分?jǐn)?shù)階偏微分方程在圖像處理中的應(yīng)用

周尚波，王李平，尹學(xué)輝

(1.重慶大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院，重慶 400030； 2.重慶郵電大學(xué) 軟件工程學(xué)院，重慶 400065)

(*通信作者電子郵箱shbzhou@cqu.edu.cn)

分?jǐn)?shù)階偏微分方程在圖像處理中的應(yīng)用

周尚波1*，王李平1，尹學(xué)輝2

(1.重慶大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院，重慶 400030； 2.重慶郵電大學(xué) 軟件工程學(xué)院，重慶 400065)

(*通信作者電子郵箱shbzhou@cqu.edu.cn)

分?jǐn)?shù)階偏微分方程在圖像處理中的應(yīng)用已受到了廣泛的關(guān)注，尤其在圖像去噪和圖像超分辨率(SR)重建方面，目前的研究成果已顯示了分?jǐn)?shù)階應(yīng)用的優(yōu)勢(shì)與效果。對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分在圖像處理中的作用進(jìn)行了分析；介紹并討論了分?jǐn)?shù)階偏微分方程在圖像去噪和圖像超分辨率重建中的相關(guān)理論與模型；通過仿真實(shí)驗(yàn)表明，基于分?jǐn)?shù)階偏微分方程的方法在去噪和減少階梯效應(yīng)等方面比整數(shù)階偏微分方程更具有優(yōu)勢(shì)；最后指出了未來的相關(guān)研究問題。

分?jǐn)?shù)階偏微分方程；圖像去噪；超分辨率圖像重建

0 引言

圖像是人類獲取外界信息的重要通道，扮演著人類活動(dòng)中的重要角色。然而，由于圖像在成像、采集、傳輸?shù)忍幚磉^程中受各種因素的影響，往往會(huì)出現(xiàn)圖像內(nèi)容的質(zhì)量下降、細(xì)節(jié)特征被淹沒，從而視覺效果不佳等現(xiàn)象。為了提高圖像質(zhì)量，在不同的應(yīng)用場(chǎng)景需要對(duì)圖像進(jìn)行不同的處理，有時(shí)需要對(duì)圖像進(jìn)行降噪操作，有時(shí)需要對(duì)圖像進(jìn)行超分辨率(Super Resolution, SR)重建。圖像去噪和圖像超分辨率重建是圖像理解、圖像識(shí)別的基礎(chǔ)工作，也是圖像理解后續(xù)工作的關(guān)鍵步驟。

目前圖像重建的方法大致分為四類：基于小波等理論的多尺度建模、基于稀疏表示的方法、基于概率統(tǒng)計(jì)學(xué)的隨機(jī)建模以及基于變分和偏微分方程的方法。其中，基于整數(shù)階的偏微分方程模型在圖像重建研究中取得了較好的研究成果[1-6]，此類方法中最為著名的是全變分(Total Variation, TV)正則化模型[7]，通過變分法得到Euler方程來求解泛函的極小值，在去除圖像噪聲的同時(shí)，較好地保留了圖像的邊緣信息。然而由于建?？臻g和函數(shù)空間的問題，處理后的圖像中容易產(chǎn)生“階梯效應(yīng)”和部分紋理信息丟失的現(xiàn)象。為了緩解“階梯效應(yīng)”，一些學(xué)者提出了高階的變分模型[8-14]，這些改進(jìn)方法雖然能緩解“階梯效應(yīng)”和保持圖像邊緣，但是會(huì)在處理后的圖像產(chǎn)生“斑點(diǎn)效應(yīng)”。為了權(quán)衡“階梯效應(yīng)”和“斑點(diǎn)效應(yīng)”，Zhang等[15]提出了基于分?jǐn)?shù)階的變分模型，用分?jǐn)?shù)階梯度代替整數(shù)階梯度。

