的基礎(chǔ)上，用“對(duì)稱(chēng)點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離”等定量刻畫(huà)的方法來(lái)進(jìn)一步分析圖形的特點(diǎn)。在磨課的過(guò)程中我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生有以下兩處疑難和困惑點(diǎn)。疑難點(diǎn)1：學(xué)生很難判斷平行四邊形是不是軸對(duì)稱(chēng)圖形。（這節(jié)課所討論的平行四邊形指的是一般的平行四邊形，不考慮特殊的平行四邊形）我們對(duì)全校8 個(gè)班級(jí)近400名學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)。從數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)接近的學(xué)生認(rèn)為“平行四邊形是軸對(duì)稱(chēng)圖形”，在和學(xué)生的訪(fǎng)談中發(fā)現(xiàn)學(xué)生是把平分線(xiàn)和對(duì)稱(chēng)軸混淆了，誤認(rèn)為平分線(xiàn)就是對(duì)稱(chēng)軸。疑難點(diǎn)2：學(xué)生很難體驗(yàn)到軸對(duì)稱(chēng)也是

學(xué)生去尋找其他對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是否也具有這樣的特征。同桌之間互相說(shuō)一說(shuō)，得出結(jié)論：對(duì)稱(chēng)點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離相等，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)間的線(xiàn)段與對(duì)稱(chēng)軸互相垂直。圖1二、運(yùn)用特征，找點(diǎn)連線(xiàn)出示圖2，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸，畫(huà)出軸對(duì)稱(chēng)圖形的另一半。學(xué)生動(dòng)手操作，組內(nèi)交流。思考：在畫(huà)的過(guò)程中，你覺(jué)得最重要是找到什么？預(yù)設(shè)學(xué)生發(fā)現(xiàn)最重要的是找到相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。追問(wèn)：你是怎么找到對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的？預(yù)設(shè)學(xué)生發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A 到對(duì)稱(chēng)軸的距離為3 小格（圖3），那么對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A＇應(yīng)該到對(duì)稱(chēng)軸的距離也為3 小格，而且在與對(duì)稱(chēng)軸保持互相垂

涵?！慷?、認(rèn)識(shí)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)及其性質(zhì)1.從不對(duì)稱(chēng)變?yōu)閷?duì)稱(chēng)師：請(qǐng)你判斷一下這棵小樹(shù)是不是軸對(duì)稱(chēng)圖形？（出示圖2）圖2生：我認(rèn)為是軸對(duì)稱(chēng)圖形。生：我認(rèn)為不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，右邊樹(shù)枝感覺(jué)沒(méi)有和左邊在一條線(xiàn)上。生：如果有一把尺子就好了。師：（出示方格紙）現(xiàn)在呢，你有什么想說(shuō)的？生：這個(gè)圖形不是軸對(duì)稱(chēng)圖形。師：你能把它變成軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？生：可以把點(diǎn)拉過(guò)來(lái)一點(diǎn)。師：是這樣嗎？（出示圖3）圖3師：（出示圖4）為什么他想把這個(gè)點(diǎn)拉到這里呢？圖4生：這樣它們對(duì)折以后就能完全重合。師：我

于AB,AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P,Q分別作C關(guān)于CD,CB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M,N，則PQ=MN.證明：PQ,MN均為則△DEF周長(zhǎng)等于PE+EF+QF的最小值，所以PQ=MN.定理3 已知三角形△ABC的三邊上的高分別為AH，BK,CR,則AHsin∠BAC=BKsin∠ABC=CRsin∠ACB.圖5證明：如圖5，由命題1知PQmin=2AHsinθ，同理MNmin=2CRsin∠ACB，由命題2知PQ=MN，∴PQmin=MNmin，∴AHsin∠BAC=CRsin∠A

生從描畫(huà)過(guò)渡到對(duì)稱(chēng)點(diǎn)作圖。一、感知軸對(duì)稱(chēng)圖形點(diǎn)線(xiàn)面聯(lián)系1.給出等腰三角形、長(zhǎng)方形、正方形，辨識(shí)軸對(duì)稱(chēng)圖形。（1）判斷它們是否為軸對(duì)稱(chēng)圖形，指認(rèn)對(duì)稱(chēng)軸。（2）操作驗(yàn)證說(shuō)理，重點(diǎn)反饋正方形多個(gè)方向的對(duì)稱(chēng)軸。2.移一移，認(rèn)識(shí)“對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”。（1）出示小樹(shù)方格圖，判斷是否為軸對(duì)稱(chēng)圖形。圖1（2）學(xué)生上臺(tái)移動(dòng)，把小樹(shù)變成軸對(duì)稱(chēng)圖形。3.聯(lián)一聯(lián)，體會(huì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)系。引導(dǎo)學(xué)生從整個(gè)圖形、線(xiàn)段、點(diǎn)來(lái)觀察，討論：它們之間有什么聯(lián)系？小結(jié)指出：左右兩邊，整個(gè)圖形完全重合

教學(xué)片斷——用對(duì)稱(chēng)點(diǎn)研究軸對(duì)稱(chēng)圖形。1.明確問(wèn)題。（1）任務(wù)驅(qū)動(dòng)：不對(duì)折，你能驗(yàn)證它是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？如何驗(yàn)證？（2）提供兩份學(xué)習(xí)材料。材料一：空白紙上的圖形和三角尺。材料二：方格紙上的圖形。師：想一想，你選擇哪一個(gè)學(xué)習(xí)材料進(jìn)行研究？還有困難的，老師這里還有材料三。材料三：有對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的方格紙上的圖形。（學(xué)生獨(dú)立研究，集體交流）2.獨(dú)立研究。3.集體交流。（1）材料比較。師：你覺(jué)得材料發(fā)生了什么變化？生：我發(fā)現(xiàn)有些是有方格的，有些沒(méi)有。生：我還發(fā)現(xiàn)材料三是有點(diǎn)的

