楊東曉，李亞曉，任好雨，姜聚慧，婁向東

（河南師范大學(xué)，河南 新鄉(xiāng) 453007）

化學(xué)工程

化學(xué)反應(yīng)器軸向擴(kuò)散模型的應(yīng)用分析

楊東曉，李亞曉，任好雨，姜聚慧，婁向東

（河南師范大學(xué)，河南 新鄉(xiāng) 453007）

軸向擴(kuò)散模型是化學(xué)反應(yīng)器模擬分析的重要模型。軸向擴(kuò)散模型中方差-Pe（貝克萊數(shù)）方程是聯(lián)系實(shí)際流體流動(dòng)狀況和模型特征參數(shù)的關(guān)鍵方程。該方程屬于超越方程，不能直接得到解析解。本文對(duì)軸向擴(kuò)散模型中方差-Pe方程的特征和求解過程展開研究，從試差法求解初值的選取﹑方程表達(dá)式的單調(diào)性﹑近似解的適用范圍，以及方程的數(shù)據(jù)表等幾個(gè)方面進(jìn)行了分析和討論，得到了多個(gè)有價(jià)值的結(jié)論，對(duì)軸向擴(kuò)散模型的實(shí)際應(yīng)用起到了推動(dòng)的作用。

停留時(shí)間分布；數(shù)學(xué)模擬；模型；軸向擴(kuò)散；貝克萊數(shù)

在對(duì)化學(xué)反應(yīng)器進(jìn)行分析計(jì)算時(shí)，軸向擴(kuò)散模型是描述非理想流動(dòng)反應(yīng)器的主要模型之一，特別適用于管式反應(yīng)器﹑塔式反應(yīng)器等返混程度較小的反應(yīng)器系統(tǒng)[1-7]。該模型假定反應(yīng)器內(nèi)流體主體沿反應(yīng)器軸向進(jìn)行流動(dòng)的同時(shí)，由于分子擴(kuò)散﹑渦流擴(kuò)散以及流速分布不均勻等原因造成了返混，使得流體流動(dòng)偏離理想的平推流，即軸向擴(kuò)散模型就是在平推流模型的基礎(chǔ)上疊加了一個(gè)擴(kuò)散項(xiàng)，將所有造成返混的因素歸結(jié)于一個(gè)軸向擴(kuò)散過程[8]。

按照流體進(jìn)入反應(yīng)器時(shí)是否發(fā)生流型變化，可以分為開式系統(tǒng)和閉式系統(tǒng)，分別對(duì)應(yīng)于不同的邊界條件。對(duì)于常用的管式反應(yīng)器和塔式反應(yīng)器來(lái)說(shuō)，通常閉式系統(tǒng)的假定是符合絕大多數(shù)實(shí)際情況的[9]。按照閉式系統(tǒng)的假定確定邊界條件進(jìn)行分析，可以得到該過程的無(wú)因次停留時(shí)間方差的表達(dá)式為：

無(wú)因次停留時(shí)間方差是能夠體現(xiàn)實(shí)際反應(yīng)器中流體流動(dòng)過程返混程度的重要參數(shù)，而貝克萊數(shù)Pe是體現(xiàn)軸向擴(kuò)散模型中主體平推流與疊加的擴(kuò)散返混兩個(gè)過程相對(duì)程度的特征參數(shù)。因此，此式是一個(gè)非常關(guān)鍵的橋梁，將實(shí)際的流體流動(dòng)過程與軸向擴(kuò)散模型聯(lián)系起來(lái)。軸向擴(kuò)散模型是單參數(shù)模型，只要Pe確定，模型就對(duì)應(yīng)確定了。如果要用軸向擴(kuò)散模型進(jìn)行過程模擬和分析計(jì)算，那么對(duì)方程式（1）的求解是必不可少的。

軸向擴(kuò)散模型是模擬非理想反應(yīng)器的重要模型之一，但是對(duì)無(wú)因次停留時(shí)間方差的超越方程的求解，其討論相對(duì)較少。本文對(duì)Pe方程展開分析，得到了許多有價(jià)值的結(jié)論，對(duì)軸向擴(kuò)散模型的應(yīng)用拓展和理論基礎(chǔ)分析都有重要意義。

