luò)模型，基于結(jié)構(gòu)能量網(wǎng)絡(luò)并以構(gòu)件的可靠指標(biāo)的倒數(shù)為權(quán)值建立加權(quán)有向網(wǎng)絡(luò)模型，進(jìn)而計(jì)算該加權(quán)有向網(wǎng)絡(luò)模型中各個(gè)節(jié)點(diǎn)的特征參數(shù)，通過量化不同構(gòu)件可靠指標(biāo)變化對桁架結(jié)構(gòu)可靠性的影響，結(jié)合各個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)確定桁架結(jié)構(gòu)中的關(guān)鍵構(gòu)件.基于此方法可以對桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì).

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；結(jié)構(gòu)能量網(wǎng)絡(luò)；桁架結(jié)構(gòu)；可靠性分析

0 引言

桁架結(jié)構(gòu)是一種由桿件彼此在兩端用鉸鏈連接而成的結(jié)構(gòu).桁架結(jié)構(gòu)因其自身良好的優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于橋梁、車站、機(jī)場等大跨度建筑中，隨著桁架結(jié)構(gòu)的大量使用，人們對其可靠性也提出了更高要求.可靠性研究源于上世紀(jì)初期，對于單個(gè)構(gòu)件的可靠性分析方法已經(jīng)有中心點(diǎn)法、驗(yàn)算點(diǎn)法、近似概率法等[1].結(jié)構(gòu)體系可靠性作為衡量結(jié)構(gòu)系統(tǒng)安全與否的重要依據(jù)，是結(jié)構(gòu)可靠性研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，雖然結(jié)構(gòu)體系可靠性研究得到了一定的成果，但是在實(shí)際工程中的應(yīng)用仍未成熟.

近些年，復(fù)雜性科學(xué)，特別是復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性問題成為研究的熱點(diǎn).復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論是從系統(tǒng)角度對各種復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行可靠性建模與分析的一種重要工具[2].復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的可靠性研究最早可追溯到1955年LEE對電信交換網(wǎng)絡(luò)的研究，伴隨復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的可靠性研究不斷深入和完善，該方法已經(jīng)廣泛用于交通網(wǎng)絡(luò)[3]、通信網(wǎng)絡(luò)、電力網(wǎng)絡(luò)、高鐵牽引系統(tǒng)[4]等復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性研究中.

桁架結(jié)構(gòu)與網(wǎng)絡(luò)具有相似的構(gòu)造特征，吳炳焜等[5]運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)理論對桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究.然而，以往運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)對桁架結(jié)構(gòu)的研究僅限于結(jié)構(gòu)內(nèi)力研究[6]，然而并未涉及桁架結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性研究.本文嘗試在前人的基礎(chǔ)上借鑒復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論中可靠性分析方法對桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠性分析.本文提出基于桁架結(jié)構(gòu)能量流動(dòng)網(wǎng)絡(luò)和構(gòu)件可靠指標(biāo)建立桁架結(jié)構(gòu)的加權(quán)有向網(wǎng)絡(luò)模型，通過分析在不同構(gòu)件可靠指標(biāo)下桁架結(jié)構(gòu)加權(quán)有向網(wǎng)絡(luò)模型的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的變化情況，找到影響桁架結(jié)構(gòu)可靠性的關(guān)鍵構(gòu)件，由此提高桁架結(jié)構(gòu)的可靠性.

1 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)靜態(tài)參數(shù)

網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的發(fā)展大致可分為規(guī)則網(wǎng)絡(luò)、隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)三個(gè)階段[7]，伴隨著這三類網(wǎng)絡(luò)模型的出現(xiàn)，對于現(xiàn)實(shí)世界的網(wǎng)絡(luò)描述越來越來精確.網(wǎng)絡(luò)模型可以運(yùn)用圖論的知識(shí)來描述，圖是由若干個(gè)節(jié)點(diǎn)和連接其中某些節(jié)點(diǎn)的線組成，可以用數(shù)學(xué)語言表示為，節(jié)點(diǎn)由非空集合V={v1,v2,···,vn}表示，連邊由非空集合E={e1,e2,···,en}表示，圖則由這兩個(gè)集合組成表示為G.若將圖中節(jié)點(diǎn)等效為邊，邊等效為節(jié)點(diǎn)，則可得到該圖的對偶圖G′，本文以桁架結(jié)構(gòu)對偶圖為基礎(chǔ)構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)模型.用于分析復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)有度分布、節(jié)點(diǎn)介數(shù)值、節(jié)點(diǎn)緊密度指標(biāo)、聚類系數(shù)、平均路徑等，用于研究網(wǎng)絡(luò)可靠性的參數(shù)主要包括如下三個(gè)內(nèi)容.

