[本文系江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃重點(diǎn)資助課題 “數(shù)學(xué)史視野下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的案例研究”（批準(zhǔn)號(hào)：B-a/2013/02/002）的研究成果之一。]

一、乘法筆算的歷史演變

乘法是加法的特殊情況，重復(fù)進(jìn)行同一個(gè)數(shù)的加法運(yùn)算就產(chǎn)生了乘法，對(duì)這種重復(fù)計(jì)算的不同處理，就產(chǎn)生了不同的乘法計(jì)算方法。早在古埃及紙草書上就記載著一種乘法——倍乘法，也就是先加倍計(jì)算，然后組合不同的倍數(shù)和從而完成計(jì)算（見圖1）。雖然倍乘法不具有現(xiàn)代筆算乘法的形式，但在幾千年筆算乘法的歷史進(jìn)程中體現(xiàn)了旺盛的生命力。1546年，德國(guó)數(shù)學(xué)家施蒂費(fèi)兒（備注英文）的著作中將32×13=412寫成下面的形式（見圖2），明顯帶有埃及倍乘法的痕跡。

圖1

圖2

可以想象，當(dāng)計(jì)算的數(shù)目大了，倍乘法不僅僅逐次加倍計(jì)算很麻煩，而且組合不同倍數(shù)和的時(shí)候同樣不容易。在20世紀(jì)初，在歐洲流行著俄羅斯農(nóng)夫算法，比如要計(jì)算49×28，就將49逐步取半并記錄在上行，把28逐步加倍并記錄在對(duì)應(yīng)的下行位置，如圖3。這樣算，其中的原理還在于：一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大的倍數(shù)和另一個(gè)因數(shù)縮小的倍數(shù)相同，那么乘積不變。49不斷地取半，而與此同時(shí)28不斷地加倍，所以俄羅斯農(nóng)夫算法就把“49×28”轉(zhuǎn)化為了“1×896”，這樣轉(zhuǎn)化的目的顯然是為了回避倍數(shù)和的組合。但第一次對(duì)49取半得24，相當(dāng)于少算了一個(gè)28；第四次對(duì)3取半的時(shí)候，少算了一個(gè)448，所以49×28的最后結(jié)果為：896+448+28=1372。仔細(xì)分析一下，896是32個(gè)28的積，448是16個(gè)28的積，所以896+448+28也就是計(jì)算（32+16+1）個(gè)28的積，其本質(zhì)還是倍乘法。倍乘法上述兩方面的麻煩可見一斑。

中國(guó)古代計(jì)算32×13，看作求32的13倍，由于13是由兩個(gè)不同位值的數(shù)字1和3組成的，所以在計(jì)算中可以分別計(jì)算32的10倍和3倍，然后把結(jié)果相加。

雖然，中國(guó)古代進(jìn)行乘法計(jì)算的原理和現(xiàn)在沒(méi)有什么區(qū)別，但中國(guó)古代的記數(shù)和進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算工具都是算籌，即一根根同樣長(zhǎng)短和粗細(xì)的小棍子，表示多位數(shù)時(shí)，從右到左，縱橫相間，個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式……依此類推，遇零則置空。算籌的乘法計(jì)算，分為三層，上位、中位、下位，依次分別放乘數(shù)、積和另一個(gè)乘數(shù)。計(jì)算時(shí)把多位數(shù)變成一位數(shù)去乘多位數(shù)，利用“九九口訣”乘一位加一位。還是以 13×32＝416為例，如圖4。

