郭瑜超，王立凱，段世慧

（中國飛機(jī)強(qiáng)度研究所，西安，710065）

復(fù)雜多邊形蜂窩夾芯面內(nèi)等效剪切模量研究

郭瑜超，王立凱，段世慧

（中國飛機(jī)強(qiáng)度研究所，西安，710065）

針對一種復(fù)雜的多邊形蜂窩夾芯，將蜂窩胞壁簡化為梁，主要考慮彎矩對胞壁變形的影響，利用虛功原理計(jì)算蜂窩胞元在剪切載荷作用下的變形，推導(dǎo)出蜂窩夾芯面內(nèi)等效剪切模量的解析表達(dá)式?？芍涸诎叽绮蛔兊臈l件下，蜂窩夾芯面內(nèi)等效剪切模量隨胞元長斜邊與垂直方向夾角的增大而增大，隨胞元短斜邊與垂直方向夾角的增大而減小。最后建立蜂窩胞元的有限元模型進(jìn)行數(shù)值分析，數(shù)值分析結(jié)果與理論分析結(jié)果誤差在2%以內(nèi)，證明了理論分析方法的正確性。

多邊形；蜂窩夾芯；剪切模量；歐拉梁；虛功原理

0 引 言

蜂窩夾層結(jié)構(gòu)是由上下蒙皮和周期性多孔蜂窩夾芯構(gòu)成的輕質(zhì)結(jié)構(gòu)材料，蜂窩夾層結(jié)構(gòu)由于既能滿足飛行器對熱防護(hù)系統(tǒng)質(zhì)量的要求，又能解決防熱、隔熱、承載一體化設(shè)計(jì)難題而被越來越廣泛地應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域[1～4]。

傳統(tǒng)的蜂窩夾芯一般是指六邊形蜂窩夾芯，國內(nèi)外針對其傳熱特性和剛度特性進(jìn)行了大量研究。隨著研究的進(jìn)展，出現(xiàn)了很多特殊類型的蜂窩夾芯，例如P.Innocenti等提出的不規(guī)則多邊形蜂窩夾芯（見圖1）,此型蜂窩夾芯傳熱系數(shù)及剛度會隨著蜂窩胞壁的長度及夾角變化產(chǎn)生較大變化，可設(shè)計(jì)性較強(qiáng)，且通過改變胞壁的長度及夾角可轉(zhuǎn)換為常見的六邊形蜂窩或內(nèi)凹型蜂窩，因此國內(nèi)外針對其剛度及傳熱特性進(jìn)行了一些研究，文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]等討論了蜂窩夾芯的面內(nèi)剛度及沿高度方向的傳熱系數(shù)；文獻(xiàn)[7]研究了此蜂窩結(jié)構(gòu)的耦合傳熱系數(shù)；文獻(xiàn)[8]使用不同方法研究了此類不規(guī)則多邊形蜂窩夾芯面內(nèi)兩正交方向彈性模量及泊松比；但針對此類蜂窩夾芯的面內(nèi)剪切模量的研究較少。

本文針對一種復(fù)雜的多邊形的蜂窩夾芯（圖1），首先確定研究的蜂窩胞元，并將胞壁簡化為歐拉梁；利用虛功原理，主要考慮彎矩對胞壁變形的影響，計(jì)算胞元在剪切載荷作用下的變形；進(jìn)一步根據(jù)剪切模量的定義，計(jì)算出蜂窩夾芯的面內(nèi)等效剪切彈性模量，并詳細(xì)討論了蜂窩胞壁長度及夾角對蜂窩夾芯面內(nèi)等效剪切模量的影響。

1 面內(nèi)剪切模量定義

一般情況下，在研究蜂窩夾芯面內(nèi)等效彈性模量時，將蜂窩夾芯簡化為二維異性結(jié)構(gòu)，對二維正交結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的描述一般包括兩個正交方向的彈性模量和泊松比以及面內(nèi)剪切模量。剪切模量是材料的力學(xué)性能之一，是材料在剪切應(yīng)力作用下，在彈性變形比例極限范圍內(nèi)，切應(yīng)力和切應(yīng)變的比值。