1 物理模型

由于分子擴(kuò)散﹑渦流擴(kuò)散及流速分布的不均勻等原因，而使流體流動(dòng)狀況偏離理想平推流的現(xiàn)象，可以總體地用一個(gè)軸向擴(kuò)散過程來(lái)表示，即采用該軸向擴(kuò)散過程的有效擴(kuò)散系數(shù)Da來(lái)定量地表征一維返混的強(qiáng)度。也就是在平推流流動(dòng)模式的基礎(chǔ)上疊加了一個(gè)渦流擴(kuò)散項(xiàng)[10-12]，其假定主要包括以下三個(gè)方面：

1）沿著與流體流動(dòng)方向垂直的每一截面上，具有均勻的徑向濃度；

2）在每一截面上和沿流體流動(dòng)方向，流體速度和擴(kuò)散系數(shù)均為恒定值；

3）物料濃度為流體流動(dòng)距離的連續(xù)函數(shù)。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 軸向擴(kuò)散模型方程的建立

根據(jù)上述假設(shè)，對(duì)流動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行物料衡算，可建立軸向擴(kuò)散模型的數(shù)學(xué)模型方程，整理后可以得到如下方程[13-15]：

其中，c為濃度，t為時(shí)間，Da為軸向擴(kuò)散系數(shù)，Z為軸向的距離，u為流速。

2.2 模型方程的無(wú)因次化

引入無(wú)因次量將方程化為無(wú)因次形式：

Pe為貝克萊數(shù)（Peclet Number），物理意義為過程中主流體平推流流動(dòng)與擴(kuò)散返混的強(qiáng)度之比。

2.3 模型方程的解

按照閉式系統(tǒng)的假定確定邊界條件，可得軸向擴(kuò)散模型無(wú)因次停留時(shí)間的方差如前述方程式（1）所示。

3 Pe方程的分析

如前所述， Pe方程是軸向擴(kuò)散模型中非常重要的關(guān)系式。但是式（1）是超越方程，不能直接得到解析解，給模型的應(yīng)用增加了不便。本文從多個(gè)方面對(duì)該超越方程展開分析。

3.1 試差法求解

在運(yùn)用軸向擴(kuò)散模型對(duì)某個(gè)實(shí)際的流動(dòng)過程進(jìn)行模擬分析時(shí)，可以首先針對(duì)流體流動(dòng)過程進(jìn)行示蹤響應(yīng)法的實(shí)驗(yàn)，測(cè)定停留時(shí)間分布的特點(diǎn)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)估算得到該過程的無(wú)因次停留時(shí)間分布的方差，然后根據(jù)式（1）用試差法計(jì)算得到Pe的值。軸向擴(kuò)散模型是單參數(shù)模型，Pe確定后模型方程就對(duì)應(yīng)確定了，進(jìn)而可以代入Pe的值，得到相應(yīng)方程的解。

例如，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)估算得到某流動(dòng)反應(yīng)器內(nèi)停留時(shí)間分布的方差=0.1261，將其代入式（1）則有：

逐次選取Pe數(shù)值代入方程，根據(jù)結(jié)果不斷調(diào)整Pe數(shù)值，最終得到令人滿意的解。試差過程如表1所示。

表1 試差法求解方程

表1 試差法求解方程

?

在試差法計(jì)算的過程中，有以下幾個(gè)方面值得注意。

1）初值的選取

利用試差法計(jì)算時(shí)，初值按照0.1261≈2/Pe取值，即Pe≈15.9。因?yàn)閷?duì)于大多數(shù)情況來(lái)說(shuō)，式（1）右端中減號(hào)后一項(xiàng)通常都很小，所以這樣選擇初值可以很好地接近真實(shí)解。為了說(shuō)明這一點(diǎn)，可以將式（1）中右端減號(hào)后一項(xiàng)的值作圖，結(jié)果如圖1所示。

圖1 Pe方程中的值

為了便于分析，如果記式（1）右端減號(hào)后項(xiàng)為m，則式（1）可化為所以方程的解為：

3）方程右端的單調(diào)性

當(dāng)選取一個(gè)Pe值進(jìn)行試差時(shí)，如果式 （1）右端具有單調(diào)性，那么會(huì)對(duì)試差法具有很好的指向性。實(shí)際上，方程右端的函數(shù)圖像提示我們式（1）右端是嚴(yán)格單調(diào)遞減的，其函數(shù)圖像如圖2所示。

圖2-Pe方程右端的單調(diào)性

因此，式（1）右端遵循單調(diào)遞減的變化規(guī)律。在運(yùn)用試差法時(shí)，當(dāng)式（1）右端值大于左端值時(shí)，應(yīng)該增大Pe的值繼續(xù)試差；當(dāng)式（1）右端值小于左端值時(shí)，應(yīng)該減小Pe的值繼續(xù)試差。