從圖中可以看出，算籌乘法的步驟與現(xiàn)在的筆算乘法基本一致，不同的是，算籌乘法從高位乘起，積置于兩個(gè)乘數(shù)之間。也因?yàn)槭墙柚慊I進(jìn)行計(jì)算，從高位算起，遇有進(jìn)位，可以很方便地增添算籌，所以，“從哪里算起”在古人看來(lái)根本不是個(gè)問(wèn)題。后來(lái)，中國(guó)古代的算籌乘法在印度出現(xiàn)，但他們變成了寫算，用小木棍在撒著紅粉的白板上寫數(shù)和計(jì)算（也稱“沙盤算法”或“土盤算法”），由于也可以隨時(shí)改動(dòng)數(shù)字，所以他們的運(yùn)算步驟與中國(guó)的籌算一樣，不過(guò)把積寫在兩個(gè)乘數(shù)的上面。公元9世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)開始傳入阿拉伯，并同時(shí)傳入了中國(guó)的造紙術(shù)，阿拉伯人開始在紙上運(yùn)算。紙上運(yùn)算比起中國(guó)的籌算和印度的寫算來(lái)，不能隨時(shí)改動(dòng)數(shù)字，只能逐次劃掉中間步驟所得的結(jié)果，因此算式顯得很混亂，也容易出錯(cuò)。當(dāng)歐洲人接受紙上的乘法計(jì)算時(shí)，就進(jìn)一步作了改變。1494年，在意大利數(shù)學(xué)家帕喬利（備注英文）的著作《算術(shù)、幾何、比與比例集成》中記錄的乘法豎式，已經(jīng)有了現(xiàn)在乘法豎式的雛形，當(dāng)時(shí)叫“疊果法”。仍然以32×13為例，計(jì)算成如圖5。從乘法計(jì)算的書寫格式看，和現(xiàn)在相比已經(jīng)相差無(wú)幾了。但其計(jì)算步驟，和現(xiàn)在的低位算起是不同的，無(wú)論是分解成32×（10+3）還是分解成（30+2）×13，都是從高位算起——實(shí)際上，不僅僅是乘法運(yùn)算，加法和減法的運(yùn)算也都是從高位算起的。但紙筆不像算籌和沙盤那樣可以隨意改數(shù)字，高位算起時(shí)進(jìn)退位帶來(lái)的麻煩如何解決呢？變化總是在逼迫中產(chǎn)生的，后來(lái)人們有了下面的算法：

圖5

圖6是19世紀(jì)前后歐洲計(jì)算 “3709+8540+2618+706”，為了解決計(jì)算過(guò)程中進(jìn)位的問(wèn)題，把每次計(jì)算的結(jié)果都獨(dú)占一行，這樣就把進(jìn)位的數(shù)也寫了出來(lái)，避免了對(duì)進(jìn)位結(jié)果的記憶。圖7是歐洲人計(jì)算 “748×632”，既有高位算起也有低位算起，其表達(dá)的原理和加減豎式基本一致。圖8是印度人對(duì)于進(jìn)位的處理，計(jì)算 “3709+9840+2618+706”，先算個(gè)位的“9+0+8+6”得 23，就在和的個(gè)位位置上寫“3”，并且向十位進(jìn)“2”，這個(gè)進(jìn)位的“2”就寫在下一行的十位處。也就是說(shuō)，印度人的豎式中出現(xiàn)了一個(gè)專門記錄進(jìn)位數(shù)的“進(jìn)位行”。對(duì)于減法計(jì)算，只不過(guò)“進(jìn)位行”變成了“退位行”，原先的加法計(jì)算變成了減法計(jì)算，如圖9。如個(gè)位上“2-3”不夠減，就從十位退“1”，因此在第四行“退位行”的十位上寫“1”。

圖6

圖7

圖8

圖9

對(duì)于加法豎式中的“進(jìn)位行”和減法豎式中的“借位行”，古代印度人的說(shuō)法英譯為“Obliterating Line”，意思是“可刪除的線”?，F(xiàn)在豎式中，這一行真的被刪除了，使得豎式的寫法更為簡(jiǎn)潔和濃縮。加法、減法、乘法豎式中，不必要記錄的刪除以及對(duì)計(jì)算過(guò)程中一些思考步驟的壓縮，到底是什么時(shí)候完成的，這已經(jīng)不重要了，重要的是現(xiàn)在看來(lái)如此規(guī)范的寫法，曾經(jīng)是那么繁瑣！

回顧歷史，一方面我們會(huì)感慨于現(xiàn)在紙筆豎式計(jì)算的簡(jiǎn)練，另一方面也會(huì)真切感受到繁瑣不一定就沒(méi)有價(jià)值，它把計(jì)算過(guò)程中的每一次思考表達(dá)得更為直白和淺顯。因此，我們也就不難理解，即便到現(xiàn)在，國(guó)外的小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中，紙筆豎式計(jì)算中還帶有如此“多余”的符號(hào)和寫法（如圖10），這種“多余”正是可貴的兒童視角的體現(xiàn)！