出點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′,將同側(cè)兩點(diǎn)轉(zhuǎn)為異側(cè),利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì),可以得到CB′=CB.這樣,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為: 當(dāng)C在l的什么位置時(shí),AC與CB′的和最小?圖4在連接A,B′兩定點(diǎn)的路徑中,由線(xiàn)段公理可得,線(xiàn)段AB′最短.因此,線(xiàn)段AB′與直線(xiàn)l的交點(diǎn)C的位置即為所求.【思路】①找出定點(diǎn): 點(diǎn)A,點(diǎn)B;動(dòng)點(diǎn): 點(diǎn)C(在直線(xiàn)l上運(yùn)動(dòng),則l為對(duì)稱(chēng)軸).②找出求和中的特殊線(xiàn)段(指由一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)組成的線(xiàn)段):CA,CB.③求和中含有同一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C)的兩條線(xiàn)段CA

當(dāng)中需要構(gòu)造出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，尋找飲馬的最短距離。部分中學(xué)生在求解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)不知如何入手，因此需要教師加以指導(dǎo)，幫助其找到解題思路。1.初中數(shù)學(xué)“將軍飲馬”問(wèn)題學(xué)習(xí)障礙分析初中生要解決“將軍飲馬”這類(lèi)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，需要明確相關(guān)概念，包括動(dòng)點(diǎn)、定點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，其中，動(dòng)點(diǎn)就是“飲馬點(diǎn)”，定點(diǎn)就是題干當(dāng)中給定的固定點(diǎn)，而對(duì)稱(chēng)點(diǎn)就是通過(guò)作圖而得到的點(diǎn)，也就是解題過(guò)程需要連接的點(diǎn)。部分學(xué)生在求解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，可能存在如下困惑：第一，怎么尋找對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，做哪個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)？簡(jiǎn)單而言，就是題

）關(guān)于直線(xiàn)L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'（或B'）連接A'B（或B'A）交L于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求。鞏固練習(xí)1：如圖，在等邊△ABC中，邊BC上的高AD=5，點(diǎn)P是高AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E是邊AB的中點(diǎn)，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，存在PE+PB的最小值，則這個(gè)最小值是（ ?）A：4 ? B：5 ? ? C：6 ? ? D：10解題思路：顯然B、E兩定點(diǎn)在AD的同旁，欲在AD上求符合條件的點(diǎn)P，只需作B點(diǎn)關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，而B(niǎo)、C關(guān)于AD對(duì)稱(chēng)，因此只需連CE交AD于點(diǎn)P，所以CE就是

+ 兩定點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在形上，探求線(xiàn)段和的最小值.【解答要領(lǐng)】 確定對(duì)稱(chēng)點(diǎn)：根據(jù)正方形的對(duì)稱(chēng)性，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)就是對(duì)角線(xiàn)的兩個(gè)頂點(diǎn);確定線(xiàn)段和取最小值時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置：對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和另一定點(diǎn)的連線(xiàn)與動(dòng)點(diǎn)所在直線(xiàn)的交點(diǎn);確定與線(xiàn)段和相等的最短線(xiàn)段：對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另一定點(diǎn)構(gòu)成的線(xiàn)段.例1 如圖1，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線(xiàn)AC上有一點(diǎn)P，使PD + PE的和最小，則這個(gè)最小值為（ ）.A. ?2[3] B. ?2[6] C. ?

一邊為對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在形外，確定最值，用一次函數(shù)求點(diǎn)的坐標(biāo).例1 如圖1，矩形ABOC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（- 4，5），D是OB的中點(diǎn)，E是OC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ADE的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（ ）.A. [0，43] B. [0，53] C. （0，2） D.? [0，103]解析：如圖2，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，連接DF，交y軸于E，此時(shí)△ADE的周長(zhǎng)最小.∵A（- 4，5），D是OB的中點(diǎn)，∴F（4，5），D（ - 2，0），設(shè)直線(xiàn)DF的解析式為y

后重合的點(diǎn)叫做對(duì)稱(chēng)點(diǎn);對(duì)稱(chēng)軸是任何一對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)所連線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，即對(duì)稱(chēng)點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸上的任意一點(diǎn)距離都相等?！边@是解決這類(lèi)最短路徑問(wèn)題的關(guān)鍵。下面分別對(duì)幾種定點(diǎn)與定直線(xiàn)的最短路徑問(wèn)題進(jìn)行舉例說(shuō)明。一、兩定點(diǎn)與一條定直線(xiàn)中的最短路徑例1.如圖1，已知直徑a和直線(xiàn)a外兩A、B，A、B在直線(xiàn)a兩側(cè)，在直線(xiàn)a上求作一點(diǎn)P，使PA +PB最短。分析：兩定點(diǎn)A、B在直線(xiàn)a兩側(cè)，過(guò)兩定點(diǎn)A、B的直線(xiàn)一定與直線(xiàn)a相交，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，知交點(diǎn)到兩定點(diǎn)A、B的距離的和最短