分?jǐn)?shù)階微積分理論的建立距今已經(jīng)有300多年的歷史，但直到20世紀(jì)后半葉，才受到工程領(lǐng)域技術(shù)人員的關(guān)注。目前分?jǐn)?shù)階微積分仍沒有統(tǒng)一的定義形式，比較著名的有空域中的定義[16]形式：Riemamann-Liouville(R-L)定義、Caputo定義、Grunwald-Letnikov (G-L)定義和頻域中基于傅里葉變換的定義形式[17]。從信息論的角度看，分?jǐn)?shù)階微分的物理意義可以理解為廣義的調(diào)幅調(diào)相，其振幅隨頻率呈分?jǐn)?shù)階冪指數(shù)變化，相位是頻率的廣義Hilbert變換[18]。在圖像處理中，整數(shù)階的微分算子基本上只適合處理圖像中高頻變化的成分，不具有處理非連續(xù)邊界點(diǎn)且有低頻變化特性細(xì)節(jié)的能力。而圖像中豐富表面紋理細(xì)節(jié)屬于中低頻成分，整數(shù)階微分算子不能較好地處理。研究表明，當(dāng)微分分?jǐn)?shù)階v處在0

目前，國內(nèi)外的一些學(xué)者基于分?jǐn)?shù)階偏微分方程圖像處理技術(shù)在以下領(lǐng)域發(fā)表了一些研究成果：圖像去噪[21-25]、圖像增強(qiáng)[26-28]和超分辨率圖像重建[29-33]。雖然分?jǐn)?shù)階偏微分方程在圖像處理領(lǐng)域已取得了一些研究成果，但分?jǐn)?shù)階偏微分方程在圖像處理領(lǐng)域的應(yīng)用研究還處于起步階段，很有必要作進(jìn)一步深入研究和探索。

1 分?jǐn)?shù)階偏微分方程在圖像處理中的應(yīng)用

1.1 分?jǐn)?shù)階偏微分方程概念

整數(shù)階偏微分方程是指微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)只含有一個(gè)自變量，如果該微分方程中出現(xiàn)了多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，或者說未知函數(shù)和幾個(gè)自變量相關(guān)，且方程中出現(xiàn)未知函數(shù)對(duì)應(yīng)幾個(gè)自變量的導(dǎo)數(shù)的微分方程，例如下面的包含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的等式，即是偏微分方程：

分?jǐn)?shù)階偏微分方程即是整數(shù)階偏微分方程的推廣，即偏微分方程中的偏導(dǎo)數(shù)為任意的正數(shù)。例如下面的方程即是分?jǐn)?shù)階(階數(shù)v可為任意正數(shù))偏微分方程：

偏微分方程的獲取一般有兩種方法：高斯平滑算子導(dǎo)出和變分方法導(dǎo)出。高斯平滑算子導(dǎo)出的偏微分方程的經(jīng)典方程有Perona和Malik[34]提出的各向異性擴(kuò)散模型(也稱PM模型)；從最優(yōu)化問題出發(fā)，即由變分方法導(dǎo)出的偏微分方程的代表方程有Rudin等[7]提出的全變分(TV)正則化模型。當(dāng)前基于偏微分方程的圖像處理模型主要分為兩類：一類是基于流體擴(kuò)散理論的擴(kuò)散方程的方法；另一類是基于變分法優(yōu)化某個(gè)能量泛函的方法。

由高斯平滑算子導(dǎo)出的偏微分方程的過程相對(duì)簡(jiǎn)單，高斯濾波導(dǎo)出熱傳導(dǎo)方程即是偏微分方程。而變分圖像重建方法需要通過引入能量函數(shù)，將圖像重建問題轉(zhuǎn)化成泛函求極值問題，主要步驟有：1)從物理問題上建立泛函及其約束條件；2)通過泛函變分，求得歐拉方程；3)引入時(shí)間變量，利用邊界條件建立解微分方程并求解之。

1.2 圖像去噪

雖然PM模型和TV模型在去噪的同時(shí)能較好地保留圖像的邊緣信息[35]，但是在處理后的圖像中會(huì)產(chǎn)生“階梯效應(yīng)”。正是因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)階微積分在圖像處理時(shí)表現(xiàn)出來的特性：能較好地處理圖像中的高、中和低頻成分，所以許多學(xué)者將分?jǐn)?shù)階引入到了圖像處理的模型中，得到了較好的處理效果。

