淺析一題多解

江蘇省海門市臨江新區(qū)實(shí)驗(yàn)初中 黃 華

淺析一題多解

江蘇省海門市臨江新區(qū)實(shí)驗(yàn)初中 黃 華

一題多解就是從不同的角度或不同的方位來審視分析同一個題目中的數(shù)學(xué)關(guān)系,從而使用不同解法求得同一個結(jié)果的思維過程。在我多年的教學(xué)實(shí)踐中，我深深地體會到合理運(yùn)用這種方法，能培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)和發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

曾經(jīng)有學(xué)生認(rèn)為，完成數(shù)學(xué)習(xí)題的時候，不是只要得到正確的數(shù)學(xué)習(xí)題答案就行了嗎？為什么還要應(yīng)用多種方法來完成一道數(shù)學(xué)習(xí)題呢？我認(rèn)為，學(xué)生能不能應(yīng)用多種方法解答出一道數(shù)學(xué)習(xí)題與學(xué)生的思維寬度和思維深度有關(guān)。如果學(xué)生的思維寬度高，學(xué)生在面對一個數(shù)學(xué)問題的時候，就能找到多個數(shù)學(xué)問題的切入點(diǎn)；如果學(xué)生的思維深度強(qiáng)，學(xué)生就越能理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，能夠從一套數(shù)學(xué)系統(tǒng)著手看待數(shù)學(xué)問題，此時學(xué)生就能靈活地應(yīng)用各種數(shù)學(xué)材料來解決數(shù)學(xué)問題。作為一名教師，我認(rèn)為應(yīng)用一題多解的教學(xué)方式訓(xùn)練學(xué)生的思維水平，是非常有必要的。

一題多解，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性。在教學(xué)過程中通過一題多解例題的示范，從而科學(xué)地引導(dǎo)學(xué)生從不同的方位或不同的觀點(diǎn)去分析和思考相同的一個問題，進(jìn)而擴(kuò)充思維的領(lǐng)域，增加思維機(jī)遇，使學(xué)生不滿足固有的方法，這不僅有利于各學(xué)科知識間的聯(lián)系，而且能使學(xué)生思維開闊，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性。

每次提到一題多解時學(xué)生都很驚訝,這個題我一個方法都沒有想到,老師怎么會有這么多的解決方法呢?其實(shí)一題多解也是有跡可尋的，如下面的這道題我們就可以從幾個不同的角度去分析。

例：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AB于E，且交AC于點(diǎn)P，連接AD，（1）求證：∠DAC=∠DBA；（2）求證：P是線段AF的中點(diǎn)；（3）若⊙O的半徑為5，，求tan∠ABF的值。

方法一：往往有多個小問的題目中，前面小題的結(jié)果可在后面的小題中加以運(yùn)用。

本題若考慮運(yùn)用（1）中的結(jié)論，則可想到說明△ADF～△BDA，

圖1

方法二：(2)中的結(jié)論是P是AF的中點(diǎn),看到中點(diǎn)一般會聯(lián)想到中線或中位線，中線DP是△ADF的中線，，如圖2所示，取BF中點(diǎn)H，PH即是△FAB的中位線，，∠ABD=∠DHP， tan∠DHP即可在Rt△DPH中求出，，故

圖2

圖3

方法三：題目條件中有BD是∠CBA的角平分線，看到角平分線就應(yīng)能自然地想到角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離是相等的，如圖3所示，過點(diǎn)F作FH⊥AB，即有FH=FC，，由△AFH～△ABC可知。故。

