許澤宇，王洪波，康永來(lái)，卜奎晨，趙 洪

（中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京，100076）

返回式滑翔飛行器最小航程軌跡優(yōu)化方法

許澤宇，王洪波，康永來(lái)，卜奎晨，趙 洪

（中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京，100076）

針對(duì)返回式滑翔飛行器在高馬赫狀態(tài)下的落區(qū)和航程難以大幅度調(diào)節(jié)的問(wèn)題，采用 Gauss偽譜法和序列二次規(guī)劃法進(jìn)行軌跡優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)最小航程設(shè)計(jì)；提出了航程壓縮比的概念，建立了動(dòng)力學(xué)模型和飛行約束體系，以類(lèi)CAV-H飛行器為對(duì)象進(jìn)行了仿真。研究表明，低空速度消耗和空間機(jī)動(dòng)有益于減小航程；在指定縱平面內(nèi)可將最小航程壓縮至最大航程的42%；當(dāng)落區(qū)在指定航向上且飛行器可偏離縱面做機(jī)動(dòng)時(shí)，飛行器可返回離軌原點(diǎn)；通過(guò)軌跡優(yōu)化，可以調(diào)節(jié)返回式滑翔飛行器的航程從而控制其落區(qū)范圍。

最小航程；航程壓縮比；約束體系；滑翔機(jī)動(dòng)；軌跡優(yōu)化

0 引 言

傳統(tǒng)意義上，人們希望飛行器飛得更遠(yuǎn)，文獻(xiàn)中常以航程最大作為優(yōu)化指標(biāo)[1]。然而在實(shí)際應(yīng)用中，為了適用于多個(gè)場(chǎng)合，飛行器需要具有一定的航程范圍，最小航程設(shè)計(jì)使之能夠同時(shí)覆蓋遠(yuǎn)距離和近距離區(qū)域。在有限靶場(chǎng)的條件下，小航程設(shè)計(jì)對(duì)于飛行試驗(yàn)也具有實(shí)際意義[2]。對(duì)于返回式滑翔飛行器，航程設(shè)計(jì)使得飛行器在能夠快速返回的同時(shí)可以控制不同的落區(qū)范圍。顧文錦等人研究了末段大空域變軌，但機(jī)動(dòng)范圍有限[3]；鮮勇等人研究了偏離航向的兩級(jí)火箭大范圍橫向機(jī)動(dòng)，但主要依靠動(dòng)力段實(shí)現(xiàn)航程調(diào)整[4]；王晨曦等人研究了用滑翔段阻力加速度能量管理方法來(lái)調(diào)節(jié)航程，但在指定航向條件下只將最小航程壓縮至最大航程的49.3%[5]；楊凌霄等人研究了基于機(jī)動(dòng)模式下的最小射程，但文中沒(méi)有指定航向[6]。

本文以類(lèi)CAV-H返回式滑翔飛行器為仿真對(duì)象進(jìn)行建模，通過(guò)軌跡優(yōu)化的方法，實(shí)現(xiàn)指定航向條件下的最小航程設(shè)計(jì)，從而達(dá)到落區(qū)控制的目的。

1 模型的建立

1.1 最小航程指標(biāo)

航程定義為飛行起始點(diǎn)至飛行落點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的球面大圓弧投影距離，可將最小航程與最大航程之比定義為航程壓縮比，它表征航程調(diào)節(jié)能力，航程壓縮比越小，航程調(diào)節(jié)能力越強(qiáng)。文獻(xiàn)[7]中介紹了國(guó)外常見(jiàn)3 000 km以上彈道式飛行器的航程壓縮比普遍在40%以上。

文中在指定航向的情況下，以航程最小作為設(shè)計(jì)指標(biāo)。不失一般地，在0 °經(jīng)緯度處，取正東方向?yàn)榉祷厥交栾w行器飛行起始航向和落區(qū)所在方向，可取經(jīng)度末值最小作為性能指標(biāo)函數(shù)：

式中ft為末值時(shí)間；λ為經(jīng)度；J為性能指標(biāo)函數(shù)。

1.2 動(dòng)力學(xué)模型

飛行器動(dòng)力學(xué)模型為

式中h為地心高度；φ為緯度；θ為當(dāng)?shù)貜椀纼A角；ψ為航向角；α為攻角；g為重力加速度；σ為傾側(cè)角；L為升力；D為阻力。

位置信息由地心高度h、經(jīng)度λ和緯度φ確定，速度信息由速度大小v、當(dāng)?shù)貜椀纼A角θ和航向角ψ確定。當(dāng)?shù)貜椀纼A角是速度與當(dāng)?shù)厮矫娴膴A角，向上為正，航向角是速度在當(dāng)?shù)厮矫娴耐队芭c正北方向的夾角，順時(shí)針為正。

1.3 氣動(dòng)模型

類(lèi)比文獻(xiàn)[8]，進(jìn)行類(lèi)CAV-H返回式滑翔飛行器氣動(dòng)建模計(jì)算，可得到升阻比氣動(dòng)特性曲線(xiàn)如圖1、圖2所示。