1.1 節(jié)點(diǎn)度及度分布

節(jié)點(diǎn)度[7]是網(wǎng)絡(luò)中中最基本的拓?fù)鋮?shù)，節(jié)點(diǎn)度記為k，節(jié)點(diǎn)度的定義為與該節(jié)點(diǎn)相搭接的邊的數(shù)目.由定義可知，某節(jié)點(diǎn)度值越大就意味著該節(jié)點(diǎn)在某種意義上越“重要”.節(jié)點(diǎn)度分布用分布函數(shù)P(k)表示，它代表了在網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)抽取到度為k的概率為P(k).

1.2 節(jié)點(diǎn)介數(shù)指標(biāo)

網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)之間的最短路徑中經(jīng)過該節(jié)點(diǎn)的最短路徑數(shù)目與網(wǎng)絡(luò)中最短路徑總數(shù)的比值稱為節(jié)點(diǎn)介數(shù)[7]，介數(shù)反映了相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)在整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的作用和影響力，具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義，可表示為：

(1)

1.3 緊密度指標(biāo)

某個(gè)節(jié)點(diǎn)到達(dá)網(wǎng)絡(luò)中其它所有節(jié)點(diǎn)的最短距離之和的倒數(shù)稱為該節(jié)點(diǎn)的緊密度指標(biāo)[7]，緊密度值可以用于描述該節(jié)點(diǎn)通過網(wǎng)絡(luò)對其他節(jié)點(diǎn)施加影響的能力,可表示為：

(2)

式中dij為節(jié)點(diǎn)vi到節(jié)點(diǎn)vj的最短距離.

2 基于無權(quán)無向網(wǎng)絡(luò)模型的桁架結(jié)構(gòu)可靠性分析

2.1 無權(quán)無向網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建方法

(3)

式中aij為鄰接矩陣的元素.

桁架結(jié)構(gòu)由鉸接點(diǎn)與桿件構(gòu)成，從外觀上具有圖的特征[5].因此，將鉸接點(diǎn)等效為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，桿件等效為連邊，即可得到桁架結(jié)構(gòu)的等效網(wǎng)絡(luò)模型G.由圖G可以得到以桿件為節(jié)點(diǎn)，鉸接為邊的對偶圖G′.本文以桁架結(jié)構(gòu)的對偶圖G′構(gòu)建桁架結(jié)構(gòu)無權(quán)無向網(wǎng)絡(luò)模型.

按照上述方法，可將圖1所示的桁架結(jié)構(gòu)等效成圖2所示的無權(quán)無向網(wǎng)絡(luò)模型.

圖1 桁架結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 桁架結(jié)構(gòu)無權(quán)無向網(wǎng)絡(luò)模型

2.2 桁架結(jié)構(gòu)無權(quán)無向網(wǎng)絡(luò)模型可靠性分析

網(wǎng)絡(luò)效率E[3]是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中常用的脆弱性與可靠性分析的網(wǎng)絡(luò)特征參數(shù)，網(wǎng)絡(luò)效率值可以刻畫網(wǎng)絡(luò)傳輸信息或能量的強(qiáng)弱，其定義為任意兩節(jié)點(diǎn)之間最短路徑長度倒數(shù)和的平均值.可表示為：

(4)