有一部分學(xué)生看待數(shù)學(xué)問題的時候，只能從一個數(shù)學(xué)視角來看待數(shù)學(xué)問題。比如曾有學(xué)生看待以上數(shù)學(xué)問題的時候，就認(rèn)為只能應(yīng)用中位線的性質(zhì)來證明這一數(shù)學(xué)問題，或者認(rèn)為只能應(yīng)用角平分線的性質(zhì)來證明這一數(shù)學(xué)問題。因?yàn)檫@些學(xué)生沒有嘗試著用多種角度來看待這些問題，所以解題的視野非常狹隘。我開展一題多解教學(xué)的目的之一，就是要讓學(xué)生在解題的時候，突破這種狹隘的數(shù)學(xué)視野，讓學(xué)生嘗試著用多種角度思考問題。學(xué)生思考數(shù)學(xué)問題的廣度與他們的數(shù)學(xué)問題有密切的關(guān)系。

一題多解培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性，讓學(xué)生能迅速地依據(jù)題目已給出的條件，并且結(jié)合自身情況，能靈活、熟練地選擇解題最佳切入點(diǎn)。不固執(zhí)己見，不拘泥于陳舊的方案。而思維的深刻性是指在靈活性的基礎(chǔ)上，深刻領(lǐng)會解題的實(shí)質(zhì)，掌握其一般規(guī)律。分析問題時我們要學(xué)會尋求已知條件背后所隱含的知識或結(jié)論去分析解決問題。如下題中我們就可以運(yùn)用這樣的分析方法解決問題：

例：如圖所示，已知在⊙O中，直徑AB長為10cm，弦AC長為6cm，∠ACB平分線交⊙O于D。（1）求BC的長；（2）求AD的長；（3）求CD的長。

在求第三問CD長的時候很多同學(xué)就無從下手了，那就讓我們一起來看題目的條件，尋找條件背后的知識或結(jié)論吧。已知中有角平分線的條件，通?？吹竭@個條件我們想到一個結(jié)論，即被分得的兩個角相等，故出現(xiàn)45°的角，再考慮把45°的角放入特殊的直角三角形中解決問題。這便有了第一種解決問題的方法：

方法一：因?yàn)椤螦CB=90°，CD平分∠ACB，所以∠ACD=45°，作AH⊥CD，則CH=AH，因?yàn)锳C=6，所以，再在Rt△ADH中運(yùn)用勾股定理可求得，所以

圖4

圖5

在看到角平分線時我們也可思考到角平分線的性質(zhì)定理，也就是角平分線上的任意一點(diǎn)到角兩邊的距離都相等，由此可添加出兩條輔助線，從而構(gòu)造出一組全等三角形來解決問題。

方法二：如圖5所示，作DH⊥BC，DG⊥CA，因?yàn)镃D平分∠ACB，所以DH=DG，進(jìn)而可推得Rt△DBH≌Rt△DAG，由此可得BH=AG，因?yàn)锳C+BC=14，所以CH+AC+ AG=14，即CG+CH=14，又可證得四邊形CG DH為正方形，所以CG=CH=7，故

在解題的時候，有些學(xué)生在思考問題時把數(shù)學(xué)問題理解為圖形的問題，還有些學(xué)生可能把數(shù)學(xué)問題理解為計(jì)算的問題，學(xué)生這樣理解數(shù)學(xué)問題，意味著學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題不夠深刻。就以這道數(shù)學(xué)問題為例，有些學(xué)生看到題上的圖形，就認(rèn)為這一道習(xí)題沒法計(jì)算，因?yàn)樗坪跞鄙俳忸}的條件。然而如果學(xué)生應(yīng)用切、割、補(bǔ)的思路來看待幾何問題，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題又不同了，他們可以獲得很多解題的條件。我開展一題多解教學(xué)的目的之二，就是要引導(dǎo)學(xué)生從各種角度去理解數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生建立一套完整的數(shù)學(xué)體系，學(xué)生對數(shù)學(xué)性質(zhì)的理解也影響著學(xué)生的數(shù)學(xué)水平。

總而言之，在教學(xué)中注重適當(dāng)?shù)囊活}多解，能夠激發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的強(qiáng)烈欲望，從而也能加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解，訓(xùn)練學(xué)生對數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的熟練運(yùn)用，并且也能鍛煉學(xué)生思維的廣闊性、深刻性、靈活性和獨(dú)創(chuàng)性。