1.4 飛行約束體系

a）法向過(guò)載約束。

為保持滑翔飛行器結(jié)構(gòu)完整及儀器正常工作，需對(duì)法向過(guò)載ny1提出限制條件：

b）熱流密度約束。

滑翔飛行器馬赫數(shù)約為20，在大氣中高速飛行，氣動(dòng)加熱嚴(yán)重，熱流密度約束是重要的路徑約束：

式中為駐點(diǎn)熱流密度；為與飛行器外形有關(guān)的指數(shù)；為頭部駐點(diǎn)曲率半徑；K為與飛行器外形和和材料有關(guān)的常數(shù)；ρ為當(dāng)前大氣密度；為海平面大氣密度；為環(huán)繞速度。

c）動(dòng)壓約束。

為保持滑翔飛行器氣動(dòng)操縱面所產(chǎn)生的鉸鏈力矩在一定控制能力之內(nèi)，需要對(duì)動(dòng)壓q提出限制：

d）控制量約束。

飛行器熱防護(hù)通常分布在機(jī)體下表面，飛行器一般不做負(fù)攻角飛行，同時(shí)滑翔段機(jī)動(dòng)能力強(qiáng)，要求控制量變化平緩，因此需要滿(mǎn)足控制量及其變化率約束。

e）終端約束。

為滿(mǎn)足返回段末端能量管理（Terminal Area Energy Management, TAEM）關(guān)于速度和高度的要求，保證正常抵達(dá)落區(qū)，常取滑翔終端約束：

返回式滑翔飛行器常以高速返回，在最小航程狀態(tài)下能量過(guò)剩。為達(dá)到滑翔段末端速度要求，需要在飛行過(guò)程中將速度大幅度降下來(lái)——在最小航程指標(biāo)約束下，這是非常困難的。

2 滑翔軌跡優(yōu)化方法

滑翔飛行器可通過(guò)彈道優(yōu)化方法實(shí)現(xiàn)最小航程。通過(guò)高斯偽譜法將最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為受一系列代數(shù)約束的參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，再用序列二次規(guī)劃法進(jìn)行求解。

2.1 高斯偽譜法

高斯偽譜法(Gauss Pseudospectral Method, GPM)是在“兩端密、中間疏”的一系列Legendre時(shí)間節(jié)點(diǎn)上將狀態(tài)量和控制量進(jìn)行離散（見(jiàn)圖3），利用這些離散點(diǎn)構(gòu)造全局Lagrange插值多項(xiàng)式去近似擬合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程、約束方程和性能指標(biāo)函數(shù)。

文中最優(yōu)控制問(wèn)題可描述為

式中x為狀態(tài)量；u為控制量；f為動(dòng)力學(xué)微分方程；g為等式約束方程；h為不等式約束方程；φ為終端約束方程；λ為經(jīng)度值。

用初始值及N個(gè)節(jié)點(diǎn)上的離散值去近似狀態(tài)量的時(shí)間歷程：

用各節(jié)點(diǎn)上的離散值去近似控制量的時(shí)間歷程為

對(duì)狀態(tài)量求導(dǎo)，得：

此時(shí)動(dòng)力學(xué)微分方程在各節(jié)點(diǎn)（n= 1,2,???,N）上轉(zhuǎn)化為一系列等式約束代數(shù)方程：

將動(dòng)力學(xué)微分方程、等式約束方程、終端約束方程這3項(xiàng)等式合并到不等式中，可以將最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題：

2.2 序列二次規(guī)劃法

對(duì)于非線(xiàn)性約束優(yōu)化問(wèn)題（Non-Linear Program, NLP）：

得到一個(gè)搜索方向d=dk，然后經(jīng)過(guò)搜索求得步長(zhǎng)ak，于是下一個(gè)迭代點(diǎn)為xk+1=xk+akdk。這就是序列二次規(guī)劃（Sequence Quadratic Programming, SQP）算法的一般方法[9]。式中正定矩陣一般是 Lagrange函數(shù)在迭代點(diǎn)xk處Hesse矩陣的近似。

目前對(duì)于非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的求解方法較多，本文選取GPOPS優(yōu)化工具進(jìn)行計(jì)算。

3 仿真結(jié)果與分析

仿真條件：根據(jù)文獻(xiàn)[10]，返回式滑翔飛行器飛行起始點(diǎn)高度為100 km，起始速度7 200 m/s，當(dāng)?shù)貜椀纼A角0 °；滑翔終端高度為30 km，終端速度為3 000～ 4 000 m/s；飛行器質(zhì)量907 kg，氣動(dòng)參考面積1.146 m2；滿(mǎn)足第1.4節(jié)約束條件。

3.1 縱平面內(nèi)的最小航程仿真結(jié)果

在滿(mǎn)足滑翔段路徑約束條件及滑翔段終端約束條件的情況下，縱平面內(nèi)最大航程11 000 km，最小航程可壓縮至最大航程的42%，如圖4所示。

可見(jiàn)最小航程條件下飛行高度偏低，且更密集地在該高度附近進(jìn)行小幅“跳躍”，這有利于速度消耗和最小航程的實(shí)現(xiàn)?？v平面內(nèi)最小航程條件下速度隨高度消耗曲線(xiàn)如圖5所示。

