王梅芳

[摘 要] 數(shù)學(xué)教材中有基本概念、基本定理，在解決問(wèn)題中卻需要在這基礎(chǔ)上進(jìn)行有效的總結(jié)，畢竟有效的總結(jié)能成為學(xué)生解決問(wèn)題更好的武器，本文稱(chēng)之為非教材性質(zhì). 如何運(yùn)用非教材性質(zhì)解決問(wèn)題成為提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)試的一個(gè)新手段.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)；非教材；性質(zhì)；極化恒等式；向量共線；教材；仿射坐標(biāo)系

眾所周知，高中數(shù)學(xué)教材中有許多基本概念和基本性質(zhì)、定理，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最基本的保障. 但是我們也發(fā)現(xiàn)，僅僅依賴(lài)這些基本公式和基本概念還是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，當(dāng)下的數(shù)學(xué)應(yīng)試考查了學(xué)生多方面的數(shù)學(xué)能力，這其中包括熟練運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題. 如果從能取得更高分?jǐn)?shù)的成績(jī)、更快速的解決問(wèn)題的角度來(lái)說(shuō)，筆者認(rèn)為除了教材中提及的基本知識(shí)之外，我們更需要一些從問(wèn)題解決過(guò)程中總結(jié)下來(lái)的經(jīng)驗(yàn)積累，這些積累可以濃縮成性質(zhì)或特點(diǎn)，成為學(xué)生解題的“利器”.

非教材性質(zhì)1：設(shè)O，A，B是不共線三點(diǎn)，對(duì)平面上任一點(diǎn)Q，有=x+y，則Q在直線AB上的充要條件是x+y=1.

此性質(zhì)并非教材明確給出的概念或定理，只是在平面向量基本定理引入之后，在習(xí)題中涉及了類(lèi)似的問(wèn)題，我們將其提煉、總結(jié)成一條極為方便的判斷共線的重要依據(jù).從性質(zhì)的使用來(lái)看，學(xué)生不善于發(fā)現(xiàn)性質(zhì)隱藏于具體問(wèn)題中的使用，另一方面也說(shuō)明了來(lái)源于平面向量基本定理知識(shí)的不理解.

問(wèn)題1：等差數(shù)列{an}滿足=a1·+a100·且Q，A，B三點(diǎn)共線，則等差數(shù)列{an}前100項(xiàng)的和S100=________.

分析：本題改編自江西高考試題，屬于非教材性質(zhì)使用的第一層次，若學(xué)生能夠準(zhǔn)確領(lǐng)會(huì)三點(diǎn)共線的充要條件，本題屬于難度系數(shù)較低問(wèn)題，但是不少學(xué)生往往在問(wèn)題中不能聯(lián)系非教材性質(zhì)、積累較少，導(dǎo)致問(wèn)題的解決變得復(fù)雜.本題顯然可知：a1+a100=1，所以S100=50.

問(wèn)題2：給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為120°. 如圖1所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動(dòng). 若=x+y，其中x，y∈R，則x+y的最大值是________.

分析：本題是安徽省高考真題，筆者請(qǐng)學(xué)生嘗試，大部分學(xué)生對(duì)于向量自由性的理解并不到位，均是利用直角坐標(biāo)系正交分解狀態(tài)下求解，這樣的好處是思維簡(jiǎn)單，缺點(diǎn)是計(jì)算量較大，導(dǎo)致大部分學(xué)生最后在代數(shù)求解中無(wú)法求最大值.我們不妨換一個(gè)角度去思考問(wèn)題，如圖1所示，點(diǎn)C在圓弧上滑動(dòng)，當(dāng)其與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合時(shí)，滿足x+y=1，根據(jù)平面向量基本定理，我們不妨將OA記為x軸、OB記為y軸（此時(shí)根據(jù)向量自由性我們得到了一般化的仿射坐標(biāo)系），在仿射坐標(biāo)系里可以類(lèi)似地如直角坐標(biāo)系一般進(jìn)行坐標(biāo)化，根據(jù)比例可知，點(diǎn)C位于圓弧中點(diǎn)時(shí)，x+y有最大值，且顯然最大值為2.