圖2為剪切形變示意，圖2中的立方體在xy平面內(nèi)的剪切模量可以表示為[9]

式中τxy為立方體受到的剪力，τxy=F/(LW)；γxy為xy平面內(nèi)的剪應(yīng)變，γxy=Ux/H；Ux為上表面產(chǎn)生沿x軸的位移；F為均布剪切載荷。

2 蜂窩面內(nèi)剪切模量理論分析

2.1 虛功原理

為了計(jì)算蜂窩夾芯的面內(nèi)剪切模量，需要首先計(jì)算蜂窩夾芯在面內(nèi)剪切載荷作用下的變形。在計(jì)算蜂窩夾芯面內(nèi)變形時，常用的方法是將蜂窩胞壁簡化為梁，然后使用歐拉梁理論計(jì)算蜂窩各個胞壁變形進(jìn)行疊加，在此過程中可利用虛功原理，即任何一個處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意一個虛位移時，變形體所受外力在虛位移時所做的總虛功恒等于變形體所接受的總虛變形功。為了從虛功原理求得位移，需建立一個與待求廣義位移對應(yīng)平衡的力狀態(tài)，若這個平衡的力狀態(tài)是對應(yīng)于待求廣義位移的一個單位廣義力狀態(tài)（將單位廣義力記作），單位廣義外力在虛位移時所做的總虛功恰好等于待求的廣義位移值，這樣就能通過變形功的計(jì)算直接求得待求的位移值[10]。

基于上述思路，首先將蜂窩胞壁簡化為梁，并將待求廣義位移計(jì)作?，由虛功原理可以得到：

式中分別為單位廣義力狀態(tài)中梁的軸力、剪力和彎矩；表示對所有梁求和；積分上限l為梁的長度；分別為載荷作用下待求位移結(jié)構(gòu)的虛軸向變形、虛剪切角和虛曲率。

假設(shè)材料處于線彈性狀態(tài)，載荷作用下待求梁結(jié)構(gòu)的軸力、剪力、彎矩分量為，則可以得到虛位移中的虛變形為

式中EA，GA，EI分別為梁結(jié)構(gòu)的抗拉壓、抗剪和抗彎剛度；k為梁截面剪應(yīng)力不均勻分布系數(shù)。

將式（3）代入式（2）可以得到實(shí)際荷載下的位移計(jì)算公式：

利用式（4）可以求得任意載荷作用下梁結(jié)構(gòu)的廣義位移，這種通過建立平衡的單位廣義力狀態(tài)，利用虛功原理求位移的方法稱為單位荷載法。

當(dāng)梁比較細(xì)長時，由于剪切變形和軸向變形對位移的貢獻(xiàn)很小，一般主要考慮彎矩對位移的影響，式（4）可以簡化成為

2.2 蜂窩面內(nèi)剪切模量

一般在研究蜂窩夾芯的機(jī)械性能時，首先需要確定蜂窩夾芯的典型胞元，然后針對蜂窩胞元進(jìn)行研究，針對此多邊形蜂窩夾芯確定的胞元如圖3所示?？紤]到蜂窩胞元的對稱性，為簡化計(jì)算過程，取蜂窩胞元的1/4并將胞壁簡化為梁，用以計(jì)算橫向（x向）載荷作用下結(jié)構(gòu)的變形；由于在橫向載荷作用下，胞壁AE、DF主要為軸向變形，對結(jié)構(gòu)總體橫向變形影響較小，可以忽略，因此簡化后的計(jì)算模型如圖4所示。

為計(jì)算結(jié)構(gòu)在橫向載荷P作用下的變形，需首先計(jì)算結(jié)構(gòu)在橫向載荷作用下的彎矩。并將蜂窩胞壁劃分為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ段，并分別建立局部坐標(biāo)系。

由于在加載端有相鄰蜂窩胞元胞壁的約束，可以假設(shè)加載端沒有扭轉(zhuǎn)變形，但需要在此施加一個附加彎矩M，用于模擬這種約束，根據(jù)加載端扭轉(zhuǎn)角為零可以計(jì)算得到此附加彎矩M的值，M=P(lc osθ+ 2acosφ)/2，根據(jù)端部集中載荷P和附加彎矩M計(jì)算Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ段內(nèi)彎矩：