由圖5可知，最小航程條件下速度的消耗主要是在第1次達(dá)到波谷之后的低空小幅跳躍平滑段完成的，這是由于低空大氣稠密，能較快地消耗能量，飛行時(shí)間更短。同時(shí)研究發(fā)現(xiàn)，在第1次到達(dá)波谷時(shí)，過(guò)載達(dá)到首個(gè)峰值，之后熱流、動(dòng)壓持續(xù)增加，并在該段達(dá)到峰值，說(shuō)明該段也是飛行環(huán)境最為惡劣的一段。

3.2 偏離縱面的最小航程仿真結(jié)果

當(dāng)落區(qū)在初始航向上、且可偏離縱面做機(jī)動(dòng)時(shí)，最小航程軌跡優(yōu)化結(jié)果及其在水平面投影軌跡見(jiàn)圖6。本文所述全約束條件下，飛行器通過(guò)大范圍機(jī)動(dòng)可以大大減小航程，返回原點(diǎn)，此時(shí)飛行器最小航程為零，航程壓縮比也為零。通過(guò)最小航程軌跡在水平面的經(jīng)緯度投影，可知在全約束條件下，飛行器仍具備較強(qiáng)的轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)能力。

全約束條件下最小航程軌跡優(yōu)化的控制量變化見(jiàn)圖7。

由圖7可見(jiàn)，在平飛段，近似按第1.3節(jié)最大升阻比攻角飛行，很好地應(yīng)用了飛行器優(yōu)異的氣動(dòng)性能。同時(shí)，控制量的變化較為平緩，有益于最小航程軌跡在工程中的實(shí)現(xiàn)。最小航程軌跡優(yōu)化結(jié)果中，速度及緯度隨高度的變化曲線(xiàn)見(jiàn)圖8。

由圖8可知，第3.1節(jié)中縱平面內(nèi)的速度消耗規(guī)律仍然適用于縱面外，速度的消耗主要在低空平滑段完成，當(dāng)高度下降到50 km左右，速度曲線(xiàn)開(kāi)始急劇下降，緯度曲線(xiàn)也開(kāi)始浮動(dòng)，說(shuō)明飛行器下降到此高度時(shí)開(kāi)始做橫向空間大范圍機(jī)動(dòng)，很好地發(fā)揮了飛行器的氣動(dòng)性能，這與前文返回式滑翔飛行器氣動(dòng)性能的分析相符。速度的消耗和優(yōu)異的機(jī)動(dòng)能力為實(shí)現(xiàn)最小航程提供了有益條件。

4 結(jié) 論

本文提出了最小航程指標(biāo)和“射程壓縮比”的概念，以類(lèi)CAV-H返回式滑翔飛行器為仿真對(duì)象建立了運(yùn)動(dòng)模型，構(gòu)造了法向過(guò)載、熱流密度、動(dòng)壓、控制量、終端約束等條件下的約束體系。通過(guò) Gauss偽譜法和序列二次規(guī)劃法進(jìn)行軌跡優(yōu)化，可以實(shí)現(xiàn)指定航向條件下的最小航程。仿真驗(yàn)算結(jié)果表明，通過(guò)優(yōu)化，縱平面內(nèi)最小航程可壓縮至最大航程的42%；當(dāng)落區(qū)在初始航向上、且飛行器可偏離縱面做機(jī)動(dòng)時(shí)，最小航程為零，飛行器可返回離軌原點(diǎn)。研究還發(fā)現(xiàn)，通過(guò)低空速度消耗和空間機(jī)動(dòng)，能夠縮小航程。本文方法可以用于指導(dǎo)小航程軌跡設(shè)計(jì)和返回式滑翔飛行器的落區(qū)控制。

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Trajectory Optimization Research for Reentry Glide Vehicle with Minimum-Range Constraint

Xu Ze-yu, Wang Hong-bo, Kang Yong-lai, Bu Kui-chen, Zhao Hong
(China Academy of Launch Vehicle Technology, Beijing, 100076)

To obtain the minimum-range for reentry glide vehicle, Gauss Pseudospectral Method and Sequence Quadratic Programming are adopted in trajectory optimization. Firstly, range-compress-ratio is defined, and the dynamic equations and the constraints are given. Optimization simulation based on the look-like CAV-H vehicle is conducted, the result showed that velocity consuming method and maneuvering method are useful to achieve minimum range. In the initial-flying-plane only, the minimum range can be compressed to 42% of the maximum range. While not only in the initial-flying-plane, the vehicle can return where it started to glide, and the minimum range can be 0. Through trajectory optimization, the range and landing place of the reentry glide vehicle can be in control.

Minimum range; Range-compress-ratio; Constraint system; Glide maneuver; Trajectory optimization

V448.23

A

1004-7182(2017)02-0012-05

10.7654/j.issn.1004-7182.20170203

2016-12-31；

2017-02-08

許澤宇（1991-），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)轱w行器總體設(shè)計(jì)與彈道設(shè)計(jì)