由于PM模型擴(kuò)散函數(shù)存在病態(tài)性的不足，容易使處理后的圖像產(chǎn)生階梯效應(yīng)，從而造成圖像質(zhì)量下降，因此學(xué)者們對(duì)PM模型進(jìn)行了許多改進(jìn)。文獻(xiàn)[21-22,34-38]從減少重建后圖像中的“階梯效應(yīng)”和保持圖像中的結(jié)構(gòu)信息出發(fā)，利用分?jǐn)?shù)階微積分能較好地處理圖像中非局部信息的特性[29]，提出了不同的分?jǐn)?shù)階偏微分方程的圖像去噪模型。文獻(xiàn)[21]為解決基于傳統(tǒng)整數(shù)階偏微分方程的去噪模型中的“階梯效應(yīng)”、“斑點(diǎn)效應(yīng)”和紋理細(xì)節(jié)丟失等問題，采用分?jǐn)?shù)階微積分和差分曲率的概念來描述圖像的強(qiáng)度變化。圖像的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)信息可以很好地處理圖像中的紋理信息，在消除斑點(diǎn)效應(yīng)和抑制階梯效應(yīng)之間取得了較好的折中[11,17]。再者，為了有效地區(qū)分斜坡和邊緣，文獻(xiàn)[21]沿圖像的梯度方向和垂直于梯度的二階導(dǎo)數(shù)構(gòu)造了差分曲率。該模型有效地消除了斑點(diǎn)效應(yīng)和階梯效應(yīng)，同時(shí)還更好地保留了圖像中的邊緣等紋理信息。

文獻(xiàn)[22]中提出了一種基于分?jǐn)?shù)階各向異性擴(kuò)散自適應(yīng)p-Laplace方程的圖像去噪模型，取得了良好的去噪性能。該方法引入了分?jǐn)?shù)階的擴(kuò)散因子，以實(shí)現(xiàn)由分?jǐn)?shù)階梯度和分?jǐn)?shù)階等照度線的曲率共同自適應(yīng)地控制能量?jī)?yōu)化。通過引入p因子，構(gòu)造分?jǐn)?shù)階能量泛函

經(jīng)變分法變換，利用伴隨算子的概念，可以得到其對(duì)應(yīng)的歐拉方程：

EL(u,p)

這里需要特別強(qiáng)調(diào)的是，在變分法的應(yīng)用上，與整數(shù)階的分部積分不同，在對(duì)于分?jǐn)?shù)階問題經(jīng)變分法變換后，需要利用伴隨算子的概念導(dǎo)出歐拉方程，因而伴隨算子的求解是一個(gè)關(guān)鍵的問題。

以上自適應(yīng)p-Laplace模型之所以能較好地減少階梯效應(yīng)和保持圖像結(jié)構(gòu)，主要具有以下幾點(diǎn)特性[38]：

1)當(dāng)p固定時(shí)，分?jǐn)?shù)階曲率與分?jǐn)?shù)階梯度成正比。①當(dāng)分?jǐn)?shù)階曲率趨于零時(shí)，即等照度線接近直線時(shí)，或分?jǐn)?shù)階梯度趨于無窮大時(shí)，分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散因子p趨近1，這時(shí)僅沿邊緣方向擴(kuò)散，而在梯度方向不擴(kuò)散；②當(dāng)分?jǐn)?shù)階曲率趨近無窮大時(shí)，分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散因子p趨近于2，這時(shí)沿等照度線方向和梯度方向的擴(kuò)散率相同。

2)當(dāng)?shù)日斩染€的分?jǐn)?shù)階曲率相等而分?jǐn)?shù)階梯度不等時(shí)，等照度線的分?jǐn)?shù)階曲率為定值。越靠近圖像邊緣區(qū)域，分?jǐn)?shù)階的梯度也就越大，分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散因子就越??；反過來，越靠近圖像平坦區(qū)域，分?jǐn)?shù)階的梯度也就越大，分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散因子就越小。

3)當(dāng)分?jǐn)?shù)階梯度相等而等照度線的分?jǐn)?shù)階曲率不等時(shí)，分?jǐn)?shù)階梯度為定值。等照度線的分?jǐn)?shù)階曲率越大，分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散因子就越大；反過來，等照度線的分?jǐn)?shù)階曲率越小，分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散因子就越小。