式中dij為節(jié)點(diǎn)vi到節(jié)點(diǎn)vj的最短距離

網(wǎng)絡(luò)效率值可以在一定程度上反映桁架結(jié)構(gòu)的可靠性.在無權(quán)無向網(wǎng)絡(luò)模型中，各個(gè)節(jié)點(diǎn)只有兩種狀態(tài)即正常和失效，則鄰接矩陣同式3.假設(shè)桁架結(jié)構(gòu)中的桿件分別失效并計(jì)算相應(yīng)的桁架結(jié)構(gòu)無權(quán)無向網(wǎng)絡(luò)模型網(wǎng)絡(luò)效率值，可以反映各個(gè)構(gòu)件對桁架結(jié)構(gòu)可靠性的影響，由此確定桁架結(jié)構(gòu)中的關(guān)鍵構(gòu)件.下面以圖1所示桁架為例，詳細(xì)闡述如何利用桁架結(jié)構(gòu)無權(quán)無向網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行可靠性分析.

通過計(jì)算得到的桁架結(jié)構(gòu)無權(quán)無向網(wǎng)絡(luò)模型的網(wǎng)絡(luò)效率值變化曲線如圖3所示.從圖3可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)構(gòu)件6失效時(shí)，桁架結(jié)構(gòu)無權(quán)無向網(wǎng)絡(luò)模型的網(wǎng)絡(luò)效率下降幅度最大，說明構(gòu)件6對桁架結(jié)構(gòu)的可靠性影響最大.

圖3 分別刪除構(gòu)件時(shí)網(wǎng)絡(luò)模型的網(wǎng)絡(luò)效率變化曲線

3 基于加權(quán)有向網(wǎng)絡(luò)模型的桁架結(jié)構(gòu)可靠性分析

上節(jié)所述的無權(quán)無向網(wǎng)絡(luò)模型，只能模糊地反映桁架結(jié)構(gòu)的可靠性，且該模型不能詳細(xì)描述桁架結(jié)構(gòu)工作時(shí)的狀態(tài).因此在本節(jié)將建立更符合桁架結(jié)構(gòu)工作狀態(tài)的加權(quán)有向網(wǎng)絡(luò)模型.

3.1 桁架結(jié)構(gòu)加權(quán)有向網(wǎng)絡(luò)模型的構(gòu)建

若圖G中的邊vivj與邊vjvi對應(yīng)的不是同一條邊，則該網(wǎng)絡(luò)圖被稱為有向網(wǎng)絡(luò).對于圖G的每一條邊e來說，都對應(yīng)于一個(gè)實(shí)數(shù)W(e)表示兩節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系程度，我們把W(e)稱為e的權(quán).加權(quán)有向圖G的鄰接矩陣A的定義如下

(5)

(6)

對圖1所示的桁架結(jié)構(gòu)內(nèi)力進(jìn)行計(jì)算，可得到其能量流動(dòng)網(wǎng)絡(luò)[8]，如圖4所示.運(yùn)用蒙特卡洛法并結(jié)合ANASYS中的概率設(shè)計(jì)模塊APDL可靠結(jié)構(gòu)中各個(gè)桿件的可靠指標(biāo)[1]，桁架結(jié)構(gòu)構(gòu)件的隨機(jī)變量參數(shù)情況如表1所示.

表1 桁架結(jié)構(gòu)構(gòu)件隨機(jī)變量參數(shù)

按照上述方法，圖1所示桁架結(jié)構(gòu)對應(yīng)的加權(quán)有向網(wǎng)絡(luò)模型如圖5所示.

圖4 桁架結(jié)構(gòu)能量流動(dòng)網(wǎng)絡(luò)

圖5 桁架結(jié)構(gòu)加權(quán)有向網(wǎng)絡(luò)模型

3.2 桁架結(jié)構(gòu)加權(quán)有向網(wǎng)絡(luò)模型的可靠性分析

(1)桁架結(jié)構(gòu)加權(quán)有向網(wǎng)絡(luò)模型指標(biāo)計(jì)算

經(jīng)計(jì)算，圖1所示桁架結(jié)構(gòu)的加權(quán)有向網(wǎng)絡(luò)模型相關(guān)指標(biāo)結(jié)果如表2所示.