3.2 對(duì)近似解的適用范圍的討論

如前所述，式（1）右端減號(hào)后項(xiàng)的值通常較小，因此在做簡(jiǎn)單的初步估算時(shí)，可以將方程=2 /Pe的解視為式（1）的近似解。實(shí)際上，如圖3所示，兩條曲線相差較小，近似解與真實(shí)解是很接近的。

3.3 方程的數(shù)據(jù)表

軸向擴(kuò)散模型實(shí)際上是僅有Pe一個(gè)特征參數(shù)的單參數(shù)模型，為了便于估算=-Pe超越方程的解，可以將方程對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)列表如表2所示。因此，可以通過查表估算方程的解。經(jīng)過多例驗(yàn)證，利用=-Pe超越方程數(shù)據(jù)表進(jìn)行估算，均可以方便地得到有效結(jié)果。

表2=-Pe方程數(shù)據(jù)表

表2=-Pe方程數(shù)據(jù)表

Pe σθ2Pe σθ2Pe σθ2Pe σθ2Pe σθ21 0.7358 11 0.1653 21 0.0907 35 0.0555 1000 0.0020 2 0.5677 12 0.1528 22 0.0868 40 0.0488 1200 0.0017 3 0.4555 13 0.1420 23 0.0832 50 0.0392 1500 0.0013 4 0.3773 14 0.1327 24 0.0799 60 0.0328 2000 0.0010 5 0.3205 15 0.1244 25 0.0768 70 0.0282 5000 0.0004 6 0.2779 16 0.1172 26 0.0740 80 0.0247 10000 0.0002 7 0.2449 17 0.1107 27 0.0713 90 0.0220 8 0.2188 18 0.1049 28 0.0689 100 0.0198 9 0.1975 19 0.0997 29 0.0666 200 0.0100 10 0.1800 20 0.0950 30 0.0644 300 0.0066

4 結(jié)論

軸向擴(kuò)散模型是化學(xué)反應(yīng)器模擬分析的重要模型。軸向擴(kuò)散模型中=-Pe超越方程是聯(lián)系實(shí)際流體流動(dòng)特征與模型特征參數(shù)的關(guān)鍵關(guān)系式。本文通過對(duì)該超越方程進(jìn)行分析討論，得到了以下結(jié)論：

符號(hào)說(shuō)明：

c——濃度，kmol·m-3；

Da——軸向擴(kuò)散系數(shù)，m2·s-1；

e——自然對(duì)數(shù)的底，無(wú)量綱；

t——時(shí)間，s；

u—— 速度，m·s-1；

Pe——貝克萊數(shù)（Peclet number），無(wú)量綱；

Z——軸向上的距離，m；

ζ——對(duì)比距離，無(wú)量綱；

θ——對(duì)比時(shí)間，無(wú)量綱；

σ——方差，無(wú)量綱；

φ——對(duì)比濃度，無(wú)量綱；

ω——方程代號(hào)，無(wú)量綱；

2——上角標(biāo)，平方（方差）；

θ——下角標(biāo)，對(duì)比時(shí)間。

致謝：本論文工作得到了河南師范大學(xué)研究生優(yōu)質(zhì)課程建設(shè)項(xiàng)目的支持，在此表示感謝。

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Analysis of Axial Dispersion Model for Chemical Reactor

YANG Dongxiao, LI Yaxiao, REN Haoyu, JIANG Juhui, LOU Xiangdong
(School of Chemistry and Chemical Engineering, Henan Normal University, Xinxiang 453007, China)

Axial dispersion model was an important model for chemical reactor simulation and analysis. In the axial dispersion model, the Variance-Peclet Number equation played a key role in relating the practical fow characteristics and the model parameter. Pe equation was a transcendental equation, hence analytical solution could not be achieved. In this work, the characteristics and solving of Pe equation was studied. Analysis and discussion were carried out in many aspects. Several valuable conclusions were obtained which had promotive effects to the practical application of the axial dispersion model.

residence time distribution; mathematical modeling; model; axial dispersion; Peclet number

TQ 011

A

1671-9905(2017)04-0032-04

楊東曉（1982-），男，副教授，碩士研究生導(dǎo)師，從事化學(xué)工程與技術(shù)的教學(xué)和研究。E-mail: 2013065@htu.cn

2017-02-16