（差）;最值;對(duì)稱(chēng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)，線(xiàn)段和（差）的最值問(wèn)題一般含有一個(gè)或幾個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是經(jīng)典的一類(lèi)題型，也會(huì)進(jìn)一步結(jié)合后續(xù)的幾何、函數(shù)等知識(shí)考查學(xué)生，但學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀不容樂(lè)觀.在幾何問(wèn)題中，線(xiàn)段和（差）一般不是簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系的運(yùn)算，往往需要構(gòu)造圖形“化曲為直”，最后在點(diǎn)共線(xiàn)的特殊情況下求得最值[1]. 文章從最基本的含一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的情形開(kāi)始探究，歸納此類(lèi)問(wèn)題的模型，旨在給出一個(gè)細(xì)致的思考路徑，用這個(gè)導(dǎo)火索點(diǎn)燃學(xué)生的思維. 我們需要明確，以下

詞：圓錐曲線(xiàn);對(duì)稱(chēng)點(diǎn);定值中圖分類(lèi)號(hào)：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ?文章編號(hào)：1008-0333（2020）16-0020-03解析 本題顯然是例題2的結(jié)論的一個(gè)應(yīng)用，雖然沒(méi)有要求學(xué)生記住這些二級(jí)結(jié)論，但同學(xué)們?nèi)粽莆樟松鲜鐾评磉^(guò)程，就可以通過(guò)一般到特殊的解法很自然地得到答案.對(duì)于思維好的學(xué)生也可以通過(guò)特殊值、特殊點(diǎn)代入的方法得到正確答案. 參考文獻(xiàn)：[1]王松岳.對(duì)一道高考模擬題的分析與思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2018（8）：24-26.

M關(guān)于直線(xiàn)m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M＇，連結(jié)M＇N交直線(xiàn)m于點(diǎn)P。點(diǎn)P就是符合條件的點(diǎn)。模型2，已知：如圖3，在直線(xiàn)m同側(cè)有兩點(diǎn)M、N，在m上找一點(diǎn)P，使｜PM－PN｜最小。圖3 圖4 作法：如圖4，連結(jié)MN并延長(zhǎng)交直線(xiàn)m于點(diǎn)P。點(diǎn)P就是符合條件的點(diǎn)。模型3，已知：如圖5，在直線(xiàn)m同側(cè)有兩點(diǎn)M、N和線(xiàn)段a，在直線(xiàn)m上找兩點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)，使PQ=a且MQ+QP+PN最小。圖5 圖6 作法：如圖6，先將點(diǎn)N向左平移至N＇，使N＇N=a，作N＇關(guān)于m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N＂，連結(jié)MN＂交m

的。（1）發(fā)現(xiàn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離相等。生：我看到A點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離為2小格，所以右邊也找一個(gè)到對(duì)稱(chēng)軸距離為2小格的點(diǎn)。師：這樣的兩個(gè)點(diǎn)沿對(duì)稱(chēng)軸對(duì)折會(huì)怎么樣？生：完全重合。（課件演示A點(diǎn)和A'點(diǎn)沿對(duì)稱(chēng)軸對(duì)折后完全重合的樣子）師：像這樣沿對(duì)稱(chēng)軸對(duì)折后能夠完全重合的一組點(diǎn)叫做對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，為了研究方便，我們把這兩個(gè)點(diǎn)分別記作A點(diǎn)和A'點(diǎn)。那同學(xué)們?cè)趫D上還能找到這樣的一組對(duì)稱(chēng)點(diǎn)嗎？預(yù)設(shè)：B點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離為3小格，所以右邊也找一個(gè)到對(duì)稱(chēng)軸距離為3小格的點(diǎn)，記為B'點(diǎn)。

關(guān)于一條直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的話(huà)題是個(gè)很重要的話(huà)題。筆者的數(shù)學(xué)老師在課堂教學(xué)中對(duì)這一問(wèn)題只針對(duì)一般情況下的求法做了詳細(xì)的解答。已知點(diǎn)P(m，n)，它關(guān)于直線(xiàn)l：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P′(x0，y0)。為求P′(x0，y0)，可以通過(guò)直線(xiàn)PP′與直線(xiàn)l垂直、及線(xiàn)段PP′的中點(diǎn)在直線(xiàn)l上這兩個(gè)關(guān)系列出方程組；即當(dāng)A≠0時(shí)，方程組就是且+C=0，解出x0、y0就可以了；當(dāng)A=0時(shí)，直線(xiàn)l是平行于x軸的直線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)比較顯然，是容易求的。不過(guò)，老師又

點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′，然后連接M′N(xiāo)，與AB的交點(diǎn)即為D點(diǎn)，如圖2。例 如圖3，點(diǎn)A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM、ON上各取一點(diǎn)B、C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小?！舅悸方馕觥咳鐖D4，作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1、關(guān)于ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A2，連接A1A2。A1A2與OM的交點(diǎn)即為B點(diǎn)，與ON的交點(diǎn)即為C點(diǎn)，此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)最小?！咀兪接?xùn)練】如圖5，點(diǎn)P、Q是銳角∠MON內(nèi)部任意兩點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM、ON上各取一點(diǎn)B、C，組成四邊形

2關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)再連結(jié)′交直線(xiàn)l于一點(diǎn)P.則點(diǎn)P便是橢圓C與直線(xiàn)l的公共點(diǎn).詳解 將紙張沿直線(xiàn)l折疊，在l的另一側(cè)得F2關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).連結(jié)交直線(xiàn)l于點(diǎn)M，則過(guò)點(diǎn)M且以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓C與直線(xiàn)l中恰有一個(gè)公共點(diǎn)，且M是C與l的唯一公共點(diǎn).圖1依據(jù)上述作圖過(guò)程可知，M是C與l的公共點(diǎn).下面說(shuō)明M是C與l的唯一的共公點(diǎn).假設(shè)它們存在異于M的另一公共點(diǎn)，記為M′，則M′在直線(xiàn)l上.所以，點(diǎn)M′不在橢圓C上，這與點(diǎn)M′是C與l的公共點(diǎn)矛盾.所以，過(guò)點(diǎn)M且