同理，假設(shè)加載端受到x方向的單位載荷 1X=，可以得到在單位載荷作用下梁結(jié)構(gòu)的內(nèi)部彎矩：

將式（6）、式（7）代入式（5），可以得到載荷P作用下蜂窩胞壁x方向的變形：

式中I為蜂窩胞壁的慣性矩，I=bt3/12，其中t為蜂窩胞壁的厚度；b為蜂窩芯材的高度。

根據(jù)蜂窩胞壁x方向的變形以及蜂窩幾何參數(shù)，可以得到蜂窩沿x方向的等效應(yīng)變?yōu)?/p>

利用蜂窩受到的橫向載荷P及蜂窩幾何參數(shù)，可以得到蜂窩受到的等效剪切應(yīng)力為

根據(jù)蜂窩面內(nèi)等效剪切模量的定義，將式（9）、式（10）代入式（1）可得蜂窩面內(nèi)等效剪切模量，同時消去蜂窩材料Es的影響，可得蜂窩面內(nèi)等效剪切模量比為

式中Es為蜂窩材料的彈性模量；G12為蜂窩面內(nèi)的剪切模量。

3 數(shù)值算例

3.1 有限元模型介紹

為了驗(yàn)證前面理論分析方法的正確性，在此使用PATRAN建立典型蜂窩夾芯胞元的細(xì)節(jié)有限元模型（見圖5），使用航空結(jié)構(gòu)有限元分析軟件HAJIF進(jìn)行有限元分析，通過有限元分析可以得到蜂窩胞元上邊沿x方向的變形，然后通過式（1）可以得到蜂窩夾芯的面內(nèi)等效剪切模量。

整個蜂窩胞元使用BEAM元建立，蜂窩胞壁的厚度為0.0 625 mm，蜂窩胞壁的長度和夾角可根據(jù)構(gòu)型變化；蜂窩胞壁材料的彈性模量Es=71 000 MPa，泊松比為0.33。蜂窩有限元模型的邊界條件為：蜂窩底部5、6點(diǎn)約束6個方向自由度；為了模擬旁邊蜂窩胞元對本考核結(jié)構(gòu)的支持，約束3、4點(diǎn)的沿z軸方向的旋轉(zhuǎn)自由度及y向自由度；為了保證蜂窩胞元上邊變形的協(xié)調(diào)性，約束上邊1、2點(diǎn)的沿z軸方向的旋轉(zhuǎn)自由度，同時為保證結(jié)構(gòu)純剪狀態(tài)，約束上邊1、2點(diǎn)的y向自由度；由于本文理論分析方法是建立在線彈性假設(shè)基礎(chǔ)上的，為保證結(jié)構(gòu)變形在線性范圍內(nèi)，在蜂窩胞元上邊施加沿x方向總載為0.088 N的剪切載荷。

3.2 結(jié)果分析

通過前面的理論分析和有限元分析得到了該蜂窩夾芯的面內(nèi)等效剪切模量，現(xiàn)將分析結(jié)果進(jìn)行討論。

一般情況下，蜂窩夾芯越密則蜂窩夾芯面內(nèi)剪切模量越大，因此在討論時需要對蜂窩胞元尺寸進(jìn)行一定的約束。約束蜂窩胞元的寬度及高度不變（約束蜂窩胞元的寬度為8.33 mm，高度為14.434 mm），并約束蜂窩胞元的橫邊邊長h=5 mm，在此基礎(chǔ)上分別討論長斜邊的長度l及長斜邊與垂直方向的夾角θ、短斜邊的長度a及短斜邊與垂直方向的夾角φ對蜂窩夾芯面內(nèi)等效剪切模量的影響。

圖6為蜂窩夾芯面內(nèi)剪切模量比G12/Es與胞元長斜邊長度l及夾角θ的關(guān)系示意，圖6中的每條曲線都假設(shè)長斜邊的長度l不變，長斜邊與垂直方向的夾角θ不斷變化，同時為了保證蜂窩胞元的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不變（胞壁互不干涉、夾角θ、φ為正值），對角度的變化范圍進(jìn)行了限定。