問(wèn)題3：已知點(diǎn)A（1，-1），B（4，0），C（2，2），點(diǎn)P滿足=λ+μ（1≤λ≤a，1≤μ≤b），若+=1，則點(diǎn)P（x，y）組成的平面區(qū)域的面積為_(kāi)_______.

分析：考慮到+=1，我們不妨記a=2，b=2（其余同理），則1≤λ≤2，1≤μ≤2，當(dāng)λ+μ=1時(shí)，由三點(diǎn)共線性質(zhì)可知P，B，C共線，即點(diǎn)P位于BC上. 又由于1≤λ≤2，1≤μ≤2?2≤λ+μ≤4，因此點(diǎn)P所在區(qū)域由下列不等式組構(gòu)成：1≤λ≤2，

1≤μ≤2，

2≤λ+μ≤4，即圖2中所在陰影部分，其面積為△ABC面積的兩倍.由條件易得該平行四邊形的面積為8.我們發(fā)現(xiàn)，本題我們創(chuàng)造性地使用了三點(diǎn)共線性質(zhì)，避免了直角坐標(biāo)系帶來(lái)的大量運(yùn)算，從更為一般的仿射坐標(biāo)系的角度解決了問(wèn)題，性質(zhì)使用的巧妙性凸顯出來(lái).

點(diǎn)評(píng)：我們發(fā)現(xiàn)，三點(diǎn)共線性質(zhì)是依賴(lài)于平面向量基本定理存在的，其實(shí)平面向量基本定理是這一切存在的基礎(chǔ).不知道大家是否發(fā)現(xiàn)，我們?cè)谙蛄拷虒W(xué)中往往對(duì)向量本質(zhì)的知識(shí)關(guān)注并不多，更多的是關(guān)注了向量代數(shù)化的工具——運(yùn)算，從利用坐標(biāo)向量求解到空間向量解決立體幾何，都是其代數(shù)化工具性的體現(xiàn)，但是向量是具備幾何特性的，在平面向量基本定理所闡述的任意向量均可以使用基底進(jìn)行唯一分解的情形下，向量的自由性得到了長(zhǎng)足的運(yùn)用，從而將一般化的仿射坐標(biāo)系帶來(lái)了美好的使用前景，給思維的開(kāi)拓性帶來(lái)了無(wú)限的可能. 本文列舉了三個(gè)問(wèn)題，每一問(wèn)題都是層層遞進(jìn)式的設(shè)計(jì)，將知識(shí)的使用提煉到了更高的高度，從而獲得了非教材性質(zhì)的總結(jié)和積累.

非教材性質(zhì)2：向量極化恒等式：a·b=.

極化恒等式是向量數(shù)量積與向量和差之間的本質(zhì)反映，但是教材中沒(méi)有將這一重要的關(guān)系式作為數(shù)量積與向量和與差關(guān)系的性質(zhì)進(jìn)行總結(jié). 筆者以為，能夠?yàn)閱?wèn)題帶來(lái)快捷的解決方式的重要特性都應(yīng)該進(jìn)行總結(jié).那么極化恒等式到底在問(wèn)題解決中如何使用？其揭示了什么？如圖3所示，平行四邊形ABCD中：=，=，=+，所以

2. 將①②相減即可得到向量極化恒等式，其溝通了向量?jī)?nèi)積運(yùn)算與線性運(yùn)算，成為非教材性質(zhì)中重要的補(bǔ)充環(huán)節(jié).

問(wèn)題4：P是棱長(zhǎng)為2的正方體上一動(dòng)點(diǎn)，AB是正方體內(nèi)切球的任意一條直徑，則· 的取值范圍是________.

