朱呈祥，沈景鳳

(上海理工大學 機械工程學院，上海200093)

基于Matlab和Adams的超速機柔性軸系仿真

朱呈祥，沈景鳳

(上海理工大學 機械工程學院，上海200093)

在通用型機械強度超速試驗機的柔性系統(tǒng)中，柔性軸在高轉速下會出現(xiàn)變形過大的問題，影響試驗結果的準確性。結合以往設計經(jīng)驗，在理論研究的基礎上，利用有限元法和拉格朗日方程建立柔性軸系運動方程，運用Matlab求解出相應的質量矩陣、剛度矩陣，得出了柔性軸系在瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)情況下的運行情況。并利用Adams進行柔體動力學分析，得出在瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)情況下柔性軸系的運行情況與理論計算結果進行對比，其結果基本一致，驗證了理論計算和系統(tǒng)柔性仿真的正確性。

柔性軸系;newmark-β;Adams;柔性仿真

超速試驗機是一種用來檢測材料性能及機械結構設計是否合理的機器[1]，超速試驗機中的柔性軸系起到通過旋轉方式傳遞能量的作用，在實際試驗過程中，當柔性軸振動過大時，極端情況下會出現(xiàn)斷裂的情況，對人員安全和試驗結果的準確性造成影響[2]。本文在綜合考慮超速機柔性軸、彈性支撐的情況下，利用有限元與多體動力學知識建立起系統(tǒng)的動力學模型和動力學方程，并且利用Matlab進行數(shù)值求解，利用Adams建立整個系統(tǒng)的柔性體模型并對模型進行仿真，對結果曲線進行對比和分析，驗證了推導出的動力學方程。

1 柔性轉子系統(tǒng)模型

1.1 模型建立

關于轉子系統(tǒng)的研究是在Jeffcott模型的基礎上進行，主要研究思路包括考慮軸的質量、慣性和扭轉剛度，另外一些研究則集中在轉子的支撐上，在以上研究的基礎上綜合考慮柔性軸的扭轉、彎曲和彈性支撐的情況下，研究柔性軸系的動力學響應[3]。

1.2 理論基礎

1.2.1 柔性體的拉格朗日方程

質量矩陣組裝形式如下

(1)

(2)

(3)

分別求出各段軸單元的剛度矩陣，然后利用Matlab進行組裝，得到轉軸的總剛度矩陣。總剛度矩陣也是一個17階對稱矩陣，對應的廣義坐標

qf=[q3,q2,q1,qc,qb,qa,q6,q5,q4,qf,qe,qd,q9,q8,q7,qi,qh,qg]

因為轉軸的質量矩陣是一個時不變矩陣，即不隨運動的發(fā)生而發(fā)生變化，因此轉軸的質量矩陣對時間的導數(shù)為0[6]

(4)

系統(tǒng)的廣義坐標可以表示為

qf=[θ,φ,q3,q2,q1,qc,qb,qa,q6,q5,q4,qf,qe,qd,q9,q8,q7,qi,qh,qg]

綜合考慮轉子和柔性軸的運動方程，利用拉格朗日方程可以得到柔性轉子系統(tǒng)的動力學控制方程[7]

Mq″+Kq=QF+QV

(5)

(6)

式中，M為整體質量矩陣；K為柔性軸的整體剛度矩陣；M′是質量矩陣對時間的求導；QF為外力矩陣。M是由視為剛體的轉子質量矩陣(17×17)與柔性軸的質量矩陣 (17×17)組集而來。在建模過程中，將轉子劃分到柔性軸的第二個節(jié)點上，因此這里把轉子的質量矩陣疊加到柔性軸的第二個節(jié)點上，由此可以得到整個系統(tǒng)總的質量矩陣。

在得到柔性軸系統(tǒng)的總質量矩陣后，代入拉格朗日方程，可得與速度二次項有關的廣義力的表達式

(7)

1.2.2 紐馬克法

紐馬克法是目前解決二階微分方程常用的一種數(shù)值方法，是一種無條件穩(wěn)定的數(shù)值積分方法[8],可以當成是線性積分格式的推廣，所用格式為

(8)

(9)

(10)

(11)

Mq″+Cq′+Kq=Qt

(12)

將式(10)和式(11)帶入式(12)得

(13)

(14)

(15)

由上式可以解出qt+Δt，在代入式中可求得t+Δt時刻的速度和加速度。

Newmark-β法的計算步驟：

計算有效剛度

K◇=K+a0M+a1M′

(16)

在每一時間步長上，重復進行步驟(4)～步驟(6)；

(4)計算t+Δt時刻的有效載荷

(17)