表2 網(wǎng)絡(luò)模型中各節(jié)點(diǎn)參數(shù)

從表2可知，桁架結(jié)構(gòu)加權(quán)有向網(wǎng)絡(luò)模型中節(jié)點(diǎn)1的度值最大，說明節(jié)點(diǎn)1失效時(shí)受到直接影響的構(gòu)件較多，節(jié)點(diǎn)1的緊密度值最大，由緊密值定義可知節(jié)點(diǎn)1通過網(wǎng)絡(luò)對其他節(jié)點(diǎn)施加影響的能力最大，節(jié)點(diǎn)9的介數(shù)值最大，表示該網(wǎng)絡(luò)中通過該節(jié)點(diǎn)的最短路徑數(shù)目最多.由上述對各節(jié)點(diǎn)的參數(shù)計(jì)算可以知道節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)9在網(wǎng)絡(luò)中扮演著重要角色.

(2)桁架結(jié)構(gòu)加權(quán)有向網(wǎng)絡(luò)模型可靠性的分析方法

將試驗(yàn)一所得數(shù)據(jù)制成時(shí)間函數(shù)和上拉桿角度(如圖5所示)、上拉桿垂直力(如圖6所示)、上拉桿水平力(如圖7所示)、右拉桿垂直力(如圖8所示)、右拉桿水平(如圖9所示)、左拉桿垂直力(如圖10所示)及在拉桿水平力(如圖11所示)，從上圖可以看出，當(dāng)毒餌噴撒機(jī)做提升試驗(yàn)時(shí)上拉桿角度在(32°～68°)的范圍內(nèi)。上拉桿垂直力在(0～7 285N)范圍內(nèi)；上拉桿水平力在(0～5 189N)范圍內(nèi)；右拉桿垂直力在(0～5 721N)范圍內(nèi)；右拉桿水平力在(0～5 575N)范圍內(nèi)；左拉桿垂直力在(0～5 238N)范圍內(nèi)；左拉桿水平力在(856～5 863N)范圍內(nèi)。

在加權(quán)網(wǎng)絡(luò)中通過改變權(quán)值，并計(jì)算相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)效率值，即可對該加權(quán)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行可靠性分析.改變桁架結(jié)構(gòu)中構(gòu)件的可靠指標(biāo)，并計(jì)算相應(yīng)的桁架結(jié)構(gòu)加權(quán)有向網(wǎng)絡(luò)模型網(wǎng)絡(luò)效率值，可以反映各個(gè)構(gòu)件對桁架結(jié)構(gòu)可靠性的影響，由此確定桁架結(jié)構(gòu)中的關(guān)鍵構(gòu)件.下面以圖1所示桁架為例，詳細(xì)闡述如何利用桁架結(jié)構(gòu)加權(quán)有向網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行可靠性分析.

(3)高可靠指標(biāo)構(gòu)件對桁架結(jié)構(gòu)可靠性的影響

按現(xiàn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范，提高構(gòu)件的可靠性可提高結(jié)構(gòu)整體可靠性，但是盲目的提高構(gòu)件可靠性會(huì)造成浪費(fèi).因此需要確定影響結(jié)構(gòu)可靠性的關(guān)鍵構(gòu)件并提高其可靠指標(biāo)，才是提高結(jié)構(gòu)可靠性的有效策略.

假設(shè)圖1桁架結(jié)構(gòu)中所有構(gòu)件的可靠指標(biāo)分別提升10%、30%和50%，對應(yīng)的桁架結(jié)構(gòu)加權(quán)有向網(wǎng)絡(luò)模型網(wǎng)絡(luò)效率值變化曲線如圖6所示.從圖6可以看出，當(dāng)桁架結(jié)構(gòu)中各個(gè)構(gòu)件的可靠指標(biāo)分別增大時(shí)，桁架結(jié)構(gòu)加權(quán)有向網(wǎng)絡(luò)模型的網(wǎng)絡(luò)效率值都會(huì)呈現(xiàn)一定程度的上升，且當(dāng)各個(gè)構(gòu)件的可靠指標(biāo)增大幅度越大，桁架結(jié)構(gòu)加權(quán)有向網(wǎng)絡(luò)模型網(wǎng)絡(luò)效率值增幅就越大，說明提高構(gòu)件的可靠指標(biāo)可以提高桁架結(jié)構(gòu)的可靠性，該結(jié)論與桁架結(jié)構(gòu)實(shí)際狀況相符.