針對(duì)紋理細(xì)節(jié)等問題，由于圖像中的局部結(jié)構(gòu)復(fù)雜多樣，僅僅以圖像的梯度來刻畫或者描述圖像特征，是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。因?yàn)閳D像中的角點(diǎn)、紋理等信息，梯度往往不能有效地刻畫。文獻(xiàn)[39-46]將結(jié)構(gòu)張量(StructureTensor,ST)引入到了圖像處理中，在圖像處理和計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域作出了突出貢獻(xiàn)。具有矩陣形式的結(jié)構(gòu)張量，其特征值表示設(shè)定窗口內(nèi)灰度的變化情況，通過其特征值的某種特定表達(dá)方式，結(jié)構(gòu)張量能區(qū)分圖像中不同的區(qū)域特征，如紋理、邊緣、角點(diǎn)和T型結(jié)構(gòu)等。根據(jù)電報(bào)擴(kuò)散方程與圖像結(jié)構(gòu)密切相關(guān)的特性[47]，文獻(xiàn)[38]將結(jié)構(gòu)張量和分?jǐn)?shù)階微積分結(jié)合起來，并引入到電報(bào)擴(kuò)散方程中，提出了基于一種分?jǐn)?shù)階結(jié)構(gòu)張量的分?jǐn)?shù)階電報(bào)擴(kuò)散方程圖像結(jié)構(gòu)保持的去噪模型?；诜?jǐn)?shù)階結(jié)構(gòu)張量的分?jǐn)?shù)階電報(bào)擴(kuò)散方程圖像去噪模型為：

此處Sρ即為引入的加窗后的分?jǐn)?shù)階結(jié)構(gòu)張量。分?jǐn)?shù)階結(jié)構(gòu)張量Sv有兩個(gè)非負(fù)特征值μ1和μ2,它們對(duì)應(yīng)的相互正交的特征向量命名為ν1和ν2。假設(shè)μ2≥μ1≥0,則Sv的特征向量ν1表明了局部結(jié)構(gòu)的主導(dǎo)方向，ν2則垂直于圖像的邊緣，而特征值表明了對(duì)應(yīng)特征向量所指方向上的灰度對(duì)比度。二維圖像的連貫性度量由(μ1-μ2)2表征，角點(diǎn)度量用μ1(μ2-μ1)/μ2表示，結(jié)構(gòu)張量的跡能表征該點(diǎn)的張量度量γ,且張量度量與分?jǐn)?shù)階梯度度量之間有較強(qiáng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：γ=trace(Sv)=μ1+μ2。圖像的角點(diǎn)一般是連貫性不強(qiáng)的點(diǎn)，即具有大梯度幅值特性或張量度量比較大的點(diǎn)。

1)當(dāng)μ1≈μ2≈0時(shí)，表示此圖像在該點(diǎn)附近沿任意方向的灰度值變化都比較小，也即圖像平坦區(qū)域的特征，其張量度量γ=μ1+μ2和連貫性(μ1-μ2)2都很??；2)當(dāng)μ2?μ1≈0時(shí)，此時(shí)的圖像沿某一方向的變化率遠(yuǎn)大于垂直于此方向上的變化率，表明在此局部的灰度值呈現(xiàn)出較強(qiáng)的方向連貫性，具有較大的張量度量和較大的方向連貫性；3)當(dāng)μ2≈μ1?0時(shí)，表示圖像在兩個(gè)互相垂直的方向上的灰度值變化都比較大，這時(shí)圖像存在拐點(diǎn)或棱角，即張量度量大?？梢娀诜?jǐn)?shù)階結(jié)構(gòu)張量的電報(bào)擴(kuò)散模型能較好地處理圖像的局部結(jié)構(gòu)特征。

目前諸多文獻(xiàn)中提出的模型是處理灰度圖像的，針對(duì)彩色圖像也有研究成果。文獻(xiàn)[48]提出了基于分?jǐn)?shù)階偏微分方程的彩色圖像去噪算法。作者首先采用四元數(shù)矩陣表示彩色圖像，在進(jìn)行圖像處理操作時(shí)將彩色圖像視為一個(gè)統(tǒng)一的整體，以避免RGB三通道分開處理時(shí)產(chǎn)生的失真；然后采用分?jǐn)?shù)階微分算子可以有效地抑制階梯效應(yīng)或孤立點(diǎn)，還可以大幅提升邊緣和紋理細(xì)節(jié)等信息。