圖10

二、除法筆算的歷史演變

如同乘法的筆算歷史演進(jìn)脈絡(luò)為 “中國(guó)籌算——印度沙盤算——西方紙筆算”一樣，與現(xiàn)在最接近的除法筆算形式最早也誕生在中國(guó)，同樣也是通過(guò)算籌進(jìn)行的。同乘法運(yùn)算一樣，除法運(yùn)算也是分為三行：上行是商，中行是實(shí)（也就是被除數(shù)），下行是法（也就是除數(shù)）。除數(shù)除到被除數(shù)的哪一位，就把除數(shù)擺到被除數(shù)哪一位的下面，除完再往右移。比如計(jì)算5984÷16，5不夠被16除，就用59除以16，把除數(shù)16擺到被除數(shù)“59”下面，如圖11中第①步，16去除59商3，被除數(shù)還余1184，將16右移一位，如圖11中第②步，如此下去，直至得到最終結(jié)果374。若除不盡，就擺在那里成帶分?jǐn)?shù)形式。

圖11

這種除法，后來(lái)也以沙盤算的形式在印度出現(xiàn)，當(dāng)傳入阿拉伯后，因?yàn)樵诩埳嫌?jì)算的緣故，如同乘法計(jì)算一樣，他們逐步用斜線劃去無(wú)法直接抹去的數(shù)字，演算完畢就在紙上留下了一行又一行劃去的數(shù)字，整個(gè)算式好似一只帆船，這就是歷史上的帆船除法。帆船除法在歐洲盛行了相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間，直到17世紀(jì)末18世紀(jì)初才逐步被現(xiàn)行的除法所取代。

圖12

歷史上眾多運(yùn)算，已經(jīng)表明除法和減法運(yùn)算的內(nèi)在聯(lián)系。所以，17世紀(jì)末18世紀(jì)初，歐洲出現(xiàn)了如圖12所示的除法運(yùn)算。計(jì)算“1554÷37”，其基本思路是從1554中反復(fù)減去37，直到結(jié)果為0，減去的次數(shù)就是除法運(yùn)算的結(jié)果。為了使減去的次數(shù)盡量少，無(wú)疑首先設(shè)法從被除數(shù)中減去除數(shù)的整十倍（被除數(shù)如果足夠大，也可能首先設(shè)法減去除數(shù)的整百或整千倍）。因此，圖中第Ⅰ步減去“37”，實(shí)際上是減去了 370，還?！?18”，其中個(gè)位上的4省略沒(méi)寫。第Ⅱ步從 “118”中再減去“37”。

當(dāng)被除數(shù)和除數(shù)都比較大時(shí)，比如“22028148÷423”，無(wú)法一下子找到能從被除數(shù)中減去除數(shù)的多少倍數(shù)時(shí)，人們想出了首先羅列除數(shù)的倍數(shù)，而后從被除數(shù)的高位起逐步減去除數(shù)的合適倍數(shù)，如圖13。圖中最左邊部分，分別羅列了除數(shù)423的1～9倍各是多少，對(duì)照各個(gè)倍數(shù)，首先從22028148的前四位中減去423的5倍，并在被除數(shù)的右邊標(biāo)出第一次的商“5”。第一次減去除數(shù)的5倍后，還余“87”和被除數(shù)千位上的“8”合起來(lái)是 “878”，423的2倍最接近878……重復(fù)前面的過(guò)程，直至減的結(jié)果得0。這個(gè)除法運(yùn)算的表達(dá)，和現(xiàn)行教科書的寫法已無(wú)本質(zhì)區(qū)別，只不過(guò)省略了除數(shù)倍數(shù)的羅列以及商寫的位置有所不同。

圖13

和四則運(yùn)算中的其他運(yùn)算相比，除法運(yùn)算需要的思考是最復(fù)雜的，因此，人類對(duì)于除法筆算方法及其運(yùn)算過(guò)程記錄的探索也最為艱難。以732÷6為例，人類不斷優(yōu)化除法運(yùn)算筆算方法的過(guò)程大致呈現(xiàn)了如下的過(guò)程

圖14