由圖6可知，當(dāng)蜂窩胞元長斜邊長度l=4 mm，長斜邊與垂直方向的夾角θ在12°和90°之間變化時，蜂窩夾芯面內(nèi)剪切模量比G12/Es隨著角度θ的增大而增大，且曲線前半段蜂窩夾芯面內(nèi)剪切模量比G12/Es增大較為緩慢，曲線后半段蜂窩夾芯面內(nèi)剪切模量比G12/Es增大較快，同時l=5 mm、l=6 mm的曲線都有類似的趨勢。究其原因：在橫向剪切載荷作用下，當(dāng)長斜邊與垂直方向夾角θ逐漸增大時，長斜邊的彎曲變形逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)殚L斜邊的軸線變形，當(dāng)θ=90°時長斜邊只有軸向變形，而結(jié)構(gòu)的軸向變形值極小，因此此時蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)等效剪切模量最大。由l=4 mm、l=5mm、l=6 mm三條曲線的對比可知，在一定條件下長斜邊的長度l越小，則蜂窩夾芯面內(nèi)剪切模量比G12/Es越大。

圖7描述了蜂窩夾芯面內(nèi)剪切模量比G12/Es與胞元短斜邊長度a及夾角φ的關(guān)系，圖7中的每條曲線都假設(shè)短斜邊的長度a不變，短斜邊與垂直方向的夾角φ不斷變化，同時與前面一樣，為保證蜂窩胞元的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不變，對結(jié)構(gòu)尺寸的變化范圍進(jìn)行了限定。

由圖7可知，當(dāng)蜂窩胞元短斜邊長度a=3.334 mm，短斜邊與垂直方向的夾角φ在0°和90°之間變化時，蜂窩夾芯面內(nèi)剪切模量比G12/Es隨著角度φ的增大而減小，同時a=0.2 mm、a=1.667 mm的曲線都有類似的趨勢。其主要原因?yàn)椋寒?dāng)短斜邊長度a確定時，隨著夾角φ的增大，長斜邊長度l不斷增大，長斜邊產(chǎn)生的彎曲變形增大，進(jìn)而造成蜂窩胞元橫向變形增大。由a=0.2 mm、l=1.667 mm、l=3.334 mm三條曲線的對比可知，在一定條件下隨著短斜邊的長度a增大，蜂窩夾芯面內(nèi)剪切模量比G12/Es會減小。

由圖6、圖7對比可知：隨著長斜邊長度l及角度θ變化，蜂窩夾芯面內(nèi)等效剪切模量比在較大范圍內(nèi)變化，長斜邊對蜂窩夾芯面內(nèi)等效剪切模量的影響較大；而短斜邊長度a及角度φ變化對蜂窩夾芯面內(nèi)等效剪切模量的影響相對較小。圖6、圖7中列舉了本文理論分析和蜂窩胞元有限元分析的對比結(jié)果，由對比結(jié)果可知，理論分析結(jié)果和有限元分析結(jié)果誤差在2%以內(nèi)，兩者基本一致，說明了本文理論分析方法的正確性。至于誤差產(chǎn)生的主要原因?yàn)椋豪碚摲治鰶]有完整考慮胞壁受到剪力和軸向載荷的變形；有限元計(jì)算時邊界條件的選取，不容易實(shí)現(xiàn)理想狀態(tài)的約束。

4 結(jié) 論

本文針對一種特殊的多邊形蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)，對其面內(nèi)等效剪切模量進(jìn)行了詳細(xì)研究。首先將蜂窩胞壁簡化為歐拉梁，利用虛功原理，主要考慮胞壁承受彎矩對蜂窩變形的影響，計(jì)算出蜂窩夾芯在剪切載荷作用下的變形，進(jìn)而計(jì)算出蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)的等效剪切應(yīng)變，最終得到該蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)面內(nèi)等效剪切模量的表達(dá)式，并對其進(jìn)行討論，結(jié)果如下：