1.3 超分辨率重建

圖像超分辨率重建是指利用計(jì)算機(jī)技術(shù)將具有低分辨率(LowResolution,LR)的一幅圖像或者圖像序列進(jìn)行處理，恢復(fù)出高分辨率圖像(HighResolution,HR)的過程。常規(guī)的線性插值放大法通常在放大后的圖像中產(chǎn)生“塊效應(yīng)”或“鋸齒狀效應(yīng)”，影響視覺和圖像識(shí)別。這是因?yàn)閳D像的幾何特性(梯度、曲率、張量等)沒有得到較好的擬合。將偏微分方程引入到圖像超分辨率重建中，是因?yàn)閳D像的幾何特性對(duì)偏微分方程起到了重要的驅(qū)動(dòng)作用。基于偏微分方程的圖像超分辨率重建過程一般分為兩個(gè)步驟： 1)對(duì)低分辨率圖像進(jìn)行線性插值放大操作； 2)利用偏微分方程對(duì)放大后的圖像進(jìn)行校正，從而達(dá)到去除“階梯效應(yīng)”或“塊效應(yīng)”等現(xiàn)象。圖像去噪的許多模型可用于超分辨率重建，但超分辨率重建有其著重考慮的問題。

“塊效應(yīng)”是超分辨率重建中需要解決的主要問題之一。為了減少或者降低放大后圖像中的“塊效應(yīng)”，文獻(xiàn)[29, 49]提出了分?jǐn)?shù)階總變分的圖像超分辨率重建模型。該重建模型包含了三個(gè)部分：整數(shù)階的總變分項(xiàng)、分?jǐn)?shù)階的總變分項(xiàng)和數(shù)據(jù)保真項(xiàng)。整數(shù)階的總變分項(xiàng)具有保持不連續(xù)性和圖像結(jié)構(gòu)，分?jǐn)?shù)階的總變分項(xiàng)可以很好地處理圖像中的紋理等非局部信息。該方法在一定程度上減少了圖像中的“階梯邊緣”和假邊緣現(xiàn)象。能量泛函最終由下面的偏微分方程來求解：

模型右邊依次為分?jǐn)?shù)階的總變分項(xiàng)、整數(shù)階的總變分項(xiàng)和數(shù)據(jù)保真項(xiàng)。

Wang等[33]從研究如何減少重建圖像中的階梯效應(yīng)及偏微分方程的快速收斂出發(fā)，提出了基于同倫正則化的分?jǐn)?shù)階偏微分方程的圖像放大模型對(duì)應(yīng)的偏微分方程：

細(xì)節(jié)信息的保留也是超分辨率重建需要考慮的問題。Chen等[30]為了克服傳統(tǒng)TV模型不能保持細(xì)節(jié)和紋理信息的不足并重建這些細(xì)節(jié)信息，提出了二維壓縮感知稀疏圖像重建模型。該模型引入了分?jǐn)?shù)階TV正則項(xiàng)，此外，為了實(shí)現(xiàn)彈性的稀疏表示，將離散小波變換和曲線波變換正則項(xiàng)相結(jié)合而引入到代價(jià)函數(shù)中，并提出了估計(jì)正則參數(shù)的方法。文獻(xiàn)[31]從如何增強(qiáng)圖像中的隨機(jī)紋理信息出發(fā)，提出了基于分?jǐn)?shù)階布朗運(yùn)動(dòng)的偏微分方程的超分辨率圖像重建模型。這是一個(gè)基于全局的、且不需要使用圖像修補(bǔ)程序的模型。分?jǐn)?shù)階布朗運(yùn)動(dòng)是自相似的隨機(jī)過程，而自相似可以顯著地表征自然紋理信息，所以文獻(xiàn)[31]中提出的模型在放大圖像的同時(shí)可以有效地增強(qiáng)圖像中的紋理信息。