下面分析單個(gè)構(gòu)件對桁架結(jié)構(gòu)可靠性的影響，通過對圖6的進(jìn)一步分析，可以發(fā)現(xiàn)即使所有構(gòu)件的可靠指標(biāo)按相同的幅度提升時(shí)，桁架結(jié)構(gòu)加權(quán)有向網(wǎng)絡(luò)模型的網(wǎng)絡(luò)效率值增長幅度卻有較大差異.其中，提升構(gòu)件1、構(gòu)件3和構(gòu)件9的可靠指標(biāo)使得該桁架結(jié)構(gòu)的加權(quán)有向網(wǎng)絡(luò)模型的網(wǎng)絡(luò)效率值會(huì)得到較大幅度的提升，說明構(gòu)件1、構(gòu)件3和構(gòu)件9是桁架結(jié)構(gòu)中的關(guān)鍵構(gòu)件.

4 結(jié)束語

本文提出了一種基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)加權(quán)有向網(wǎng)絡(luò)模型的桁架結(jié)構(gòu)可靠性分析方法.本文主要工作：

(1)運(yùn)用圖論知識(shí)，根據(jù)桁架結(jié)構(gòu)特征將其轉(zhuǎn)化為圖，并依據(jù)其對偶圖建立了以桿件等效為節(jié)點(diǎn)，以鉸接為等效邊的無權(quán)無向網(wǎng)絡(luò)模型.

(2)運(yùn)用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可靠性知識(shí)對桁架結(jié)構(gòu)的無權(quán)無向網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行了可靠性分析，尋找對其可靠性影響最大的構(gòu)件.

(3)在桁架結(jié)構(gòu)無權(quán)無向網(wǎng)絡(luò)模型的基礎(chǔ)上，根據(jù)結(jié)構(gòu)能量流動(dòng)網(wǎng)絡(luò)[8]賦予網(wǎng)絡(luò)方向，根據(jù)構(gòu)件可靠指標(biāo)的倒數(shù)來確定邊的權(quán)值，由此構(gòu)建出可以反映桁架結(jié)構(gòu)實(shí)際工作情況的加權(quán)有向網(wǎng)絡(luò)模型.

(4)通過計(jì)算網(wǎng)絡(luò)模型中各個(gè)節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，分析了各個(gè)節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中扮演的角色重要程度；借鑒復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論中的可靠性分析方法，量化了結(jié)構(gòu)中不同構(gòu)件可靠指標(biāo)變化對結(jié)構(gòu)可靠性的影響程度，從而確定結(jié)構(gòu)中的關(guān)鍵構(gòu)件，實(shí)現(xiàn)了桁架結(jié)構(gòu)可靠性分析.

本文所提出的方法是將復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論應(yīng)用于桁架結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性分析的一種有意義的嘗試，為桁架結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性分析提供了一種新思路.

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Reliability Analysis of Truss Structure Based on Complex Network Theory

QIAN Zi-han, YOU Shi-hui

(College of Civil Engineering and Mechanics， Xiangtan University， Xiangtan 411105， China)

A reliability analysis for truss structure based on the complex network theory is presented in this paper, and a truss structure is illustrated as an example. At first, the unweighted network model of the truss structure is built, and the knowledge of complex network reliability is used to analyze it. Then the weighted and directed network model is built based on the unweighted network model. The weighted directed network model of the truss structure is builtd base on energy flow network and the reliability index so that parameters of each node of weighted directed network model can be calculated. Finally, the key components in the truss structure are defined by quantifying the influence of each component under different reliability indexes.

complex network; structure energy flow network; truss structure; reliability analysis

2016-05-13

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51375416)資助；湖南省教育廳創(chuàng)新平臺(tái)開放基金項(xiàng)目(Z).

錢子菡(1990-)，男，碩士研究生；研究方向：工程力學(xué)與計(jì)算.

游世輝(1962-)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：工程力學(xué)與計(jì)算.

TU323.4

A

1671-119X(2017)01-0080-05