點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′，然后連接M′N(xiāo)，與AB的交點(diǎn)即為D點(diǎn)，如圖2。圖2例 如圖3，點(diǎn)A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM、ON上各取一點(diǎn)B、C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小。圖3 圖4【思路解析】如圖4，作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1、關(guān)于ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A2，連接A1A2。A1A2與OM的交點(diǎn)即為B點(diǎn)，與ON的交點(diǎn)即為C點(diǎn)，此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)最小?！咀兪接?xùn)練】如圖5，點(diǎn)P、Q是銳角∠MON內(nèi)部任意兩點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM、ON上各取一點(diǎn)B、

，但什么時(shí)候作對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，作哪個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，以哪條直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸作對(duì)稱(chēng)，這讓我們的老師和同學(xué)們很困惑.本文針對(duì)幾種問(wèn)題情景談?wù)勛约旱挠^點(diǎn)，與大家共勉．一、緣起問(wèn)題情景1：已知直線(xiàn)l及兩點(diǎn)A，B，在直線(xiàn)l上作一點(diǎn)P，使PA+PB最小．如圖1，點(diǎn)A，B在直線(xiàn)l兩側(cè)，我們?cè)谥本€(xiàn)l上任找一點(diǎn)P，連接PA，PB，這時(shí)，PA+PB可以看成路徑“A到P到B”，這個(gè)路徑穿過(guò)了直線(xiàn)l，我們稱(chēng)這種情形為順向．顯然，要使PA+PB最小，必須使點(diǎn)A，P，B在同一直線(xiàn)上，故連接AB交直線(xiàn)

、三次多項(xiàng)式的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)概述對(duì)于三次多項(xiàng)式ax3+bx2+cx+d(a=0)如果存在某一實(shí)數(shù)x0,對(duì)任意x 都有a(x0-x)3+b(x0-x)2+c(x0-x)+a(x0+x)3+b(x0+x)2+c(x0+x)=2ax30+2bx20+2cx0成立, 就稱(chēng)x0為此三次多項(xiàng)式的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。例如, 三次多項(xiàng)式x3-3x2+2x+1, 實(shí)數(shù)1 滿(mǎn)足(1-x)3-3(1-x)2+2(1-x)+(1+x)3-3(1+x)2+2(1+x) = 2×13+2×(-3)×12

詞] 線(xiàn)段和;對(duì)稱(chēng)點(diǎn);垂線(xiàn)段;轉(zhuǎn)化在學(xué)習(xí)完蘇科版八年級(jí)上冊(cè)第二章軸對(duì)稱(chēng)圖形時(shí)，一天數(shù)學(xué)課代表來(lái)辦公室咨詢(xún)一個(gè)含有三個(gè)動(dòng)點(diǎn)求線(xiàn)段和最小值問(wèn)題. 從學(xué)習(xí)新課到講解習(xí)題課，學(xué)生遇到的多是含一個(gè)動(dòng)點(diǎn)或者兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的線(xiàn)段和最小值問(wèn)題，像這種含三個(gè)動(dòng)點(diǎn)的線(xiàn)段和最小值問(wèn)題，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)難度過(guò)大. 但筆者所帶的這個(gè)班級(jí)學(xué)生基礎(chǔ)較好，能力較強(qiáng)，有好幾個(gè)對(duì)數(shù)學(xué)十分感興趣的學(xué)生建議將此題拿到班級(jí)講解. 恰逢筆者所在學(xué)校的教研組正實(shí)施初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”教學(xué)的校本化研究，需要筆者

間的對(duì)稱(chēng)，抓住對(duì)稱(chēng)點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系，可將幾何對(duì)稱(chēng)（圖形語(yǔ)言）轉(zhuǎn)化為代數(shù)坐標(biāo)（相關(guān)點(diǎn)）及方程（符號(hào)語(yǔ)言）.考慮到同學(xué)們剛接觸解析幾何，我們借助例題的形式來(lái)對(duì)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)單歸類(lèi)，期待能給同學(xué)們一些啟示.一、點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題主要有點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)和點(diǎn)關(guān)于線(xiàn)對(duì)稱(chēng)兩類(lèi).二、直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題有直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)和直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)兩類(lèi).分析 （1）直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，顯然這兩直線(xiàn)是平行關(guān)系且已知點(diǎn)到兩直線(xiàn)的距離相等，這樣，利用待定系數(shù)法即可輕松求解;（2）直線(xiàn)關(guān)

稱(chēng)圖形有無(wú)數(shù)對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。2.會(huì)在方格紙上補(bǔ)全一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，掌握畫(huà)圖的方法和步驟。3.讓學(xué)生在探究的過(guò)程中，發(fā)展空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。教學(xué)重、難點(diǎn)：探索軸對(duì)稱(chēng)圖形有關(guān)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的特征，能在方格紙上畫(huà)出軸對(duì)稱(chēng)圖形的另一半。教具準(zhǔn)備：多媒體課件、松樹(shù)圖案的放大圖、磁扣。學(xué)具準(zhǔn)備：學(xué)習(xí)單。教學(xué)流程：一、課前談話(huà)師：同學(xué)們，今天這堂課是老師盼望很久的一堂課，但是老師有點(diǎn)擔(dān)心，你們猜猜我會(huì)擔(dān)心什么呢？生：擔(dān)心我們回答不對(duì)問(wèn)題。生：擔(dān)心自己講不好課。師：同學(xué)們講

m（m≠0）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo).證明如圖所示，直線(xiàn)y=x+m（m≠0），方程變形為y-m=x，令y=-y′，x=x′，則將坐標(biāo)原點(diǎn)移到O′（0，m），直線(xiàn)y=x+m在新坐標(biāo)系中的方程為y′=x′，則點(diǎn)M（a，b）在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為M′（a，b-m），那么點(diǎn)M′（a，b-m）關(guān)于直線(xiàn)y′=x′對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（b-m，a），則點(diǎn)N在原坐標(biāo)系下的坐標(biāo)N（b-m，a+m），即點(diǎn)M（a，b）關(guān)于直線(xiàn)y=x+m（m≠0）對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（b-m，a+m）.同樣，可