本節(jié)主要討論了基于分?jǐn)?shù)階偏微分方程的圖像去噪與超分辨率重建模型。當(dāng)模型建立之后，就是如何求解偏微分方程。目前分?jǐn)?shù)階偏微分方程的求解方法大概有以下幾種：有限差分法[51-54]、隱式差分法[55]、加權(quán)平均有限差分法[56]、Adomain分解法[57]等。在構(gòu)造差分離散算法時(shí)，需要考慮時(shí)間步長，以確保算法的求解精度與收斂性。此外，基于分?jǐn)?shù)階的偏微分方程的解的存在性和唯一性的證明和討論，不是本文的重點(diǎn)，詳細(xì)討論可參考文獻(xiàn)[22,29,58-61]。

2 仿真實(shí)驗(yàn)

針對(duì)前面介紹的去噪算法和圖像超分辨率重建算法，下面將通過幾組實(shí)驗(yàn)來比較基于分?jǐn)?shù)階的算法和基于整數(shù)階的算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。在仿真去噪算法時(shí)，使用的客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是峰值信噪比(PeakSignal-to-NoiseRatio,PSNR)，值越大，說明效果越好；在仿真圖像超分辨率重建時(shí)，使用的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為結(jié)構(gòu)相似性(StructuralSimilarityIndex,SSIM)，同樣是值越大，圖像的相似度越高，效果越好。

1)使用1.2節(jié)中介紹的分?jǐn)?shù)階p-laplace和分?jǐn)?shù)階張量去噪算法與參考文獻(xiàn)[17,22,31,38,59-61]中的算法進(jìn)行比較。在圖像Barbara、Linfa、Baboon和Elaine四張圖像中分別添加噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為10、20、30的高斯白噪聲進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，計(jì)算去噪后的圖像和原始圖像之間的PSNR值，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表1所示。表1中后三個(gè)算法是基于分?jǐn)?shù)階的去噪算法，可以明顯看到，它們計(jì)算得到的PSNR值比其他基于整數(shù)階的去噪算法計(jì)算得到的PSNR值大，說明基于分?jǐn)?shù)階的去噪算法相比其他幾個(gè)基于整數(shù)階的去噪算法在去噪效能上更具優(yōu)勢(shì)。

表1 各算法在去噪后計(jì)算的PSNR值 dB

2)在圖像超分辨率重建的仿真實(shí)驗(yàn)中，先將圖像縮小為原始圖像大小的1/3，然后采用1.3節(jié)中介紹的基于分?jǐn)?shù)階的圖像超分辨率重建的算法[29,33]與最近鄰插值(NearestNeighborInterpolation,NNI)算法、全變分(TV)算法[66]、分?jǐn)?shù)階的Bidirectional(FractionalBidirectional,FB)算法[49]和基于邊緣先驗(yàn)(EdgePrior,EP)的算法[65]對(duì)縮小后的低分辨率圖像進(jìn)行放大，計(jì)算放大后的圖像與原始圖像之間的SSIM值。分別對(duì)Parrot、Girl、Fingerprint、Tree、Leaves、Elaine、Lena、Peppers這8張圖像放大3倍時(shí)計(jì)算的結(jié)構(gòu)相似性的值，如表2所示。從表2可以看出，在放大相同倍數(shù)時(shí)，文獻(xiàn)[29]和[33]中的基于分?jǐn)?shù)階的圖像超分辨率重建算法比實(shí)驗(yàn)中的其他算法計(jì)算得到的SSIM值要大，也即這兩種算法重建后的圖像與真實(shí)圖像相似度更高。

表2 各算法在放大后計(jì)算的SSIM值

3 存在的問題及發(fā)展方向

3.1 當(dāng)前模型存在的問題與不足

雖然分?jǐn)?shù)階偏微分方程在圖像處理領(lǐng)域取得了初步成果，但相對(duì)來說仍處于初級(jí)階段，存在不少的問題。

1)目前基于分?jǐn)?shù)階的偏微分方程的去噪模型中，大多都是針對(duì)圖像中的高斯白噪聲進(jìn)行研究的，針對(duì)乘性噪聲的研究較少；再者，針對(duì)灰度圖像的算法較多，雖然也有少數(shù)可以處理彩色圖像的模型，但是也是將彩色圖像的各個(gè)通道分開單獨(dú)處理，沒有一個(gè)完善的直接同時(shí)處理三通道的算法。