(5)計算t+Δt時刻的位移

(18)

(6)根據(jù)差分格式，計算t+Δt時刻的速度和加速度

(19)

(20)

2 用Matlab求解系統(tǒng)的響應

2.1 瞬態(tài)響應

本課題實際模型參數(shù)如下：換向器質量2 kg；轉軸長度300 mm；轉軸直徑15 mm；轉軸密度ρ=7.8×103kg/m3；剪切模量G=80 Gpa；偏心距e=3×10-5m；驅動轉矩τ=1N·m；初始狀態(tài)的廣義坐標(0 0 0 0 0 0 0 0 0.15 0 0 0 0 0.3 0 0)T；兩端的阻尼器支撐剛度K=1×107N/M；兩端阻尼器的等效阻尼C=1 150 N·s/m。

圖1 節(jié)點1分別在Y軸和X軸方向的響應曲線

由編程求解出的瞬態(tài)響應的圖像可知，在仿真的前30 s內，曲線運行整體比較平穩(wěn)。在30～40 s區(qū)間內，曲線出現(xiàn)抖動，尤其是在38 s附近區(qū)域，曲線的振幅達到峰值，推測此時的振幅有可能是轉軸在達到系統(tǒng)一階臨界轉速后的共振，這需要在后面的仿真計算中進行驗證。隨著轉速繼續(xù)提高，在油膜阻尼器和轉子自定心的共同作用下，轉子的振幅也慢慢降低[12]，與預期相符合。

2.2 穩(wěn)態(tài)響應

換向器質量2 kg；轉軸長度300 mm；轉軸直徑15 mm；轉軸密度ρ=7.8×103kg/m3；剪切模量G=80 Gpa；偏心距e=3×10-5m；驅動轉矩τ=1 N·m；初始狀態(tài)的廣義坐標(0 0 0 0 0 0 0 0 0.15 0 0 0 0 0.3 0 0)T；兩端的阻尼器支撐剛度K=1×107N/M；兩端阻尼器的等效阻尼C=1 150 N·s/m；轉軸旋轉速度45 000 r/min。

圖2 節(jié)點2在Y軸和X軸方向的響應曲線

圖3 節(jié)點3在Y軸和X軸方向的響應曲線

根據(jù)模態(tài)分析選定穩(wěn)態(tài)響應轉速為45 000 r/min 。在這個轉速下，程序的求解時間定為1 s，步長為1.0e-6。計算得到的圖像如圖1～圖3所示，不同點的位移響應均不相同，但是都有相似之處。實驗開始時，各點的響應曲線都發(fā)生震蕩。但當?shù)嬎愠掷m(xù)進行時，各點的振幅減小，逐漸趨于穩(wěn)定。原因是油膜阻尼器的阻尼力有一定的遲滯性，當阻尼力開始減震時，系統(tǒng)振幅逐漸降低，系統(tǒng)的曲線與預期相符合。

3 ADAMS柔性分析及模態(tài)響應

3.1 模態(tài)響應

實際結構相對簡單，直接用Solidworks進行模態(tài)分析，分析的步驟如下：(1)給試件附加材料;(2)添加約束;(3)添加外部載荷。系統(tǒng)的前三階模態(tài)列表如表1所示。

表1 頻率轉速表

相應轉速計算公式為

(21)

其中，D為直徑；v為速度。得出n=45 000 r/min在這個速度區(qū)間需要通過一階臨界狀態(tài)。因此為了試驗能夠順利進行，需要超速機以較大的加速度通過一階臨界狀態(tài)。

試驗步驟[13]：(1)先將轉速勻速加載至約12 500 r/min；(2)以較大的加速度通過一階臨界狀態(tài)；(3)平穩(wěn)加載到45 000 r/min，穩(wěn)定3 min。

模態(tài)分析完成后，在Adams中進行動力學仿真。試驗軸長度300 mm，臥式布置，軸半徑為15 mm。在Adams中因為理論的限制，柔性體和剛性體不能直接接觸，尤其是對于在柔性體上施加多分量力和力矩，同時也不能直接在柔性體上施加滑移副約束和平面副約束等。所以將創(chuàng)建的構件質量和慣性矩等質量信息設為0，這樣在保留虛構件外觀的同時，也能保證在柔性件與剛性件之間發(fā)生正確的聯(lián)系[14]。