到A關(guān)于街道的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)后，利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，連接BA1交街道于P，此時(shí)AP+BP最短.同樣的方法找B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也是一樣的.這種方法我們可以歸納為：對(duì)稱(chēng)性法.在我們學(xué)習(xí)的過(guò)程中，這樣的問(wèn)題通常有以下的六種變式拓展：一、直接求這個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的最小值.例1、如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上的一個(gè)定點(diǎn)，且BE=10，EC=14，點(diǎn)P是BD上的一動(dòng)點(diǎn)，則求：PE+PC的最小值.解：C關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好是點(diǎn)A，連接AE交BD于P，連接PC，此時(shí)PE+

詞】數(shù)學(xué)思維 對(duì)稱(chēng)點(diǎn) 軸對(duì)稱(chēng)圖形【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A【文章編號(hào)】0450-9889（2018）03A-0086-02《軸對(duì)稱(chēng)》是人教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱(chēng)圖形及其對(duì)稱(chēng)軸，掌握軸對(duì)稱(chēng)圖形的特征和性質(zhì)，通過(guò)觀察分析、想象、操作發(fā)現(xiàn)等數(shù)學(xué)活動(dòng)，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)在方格紙上補(bǔ)全軸對(duì)稱(chēng)圖形的另一半，進(jìn)而體驗(yàn)對(duì)稱(chēng)美。一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入，激發(fā)興趣1.大家還記得什么樣的圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？找出下列圖形中的軸對(duì)稱(chēng)圖形并在括號(hào)里打√，選

坐標(biāo)軸、原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，當(dāng)我們把對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心進(jìn)行適當(dāng)平移后，這些對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)又會(huì)有什么樣的變化呢？下面，讓我們共同來(lái)研究.請(qǐng)同學(xué)們思考這樣一道題目：1.在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-4，5），B（-5，2），C（-1，3）.（1）△A0B0C0與△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).在圖1中畫(huà)出△A0B0C0，并寫(xiě)出△A0B0C0三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）觀察圖中對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，寫(xiě)出直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)

）關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′（或B′），連接A′B（或AB′）交直線(xiàn)l于點(diǎn)P，連接AP，其最短路線(xiàn)為A-P-B.第二，模型應(yīng)用.1.軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)解決四邊形中的最短路線(xiàn)問(wèn)題變式1：如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，BE=2，AE=3BE.P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE的最小值是多少？分析：利用點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D進(jìn)行求解.解：如圖2，連接DE交AC于點(diǎn)P，此時(shí)PB+PE的值最小.由軸對(duì)稱(chēng)得PB+PE=DE.在Rt△DAE中，AE=2，BE=6，AD=

人間的一系列“對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”：其一是父親“沖我揮手”與“樹(shù)冠巨大的濃蔭”的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；其二是父親“漁夫帽、禮帽、太陽(yáng)帽”與“不同盈缺的月亮”對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；其三是父親“帶著帽子”與“走進(jìn)了帽子”對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；其四是父親“醒目的銀發(fā)在空中”與“新生的父親”對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。很顯然，一首懷念詩(shī)，有一個(gè)個(gè)“對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”，我們就能把詩(shī)歌的雛形、情緒的擴(kuò)張、感情的境像、節(jié)奏的鏗鏹，以及于我們心靈所激發(fā)的影響等等，都聚集在這個(gè)“點(diǎn)”上。這時(shí)，我們把《父親的帽子》的內(nèi)容或意旨，把不同的幻象、各種的情緒、智識(shí)

個(gè)坐標(biāo)。二、求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)例2 在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)P（—2，l，4）。（l）求點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)。（2）求點(diǎn)P關(guān)于xOy平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)。（3）求點(diǎn)P 關(guān)于點(diǎn)M（2，—l，—4）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以過(guò)該點(diǎn)向?qū)ΨQ(chēng)平面或?qū)ΨQ(chēng)軸作垂線(xiàn)并延長(zhǎng)使得垂足為所作線(xiàn)段的中點(diǎn)，再根據(jù)有關(guān)性質(zhì)即可寫(xiě)出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)。解：（l）由于點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，它在x軸的分量不變，在y軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)，所以點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Pl（

點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B（—a，2a—6）在l2上，代入l2的方程得—a—3（2a—6）+l0=0，解得a=4，即得點(diǎn)A（4，0）在直線(xiàn)l上。所以由兩點(diǎn)式可得直線(xiàn)l的方程為x+4y—4=0。評(píng)注：若點(diǎn) M（xl，yl）與N（x，y）關(guān)于點(diǎn)P（a，b）對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)P是線(xiàn)段MN 的中點(diǎn)。二、點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題例 2 已知直線(xiàn)l：2x—3y+l=0，點(diǎn)A（—l，—2），求點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)。解：設(shè)A′（x，y）。由已知條件可得方程組：評(píng)注：若兩點(diǎn) P