2)在對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分的數(shù)值實(shí)現(xiàn)上，目前主要是基于模板和傅里葉變換兩種方式?；谀０宓姆绞绞且环N近似計(jì)算，在計(jì)算時(shí)肯定會(huì)有誤差；基于傅里葉變換的方式在計(jì)算時(shí)為了避免出現(xiàn)復(fù)數(shù)成分，會(huì)對(duì)原始圖像進(jìn)行周期延拓，從而增加了計(jì)算量。找到一種在計(jì)算時(shí)既能不會(huì)產(chǎn)生誤差，又不增加計(jì)算量的通用實(shí)現(xiàn)算法是需要更進(jìn)一步研究的內(nèi)容。

3)變分模型中正則化參數(shù)的選擇有些是針對(duì)全局特征的，有些是針對(duì)局部特征的。事實(shí)上這些方案只針對(duì)部分特征自適應(yīng)，并不完美，針對(duì)圖像的不同特征區(qū)域自適應(yīng)選取不同的正則化參數(shù)，這是以后研究的主要內(nèi)容之一。

4)目前基于分?jǐn)?shù)階的偏微分方程大多是基于圖像去噪和超分辨率圖像重建提出的，事實(shí)上很多后期的圖像處理都利用了圖像降噪和放大模型的理論和算法，因此將分?jǐn)?shù)階偏微分方程進(jìn)一步推廣用到圖像分割、圖像融合和圖像修復(fù)等領(lǐng)域，有很好的應(yīng)用前景。

3.2 下一步的研究方向

由于存在如上分析的問題，且分?jǐn)?shù)階偏微分方程與小波理論、黎曼流形等數(shù)學(xué)概念的結(jié)合還存在較大的研究空間，因此需要進(jìn)一步深入研究。

1)新算子的構(gòu)造。目前文獻(xiàn)中提出的模型分別是針對(duì)圖像的不同局部結(jié)構(gòu)特征保持的模型，事實(shí)上，可以引入一種通用的圖像結(jié)構(gòu)描述算子，以更全面完整地刻畫圖像局部特征信息，這種通用的圖像結(jié)構(gòu)描述算子包含多種圖像線索，諸如圖像灰度值，一階、二階以及分?jǐn)?shù)階圖像梯度，分?jǐn)?shù)階結(jié)構(gòu)張量、紋理信息，曲率(包括高斯曲率、平均曲率和差分曲率)等，使用逐像素的協(xié)方差矩陣來描述圖像局部區(qū)域內(nèi)多個(gè)圖像線索的相關(guān)性，形成黎曼流形上的模型框架，具有較大的研究前景。

2)算子融合。小波等多尺度分析、隨機(jī)分析、非局部算子、稀疏表示等在圖像處理的方面都有各自的非凡優(yōu)越性，將它們各自的優(yōu)勢(shì)與分?jǐn)?shù)階偏微分方程理論結(jié)合起來，建立相應(yīng)理論體系，不僅在圖像去噪方面具有廣闊的前景，而且還能開拓出若干新的研究領(lǐng)域，如圖像壓縮、圖像融合、圖像分割等，也是進(jìn)行后續(xù)研究的重點(diǎn)。

3)階數(shù)的選取。對(duì)于一般或特定的圖像，如何選擇階數(shù)才能使模型的整體性能或局部效果達(dá)到最優(yōu)，包括階數(shù)的自適應(yīng)選擇，甚至推廣到復(fù)數(shù)階的情形。這是整數(shù)階不存在的問題，但卻是分?jǐn)?shù)階能靈活應(yīng)用的一個(gè)優(yōu)勢(shì)。

4)模型融合。各種模型均具有一定的優(yōu)勢(shì)，比如對(duì)于圖像超分辨率重建問題，有些模型或算法能夠很好地處理紋理細(xì)節(jié)問題，有些則可以很好地消除階梯效應(yīng)，如何將這些模型進(jìn)行融合，得到整體性能比較良好的新模型，是一個(gè)值得研究的問題，其中包括中立型模型應(yīng)用。