a）在蜂窩胞元尺寸及拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不變的條件下，當(dāng)蜂窩胞元長斜邊長度l不變時，蜂窩夾芯面內(nèi)剪切模量比G12/Es隨著夾角θ的增大而增大；當(dāng)蜂窩胞元長斜邊長度l變化時，蜂窩夾芯面內(nèi)剪切模量比G12/Es隨著長度l的增大而減??；

b）在蜂窩胞元尺寸及拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不變的條件下，當(dāng)蜂窩胞元短斜邊長度a不變時，蜂窩夾芯面內(nèi)剪切模量比G12/Es隨著夾角φ的增大而減小；當(dāng)蜂窩胞元短斜邊長度a變化時，蜂窩夾芯面內(nèi)剪切模量比G12/Es隨著長度a的增大而減小。

最后，建立了蜂窩胞元的細(xì)節(jié)有限元模型進(jìn)行有限元分析，通過數(shù)值計(jì)算得到的等效剪切模量與本文理論結(jié)果的誤差在 2%以內(nèi)，驗(yàn)證了理論分析的正確性，且理論表達(dá)式簡單實(shí)用，有一定的工程實(shí)用價值。

[1] Gibson L J, Ashby M F, Schajer G S, Roberston C I. The mechanics of two dimensional cellular materials[J]. Proc Roy Soc, 1982, A382: 25-42.

[2] Mastersig, Evans K E. Models for the elastic deformation of honeycombs[J] . Compos Struct, 1996, 35(4) : 403-422.

[3] Gibson L J, Ashby M F. Modelling the mechanical behavior of cellular material[J]. Master Science and Engineering, 1989, A110: 1-36.

[4] 富明慧, 伊久仁. 蜂窩芯層的等效彈性參數(shù)[J]. 力學(xué)學(xué)報, 1999, 31(1) : 113-118.

[5] Innocenti P, Scarpa F. Thermal conductivity properties and heat transfer analysis of multi-re-entrant auxetic honeycomb structures[J]. Journal of Composite Materials, 2009, 43: 2419-2439.

[6] Bezazi A, Remillat C. In-plane mechanical and thermal conductivity properties of a rectangular–hexagonal honeycomb structure[J]. Composite Structures, 2008, 84: 548-255.

[7] 郭瑜超, 黃河, 何俊, 等. 特殊多邊形蜂窩結(jié)構(gòu)有效傳熱系數(shù)研究[J].導(dǎo)彈與航天運(yùn)載技術(shù), 2014(4): 36-40.

[8] 郭瑜超, 王立凱, 等. 復(fù)雜多邊形蜂窩面內(nèi)等效彈性參數(shù)研究[J]. 機(jī)械強(qiáng)度, 2016(6）, 1258-1263.

[9] 黨旭丹, 王新莉, 等. X-cor夾層結(jié)構(gòu)剪切模量有限元分析[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報, 2012, 58(5): 419-424.

[10] 孫訓(xùn)方, 方孝淑, 關(guān)來泰. 材料力學(xué)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2002.

Study on In-plane Equivalent Shear Modulus of Complex Polygonal Honeycomb Core

Guo Yu-chao, Wang Li-kai, Duan Shi-hui
(Aircraft Strength Research Institute, Xi’an, 710065)

For a complex polygonal honeycomb core, the cell walls are simplified as beams, mainly considering the influence of bending moment, the analytic expression for equivalent shear modulus iss obtained using the virtual work principle. From this expression：under the condition of that cells had the same size, the shear modulus increases with increasing angle between the long bevel wall and the vertical direction, decreases with increasing angle between the short bevel wall and the vertical direction. Finally, the finite element model of cell is established, and error of numerical result and theoretical result is less than 2%, which verified the correctness of theoretical analysis method.

Polygon; Honeycomb core; Shear modulus; Euler beam; Virtual work principle

V414.7

A

1004-7182(2017)02-0025-05

10.7654/j.issn.1004-7182.20170206

2015-12-07；

2016-02-28

中航工業(yè)集團(tuán)創(chuàng)新基金（2014A62340）

郭瑜超（1986-），男，工程師，主要研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)分析與軟件研發(fā)