關(guān)于某定直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)問(wèn)題，比較常規(guī)的解法是利用該直線(xiàn)就是這兩點(diǎn)所連線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，借助“互相垂直關(guān)系”與“距離相等關(guān)系”列方程組解題，而“距離相等關(guān)系”又可轉(zhuǎn)化成“中點(diǎn)在直線(xiàn)上”的問(wèn)題。在求“點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)”的問(wèn)題上，還有其他更加簡(jiǎn)便的方法嗎？我們不妨從一個(gè)簡(jiǎn)單的例題出發(fā)去剝開(kāi)“點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”的內(nèi)在本質(zhì)。例如：求點(diǎn)M（2，1）關(guān)于直線(xiàn)l：x-y+1=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N。方法1：（常規(guī)法）不妨設(shè)N（x1，y1），則M、N中點(diǎn)P（■，■），故■-■+1=0■

芬三次多項(xiàng)式的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)及其應(yīng)用 ——從廣州一模的一道選擇題談起華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 尹淑芬處理這道題的關(guān)鍵一步是要找到這個(gè)三次函數(shù)所對(duì)應(yīng)的三次多項(xiàng)式的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),接著利用三次多項(xiàng)式對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的定義與性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.其實(shí)三次多項(xiàng)式的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在高中解題中有比較大的應(yīng)用.因此筆者就寫(xiě)下本文了.筆者將在本文先證明三次多項(xiàng)式ax3+bx2+cx+d(a≠0)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的存在性,接著給出三次多項(xiàng)式關(guān)于對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的性質(zhì),最后舉例說(shuō)明這些性質(zhì)在解題中的應(yīng)用.三次多項(xiàng)式的對(duì)

特點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)圖形關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的關(guān)系，本文又提供軸對(duì)稱(chēng)必要掌握的基本技能，本文第三部分舉實(shí)例說(shuō)明對(duì)稱(chēng)思想在解題中的應(yīng)用.對(duì)稱(chēng)軸；對(duì)稱(chēng)圖形；對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；最值問(wèn)題一、基礎(chǔ)知識(shí)要點(diǎn)軸對(duì)稱(chēng)圖形:將一個(gè)圖形沿著某一條直線(xiàn)翻折，如果直線(xiàn)兩旁的部分能夠重合，那么這樣的圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形.兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng):平面上的兩個(gè)圖形，將其中一個(gè)圖形沿著某一條直線(xiàn)翻折過(guò)去，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).這條直線(xiàn)就是對(duì)稱(chēng)軸.對(duì)稱(chēng)點(diǎn):兩個(gè)關(guān)

的點(diǎn)在以點(diǎn)A為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)下所圍成的圖形.解如果按照一般的思路，應(yīng)進(jìn)行設(shè)點(diǎn)然后建立方程并求解，根據(jù)解來(lái)分析點(diǎn)滿(mǎn)足的曲線(xiàn).但是，通過(guò)觀察我們發(fā)現(xiàn)與點(diǎn)A的距離等于2的右上方的點(diǎn)是一個(gè)扇形，所以該圖形實(shí)際是四分之一的扇形關(guān)于圓心（5，8）的對(duì)稱(chēng)圖形.例2已知長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），一質(zhì)點(diǎn)從與AB夾角為θ的方向射到BC的中點(diǎn)P1后，依次反射到CD，DA和AB上的點(diǎn)P2，P3和P4（入射角等于反射角）.若P4的坐標(biāo)為（x4，

點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N.若直線(xiàn)MP、NP分別交x軸于點(diǎn)(m,0)和(n,0),問(wèn)mn是否為定值?若是,請(qǐng)求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.故圓O的方程為x2+y2=2.(2)設(shè)直線(xiàn)l的方程為即 bx+ay-ab=0.由直線(xiàn)l與圓O相切,得當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)直線(xiàn)l的方程為x+y-2=0.(3)設(shè)M(x1,y1),P(x2,y2),則N(x1,-y1),x21+y21=2,x22+y22=2.故mn=2為定值.推廣1能否推廣到一般的圓呢?推廣到

行變換，點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E必落在B C上，連接A E，則△A B E為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)使問(wèn)題迎刃而解.解：因?yàn)锳 D⊥B C，以A D為對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行變換，點(diǎn)E為點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).連接A E，則△A B E為等腰三角形，所以∠A E B＝∠B＝2∠C，且D B＝D E.因?yàn)椤螦 E B＝∠C＋∠C A E，而∠A E B＝2∠C，所以∠C＝∠C A E，從而A E＝C E.因此A B＝A E＝E C所以A B+B D=E C+D E=D C.二、圖形含

點(diǎn)A作關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B，與l相交于C，則C點(diǎn)就是飲馬的地方，經(jīng)過(guò)C點(diǎn)走，行走路程最短，為AC+CB=A′C+CB= A′B的長(zhǎng)度.如果將軍在點(diǎn)C外任一點(diǎn)C′處飲馬，所走的路程就是AC′+C′B，連接A′C′，由于AC′+ C′B=A′C′+C′B＞A′B.可見(jiàn)，在C點(diǎn)外任何一點(diǎn)C′處飲馬，所走的路程都要遠(yuǎn)一些.這里有兩點(diǎn)需要說(shuō)明：（1）由作法可知，河流l相當(dāng)于線(xiàn)段AA′的中垂線(xiàn)，所以AC=A′C，AC′=A′C′，理論依據(jù)為“線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上