根據(jù)給定參數(shù)建立3D模型，利用Adams/AutoFlex模塊的第二種方式建立柔性體[15]，設置仿真參數(shù)，進行仿真。

3.2 瞬態(tài)響應

在求瞬態(tài)響應前，需要用到Adams中的step函數(shù)。利用step函數(shù)處理,step函數(shù)表示為:step(time,0,0,75 000d,100)+step(time,100,0,25 000d,20)+ step(time,120,0,300,900 00d)+

step(time,300,0,420,900 00d)+step(time,420,0,600,0d)，得到瞬態(tài)響應圖像如圖4所示。

圖4 節(jié)點1分別在Y軸和X軸方向的響應曲線

由瞬態(tài)響應的圖像可知，在仿真的前25 s內，曲線比較平穩(wěn)，在約36 s曲線出現(xiàn)了一個較大的振幅，這是柔性轉子通過一階臨界轉速時共振所引起的。隨著轉速慢慢遠離臨界轉速，并且在轉子自定心的作用下，轉子的振幅也逐漸降低，與預期相符合。

3.3 穩(wěn)態(tài)響應

取穩(wěn)態(tài)旋轉速度45 000 r/min；仿真時間為1 s；步長1 000。節(jié)點2和節(jié)點3的穩(wěn)態(tài)位移圖像如圖5和圖6所示

圖5 節(jié)點2在Y軸和X軸方向的響應曲線

圖6 節(jié)點3在Y軸和X軸方向的響應曲線

4 結果對比分析

結果進行對比分析：

(1)瞬態(tài)響應曲線對比：對比圖1(a)和圖4(a)可以看出，兩者的變化趨勢基本一致。在圖1(a)中振幅的幅值為0.021 mm，而在圖4(a)中，振幅幅值為0.025 mm，振幅差距非常小。對比圖1(b)和圖4(b)可知，在300 s前，兩者的振幅變化幅度都很小，但圖4(b)的變化更平穩(wěn)；在300 s后，即柔性軸的轉速達到一定程度時開始發(fā)生震蕩，隨著轉速接近階臨界轉速，振幅達到最大。最大值分別為0.02 mm和0.024 mm，之后隨著轉速遠離臨界轉速，振幅逐漸降低；

(2)穩(wěn)態(tài)響應曲線對比：穩(wěn)態(tài)轉速45 000 r/min是由換向器的實驗要求規(guī)定的。對比圖2(a)和圖3(b)發(fā)現(xiàn)二者在開始均劇烈震蕩，但后者震蕩比前者更劇烈。隨后仿真計算得出的圖4(a)振動比較有規(guī)律，而圖2(a)則雜亂無章。原因是在實際仿真時將油膜阻尼器的彈性剛度設為常數(shù)，這導致在系統(tǒng)的振幅很有規(guī)律。而理論計算是通過迭代求解，其計算結果則沒有規(guī)律。在隨后的幾張圖像中都出現(xiàn)了類似的問題。對比轉子在柔性軸上的圖3(a)和圖5(a)可知，兩者的平衡位置不一致，前者是在0附近震蕩。而后者是在2附近震蕩。但隨后兩者的振動趨勢一致，都是振幅逐漸減小。這是阻尼器和柔性軸的自定心共同作用的結果。而從圖3(b)和圖6(b)可知，兩者在圖像的幅值和變化趨勢上均一致。

5 結束語

本文通過利用有限元法和拉格朗日方程計算得到的結果和Adams柔性仿真得出的結果一致，驗證了理論計算和系統(tǒng)柔性仿真的正確性。利用有限元與多體動力學建立系統(tǒng)的動力學模型和方程，用Matlab進行數(shù)值求解，能夠快速得到柔性軸在不同運轉狀態(tài)下和不同位置時的形變量，加快了超速機的研發(fā)進程。

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Simulation of Speed Flexible Shaft Machine Based on Matlab and Adams

ZHU Chengxiang，SHEN Jingfeng

(School of Mechanical Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China)

This paper is a speeding enterprise design of general purpose mechanical strength testing machine. The flexible shaft speeds up under the high speed ，deformation is too large and affect the test questions. Using the Lagrange equations, and establishing the whole equation, then using the Matlab programming to solve the corresponding mass matrix, stiffness matrix, and the matrix of different units set. Using the method of center difference method newmark-beta final Lagrange equation for the numerical solution. Then using the Adams to flexible-body dynamics analysis, it is concluded that the running situation of each part of the flexible shaft system correct.

flexible shaft system；newmark-β；Adams；flexible simulation

2016- 05- 10

朱呈祥(1992-)，男，碩士研究生。研究方向：機電產(chǎn)品設計與控制。沈景鳳(1968-)，女，博士，碩士生導師。研究方向：機械設計與理論。

10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2017.04.025

TH39

A

1007-7820(2017)04-098-05