5)模型的近似求解與收斂性。對(duì)于分?jǐn)?shù)階模型，由于分?jǐn)?shù)階沒有統(tǒng)一的定義，但所有定義均為廣義積分的形式，因而求其數(shù)值會(huì)存在量化上的誤差；對(duì)于穩(wěn)定的微分方程，其數(shù)值解的模型不一定穩(wěn)定，如果求解算法不穩(wěn)定或不收斂，則就會(huì)產(chǎn)生諸如算法到底要迭代多少次為最好等問題。因而如何構(gòu)造有效的數(shù)值算法也是值得研究的課題。

6)頻域模型。將分?jǐn)?shù)階微分模型變換到頻域上進(jìn)行處理，這方面的研究還不多見。

4 結(jié)語

分?jǐn)?shù)階偏微分方程在圖像處理領(lǐng)域已經(jīng)取得了初步研究成果，主要集中在研究圖像去噪和圖像超分辨率重建領(lǐng)域。本文介紹了分?jǐn)?shù)階微積分和圖像特征之間的關(guān)系：分?jǐn)?shù)階微積分可以有效地保留甚低頻信號(hào)，中頻信號(hào)有所增強(qiáng)，高頻信號(hào)明顯增強(qiáng)。進(jìn)而分析了分?jǐn)?shù)階偏微分方程在圖像去噪和圖像超分辨率重建中的作用，重點(diǎn)分析了一些模型，并討論了分?jǐn)?shù)階偏微分方程解的存在唯一性、穩(wěn)定性及數(shù)值解問題，最后指出了目前模型存在的優(yōu)缺點(diǎn)，并對(duì)應(yīng)用前景進(jìn)行了討論與分析。

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ThisworkispartiallysupportedbytheMajorProjectofFundamentalScienceandFrontierTechnologyResearchofChongqingCSTC(cstc2015jcyjBX0124).

ZHOU Shangbo, born in 1963, Ph.D., professor.His research interests include video and image processing, artificial neural network, nonlinear dynamics.

WANG Liping, born in 1981, Ph.D.candidate.His research interests include partial differential equation, nonlinear dynamics, pattern recognition, image restoration.

YIN Xuehui, born in 1986, Ph.D., lecturer.His research interests include partial differential equations for image processing, nonlinear dynamics.

Applications of fractional partial differential equations in image processing

ZHOU Shangbo1*, WANG Liping1, YIN Xuehui2

(1.CollegeofComputerScience,ChongqingUniversity,Chongqing400030,China;2.SchoolofSoftwareEngineering,ChongqingUniversityofPostsandTelecommunications,Chongqing400065,China)

It has been widely concerned to apply fractional partial differential equations in image processing, especially in the image denoising and image Super Resolution (SR) reconstruction.The current research results have shown the advantages and effects of fractional order applications.The theory and model of fractional partial differential equations in image denoising and image super-resolution reconstruction were introduced and discussed.The simulation results show that the methods based on fractional partial differential equations has more advantages than the methods based on integer order partial differential equations in terms of denoising and reducing the staircase effect.Finally, the related research problems were pointed out.

fractional partial differential equation; image denoising; super-resolution image reconstruction

2016- 08- 17;

2016- 09- 26。 基金項(xiàng)目:重慶市基礎(chǔ)科學(xué)與前沿技術(shù)研究(重點(diǎn))項(xiàng)目(cstc2015jcyjBX0124)。

周尚波(1963—),男,廣西寧明人,教授,博士生導(dǎo)師,博士,主要研究方向:視頻與圖像處理、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、非線性動(dòng)力學(xué); 王李平(1981—),男,河南新鄉(xiāng)人,博士研究生,主要研究方向:分?jǐn)?shù)階偏微分方程、非線性動(dòng)力學(xué)、模式識(shí)別、圖像重構(gòu); 尹學(xué)輝(1986—),男,四川廣安人,講師,博士,主要研究方向:分?jǐn)?shù)階微積分在圖像中的應(yīng)用、非線性動(dòng)力學(xué)。

1001- 9081(2017)02- 0546- 07

10.11772/j.issn.1001- 9081.2017.02.0546

TP911.73

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