分析：本題是研究向量數(shù)量積問(wèn)題.從學(xué)生思維層面，第一選擇是數(shù)量積的概念，但是我們很快發(fā)現(xiàn)·=

·

·cosθ，其中夾角θ很難在動(dòng)態(tài)變換中找到其取值范圍；第二選擇是向量問(wèn)題坐標(biāo)化，這里高三的學(xué)生可以試一試，畢竟空間向量三維坐標(biāo)運(yùn)算是一種手段，但是不難發(fā)現(xiàn)運(yùn)算量較大并不適合在考場(chǎng)中使用；因此第三選擇極化恒等式成為問(wèn)題解決的首選，考慮到·===2-1，我們發(fā)現(xiàn)只要解決

的取值范圍即可，即研究正方體表面動(dòng)點(diǎn)到正方體中心的距離最值，對(duì)于學(xué)生而言比較容易，顯然1≤

≤，因此·∈[0，2]. 這里我們將數(shù)量積問(wèn)題通過(guò)向量和與差轉(zhuǎn)換為中線所在弦長(zhǎng)以及對(duì)邊所在長(zhǎng)度問(wèn)題，可見(jiàn)極化恒等式巧妙地繞開(kāi)了向量?jī)?nèi)部的轉(zhuǎn)換，揭示了問(wèn)題處理的本質(zhì).

問(wèn)題5：如圖5，設(shè)△ABC中，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足P0B=AB，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有·≥·，則△ABC的形狀是________.

分析：若直接使用第一思維數(shù)量積概念，我們不難發(fā)現(xiàn)向量的夾角難以計(jì)算；若采用直角坐標(biāo)系進(jìn)行運(yùn)算，則明顯由于三角形形狀的任意性而必須構(gòu)造特殊三角形才能為之；考慮到數(shù)量積與向量和與差之間的關(guān)系，取線段BC中點(diǎn)M，則4·=（+）2-（-）2=4

2-

2，要滿足題意·最小，只需

最小即可，且最小位置恰為P0處. 很明顯當(dāng)且僅當(dāng)MP⊥AB時(shí)滿足題意，又M點(diǎn)為線段BC中點(diǎn)，所以AC=BC時(shí)成立，即原三角形為等腰三角形. 本題從極化恒等式的角度巧妙地化簡(jiǎn)了數(shù)量積問(wèn)題，讓學(xué)生開(kāi)拓了解決數(shù)量積問(wèn)題的非教材性質(zhì)的使用. 通過(guò)兩個(gè)問(wèn)題的使用，我們發(fā)現(xiàn)非教材性質(zhì)2在解決數(shù)量積與向量和與差之間關(guān)系有著極為重要的功效.

數(shù)學(xué)教學(xué)中還有一些非教材的性質(zhì)，如數(shù)列中的等差數(shù)列通項(xiàng)公式與求和公式的函數(shù)觀點(diǎn)下的表述；抽象函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)g（a+x）=g（b-x）、中心對(duì)稱(chēng)g（a+x）+g（b-x）=c、周期性g（x+a）=g（x-b）等等三種表述式之間的研究、總結(jié)；立體幾何中如何利用空間向量辨別二面角求解中的銳角或鈍角；排列組合中插空法、捆綁法、隔板法等使用. 從本文所舉的向量中非教材性質(zhì)使用來(lái)看，教師教學(xué)要善于歸納、善于總結(jié)，對(duì)于教而言，沒(méi)有很好的分門(mén)別類(lèi)的梳理，教不可能成體系的進(jìn)行；學(xué)生學(xué)習(xí)更需要這種系統(tǒng)化的指導(dǎo)，僅僅依賴(lài)教材的概念和公式，依賴(lài)學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)在現(xiàn)階段學(xué)生的能力和教學(xué)時(shí)間內(nèi)是不可能做到的（所有非教材性質(zhì)通過(guò)自主建構(gòu)發(fā)現(xiàn)僅僅是理想主義）. 有了非教材性質(zhì)，我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題的時(shí)候大大提高了知識(shí)使用的廣闊性，對(duì)知識(shí)的理解也大大向前邁進(jìn).

總之，從專(zhuān)業(yè)化角度而言教師需要不斷更新自己的知識(shí)體系，不斷總結(jié)非教材性質(zhì)，如文中仿射坐標(biāo)系的引入、極化恒等式的總結(jié)給予教師自身對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的理解有了更高的層次.這些小小的性質(zhì)使用為學(xué)生問(wèn)題的解決帶來(lái)了更為快捷、高效的手段，讓知識(shí)真正在學(xué)生頭腦中開(kāi)枝散葉，為其解決難題樹(shù)立更強(qiáng)的信心.