）關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′（或B′），連接A′ B（或B′ A）與直線(xiàn)l的交點(diǎn)即為所求。圖1　例1 （2）如圖2，在等邊?ABC中，D為BC 中點(diǎn)，P為AC上任意一點(diǎn)，求PB+PD最小值。注：例1屬“兩個(gè)定點(diǎn)+一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”類(lèi)問(wèn)題，且兩個(gè)定點(diǎn)都在動(dòng)點(diǎn)所在直線(xiàn)的同側(cè)，解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，常需利用圖形的軸對(duì)稱(chēng)性，將其中一個(gè)定點(diǎn)進(jìn)行軸對(duì)稱(chēng)變換（對(duì)稱(chēng)軸即為動(dòng)點(diǎn)所在直線(xiàn)）到直線(xiàn)另一側(cè)，由“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”，連接對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另一點(diǎn)形成線(xiàn)段即為線(xiàn)段和的最小值。二、兩動(dòng)一定解析：可先

位置關(guān)系算法、對(duì)稱(chēng)點(diǎn)算法、凸包算法等。同對(duì)上述計(jì)算方法進(jìn)行研究和推導(dǎo)，最終得出結(jié)論。關(guān)鍵詞：對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；相交直線(xiàn)；科學(xué)算法自20世紀(jì)70年代，由于空間區(qū)域研究的需要，幾何學(xué)誕生。幾何學(xué)最早是由歐洲數(shù)學(xué)家歐幾里得創(chuàng)造的，幾何最早是用來(lái)丈量土地。在現(xiàn)代，幾何學(xué)普遍應(yīng)用于交通路線(xiàn)圖的規(guī)劃、網(wǎng)絡(luò)大數(shù)據(jù)分析、旅行路線(xiàn)安排、GPS導(dǎo)航等領(lǐng)域。通過(guò)對(duì)大數(shù)據(jù)信息的分析，算出路程的最短距離，其核心是解ESP問(wèn)題。在現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中最短路程問(wèn)題隨處可見(jiàn)，例如，一個(gè)學(xué)生上課、吃飯?jiān)俚綄?/div>

無(wú)線(xiàn)互聯(lián)科技 2016年9期2016-06-21

點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，即可根據(jù)點(diǎn)B是A、C兩點(diǎn)的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出。例1求出點(diǎn)A（1，3）關(guān)于點(diǎn)B（-3，2）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C解設(shè)點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C（x0，y0），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得故對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-7，1）二、點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)求點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，用垂直、平分兩條件列方程組求解較簡(jiǎn)單。設(shè)點(diǎn)P1（x1，y1）關(guān)于直線(xiàn)l：Ax+By+C=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P2（x2，y2），P1P2的中點(diǎn)P0（x0，y0），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可用x，y表示x0

y）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是（x，-y）。2.點(diǎn)（x，y）關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是（一x，y）。3.點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線(xiàn)x=a的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是（2a-x，y）。4.點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線(xiàn)y=a的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是（x，2a-y）。5.點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線(xiàn)y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是（y，x）。6.點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線(xiàn)y=x+b的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是（y-b，x+b）。例1 設(shè)函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=l對(duì)稱(chēng)，若當(dāng)x≤1時(shí)，，則當(dāng)x>1時(shí)，f（x）=____。解析：設(shè)（x，y）（x>l）是x>1時(shí)f（x）的

定點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另一個(gè)定點(diǎn)，與這條直線(xiàn)的交點(diǎn)即為所求作的動(dòng)點(diǎn)，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)把兩條線(xiàn)段之和轉(zhuǎn)化為一條線(xiàn)段.后來(lái)將其細(xì)化為“三環(huán)節(jié)”進(jìn)行，學(xué)生掌握得可以，也收到了不錯(cuò)的教學(xué)效果.這三個(gè)“環(huán)節(jié)”是：①“作”.即作出其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；②“找”.即把這個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和另一個(gè)已知定點(diǎn)連接起來(lái)，與直線(xiàn)相交于一點(diǎn)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)到與這個(gè)交點(diǎn)重合時(shí)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短.”可知此時(shí)的兩線(xiàn)段和最小，即利用轉(zhuǎn)化思想，把兩條線(xiàn)段和的最小值轉(zhuǎn)化為一條線(xiàn)段

3y-6=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)。解:設(shè)A(1，3)關(guān)于L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A'(x0，y0)，則AA'的中點(diǎn)為M，又因M在直線(xiàn)L上，所以點(diǎn)A(1，3)關(guān)于直線(xiàn)L:2x-3y-6=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(5，-3)。另解:設(shè)A(1，3)關(guān)于L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A'(x0，y0)，因?yàn)锳A'⊥L，所以直線(xiàn)AA'的斜率所以點(diǎn)A(1，3)關(guān)于直線(xiàn)L:2x-3y -6=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(5，-3)。這兩種解題方法，雖然過(guò)程方法有所不同，但實(shí)質(zhì)都基于軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的一個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，即:點(diǎn)A′是

點(diǎn)M關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為鏡像對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，如M(x0,y0,z0)關(guān)于平面z=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M(x0,y0,-z0).設(shè)點(diǎn)P關(guān)于平面Ax+By+Cz=-D的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M1(x1,y1,z1)，則有[5]x1=-2A(Ax0+By0+Cz0+D)+x0,y1=-2B(Ax0+By0+Cz0+D)+y0,z1=-2C(Ax0+By0+Cz0+D)+z0.2.2 球對(duì)稱(chēng)點(diǎn)球對(duì)稱(chēng)點(diǎn)指以一個(gè)特定的球面為基礎(chǔ)，球心O為中心, 球半徑為常數(shù)k，點(diǎn)P和對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′滿(mǎn)足OP·OP′=k2

657000)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)偶的基圓方程及其性質(zhì)*1張建元，張毅敏，胡曉飛，韓 艷(昭通學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 昭通 657000)給出了以2定點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)偶的基圓方程(即表達(dá)式),利用它研究了基圓的一些性質(zhì),得到對(duì)稱(chēng)點(diǎn)偶的基圓唯一存在的條件.在幾何變換方面解決了關(guān)于圓周的反演變換的一個(gè)逆問(wèn)題，即給定對(duì)稱(chēng)點(diǎn)偶及半徑等條件求基圓.對(duì)稱(chēng)點(diǎn);基圓;反演變換;比值;方程;分布;性質(zhì);唯一性在文獻(xiàn)[1-7]中,給出了“2定點(diǎn)關(guān)于圓周對(duì)稱(chēng)”的概念以及“到2定點(diǎn)的距離之比等于常

.一、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是大家比較常見(jiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，也是最簡(jiǎn)單的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)可以通過(guò)坐標(biāo)系得出，關(guān)于一般點(diǎn)對(duì)稱(chēng)我們可采用中點(diǎn)公式求出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo).例1設(shè)點(diǎn)M(2,4)，求點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)P(-1,2)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)N的坐標(biāo).分析P點(diǎn)不是坐標(biāo)原點(diǎn)，要求出N點(diǎn)坐標(biāo)必須利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式.解設(shè)點(diǎn)N(x,y)，點(diǎn)M(2,4)，點(diǎn)P(-1,2)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得N(-4,0).二、直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)通常轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).在直線(xiàn)上取出兩個(gè)特殊點(diǎn)，然后求出兩

4）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）A.（3， 4） B.（-3，-4） C.（-3， 4） D.（-4，3）3.下列命題中，正確的是（ ）A.三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等B.周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形全等C.三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等D.面積相等的兩個(gè)三角形全等4.如圖1，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，從點(diǎn)D向AB、AC兩邊作垂線(xiàn)段，垂足分別為E、F，那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）A.DE=DF B.AE=AFC.BD=CD D.∠ADE=∠ADF5.下列各式從

直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).如果兩個(gè)點(diǎn)是以某一條直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，那么這條直線(xiàn)就是連接這兩點(diǎn)的線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn).反過(guò)來(lái)，如果直線(xiàn)MN是線(xiàn)段AA'的垂直平分線(xiàn)，則OA=OA'，∠AOM=∠A'OM=90°，沿著直線(xiàn)MN對(duì)折，∠AOM和∠A' OM重合，線(xiàn)段OA和OA'重合，從而點(diǎn)A和A'重合，則點(diǎn)A和A'是以直線(xiàn)MN為對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，于是得到：一條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)是以這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).由此可以得出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的作法，要作出點(diǎn) A以直線(xiàn)MN為對(duì)稱(chēng)軸的

.一、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是大家比較常見(jiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，也是最簡(jiǎn)單的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)可以通過(guò)坐標(biāo)系得出，關(guān)于一般點(diǎn)對(duì)稱(chēng)我們可采用中點(diǎn)公式求出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo).例1 設(shè)點(diǎn)M（2，4），求點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)P（-1，2）對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)N的坐標(biāo).分析：P點(diǎn)不是坐標(biāo)原點(diǎn)，要求出N點(diǎn)坐標(biāo)必須利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式.若M（x1，x2），P（x0，y0），則N（2x0-x1，2y0-y1）.解：點(diǎn)M（2，4），點(diǎn)P（-1，2），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得N（-4，0）.二、直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)

A點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。解:設(shè)A點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x、y)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得:5=1+x2-3=2+y2∴x=9y=-8∴所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(9、-8)2 點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于線(xiàn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題例:已知點(diǎn)P(1、-2),直線(xiàn)L:3x-2y+1=0。求點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。分析:事實(shí)上直線(xiàn)L是點(diǎn)P與對(duì)點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的中垂線(xiàn),解題時(shí)抓住中點(diǎn)在直線(xiàn)上,和直線(xiàn)L和線(xiàn)段垂直即可解答。解:設(shè)點(diǎn)P關(guān)于L對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P1(x、y)根據(jù)題意得:y+2x-1=-233xy+12-2×-2+y2+

B關(guān)于上邊庫(kù)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B1，只要對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)球B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B1，也就是對(duì)準(zhǔn)AB1與上邊庫(kù)的交點(diǎn)C擊打主球A，就能實(shí)現(xiàn)一庫(kù)解球了．2. 二庫(kù)解球在臺(tái)球運(yùn)動(dòng)中，當(dāng)障礙球較多時(shí)，經(jīng)常遇到一庫(kù)不能解球的局面，這時(shí)就要用二庫(kù)進(jìn)行解球．由于臺(tái)球桌上各種形勢(shì)都會(huì)出現(xiàn)，所以視情況的不同會(huì)采用以下兩種二庫(kù)解球方法.（1）相鄰二庫(kù)解球.如圖2，主球A要通過(guò)上邊庫(kù)和右邊庫(kù)擊中目標(biāo)球B，可對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)球B的二次對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B2，擊打主球A，就能實(shí)現(xiàn)二庫(kù)解球.其中B和B1關(guān)于右邊庫(kù)對(duì)稱(chēng)，B1和B2關(guān)

三、求已知點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)例3如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A（－ 1，5），B（－ 3，0），C（－ 4，3）.（1）在圖中作出△ABC關(guān)于y軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形△A′B′C′.（2）寫(xiě)出點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′的坐標(biāo).解析：（1）如圖2，先作出點(diǎn)A、B、C關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′、B′、C′，然后連接A′B′、B′C′、C′A′，△A′B′C′即為所求作的三角形.（2）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同，所以點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（4，3）. 四、根據(jù)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)