“圓”中易錯點剖析

朱信化

“圓”中易錯點剖析

朱信化

在有關圓的計算或證明中，有些題目特別是無附圖題，經常會有多解的可能，我們在解題過程中，一定要認真審題，全面考慮，抓住關鍵，避免漏解.下面就常見的幾種類型加以總結，同學們復習時應加以重視.

例1（2016·黑龍江）若點O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底邊BC=2，則△ABC的面積為（）.

C.2+3或2-3D.4+2 3或2-3

圖1 （1）

圖1 （2）

【學生錯解】如圖1（1），∵點O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底邊BC=2，OB= OC，∴△OBC為等邊三角形，OB=OC=BC=2，作OD⊥BC于點D，∴CD=1，OD=3，則BC邊上的高為2+，所以△ABC的面積為2+，選A.

【分析】根據題意畫出所有情況的圖形，然后根據不同情況，求出相應的邊的長度，從而可以求出不同情況下△ABC的面積.

解：（1）如圖1（1），△ABC的面積為2+3；（2）如圖1（2），當點O在△ABC的外部時，易求BC邊上的高為2-3，所以△ABC的面積為2-.綜合可知△ABC的面積為2+3或2-，選C.

【特別提醒】由于O點可以在三角形的內部也可以在三角形的外部，因而解決問題應進行分類討論.

例2（2016·西寧）⊙O的半徑為1，弦AB=3，弦AC=2，則∠BAC度數為.

【學生錯解】如圖2（1）所示：

連接OA，過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∠OEA=∠OFA=90°，

圖2 （1）

圖2 （2）

【分析】連接OA，過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根據垂徑定理求出AE、FA的值，根據解直角三角形的知識，求出∠OAB和∠OAC的度數，然后分兩種情況求出∠BAC即可.

解：（1）如圖2（1），∠BAC=45°+30°=75°；（2）如圖2（2），同樣可求∠OAE=30°，∠OAF=45°，∴∠BAC=45°-30°=15°.答案應填15°或75°.

【特別提醒】弦可以在圓心的同側，也可以在圓心的兩側.

例3（2015·紹興）在Rt△ABC中，∠C= 90°，BC=3，AC=4，點P在以C為圓心，5為半徑的圓上，連接PA，PB.若PB=4，則PA的長為.

【學生錯解】如圖3（1），連接CP，

∵CP=5，CB=3，PB=4，∴CB2+PB2=CP2，

∴△CPB為直角三角形，∠CBP=90°，

∴PB∥AC，而PB=AC=4，

∴四邊形ACBP為矩形，

∴PA=BC=3.

圖3 （1）

圖3 （2）

【分析】連接CP，延長PB交⊙C于P′，如圖3（2），先計算出CB2+PB2=CP2，則根據勾股定理的逆定理得∠CBP=90°，再根據垂徑定理得到PB=P′B=4，接著證明四邊形ACBP為矩形，則PA=BC=3，然后在Rt△APP′中利用勾股定理計算出P′A=73，從而得到滿足條件的PA的長為3或73.

解：（1）如圖3（1），PA=3；

（2）如圖3（2），PB的延長線交⊙C于P′，同上面的解法可知四邊形ACBP為矩形，由BC⊥P′P，則P′B=PB=4，在Rt△APP′中，∵PA= 3，PP′=8，∴P′A=

∴PA的長為3或73.

【特別提醒】點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系.

例4已知⊙P的圓心P在直線y=2x-1的圖像上運動.

（1）若⊙P的半徑為2，當⊙P與x軸相切時，求點P的坐標.

（2）若⊙P的半徑為2，當⊙P與y軸相切時，求P點的坐標.

（3）若⊙P與x軸和y軸都相切時，⊙P的半徑是多少？

【學生錯解】（1）當⊙P與x軸相切時，P點的縱坐標為2.

（2）當⊙P與y軸相切時，P點的橫坐標2.∴y=2×2-1=3，∴P點的坐標為（2，3）.

（3）⊙P與x軸和y軸都相切時，橫坐標與縱坐標相等，即x=y，∴x=2x-1，即x=1，y=1，∴P點的坐標為（1，1）.

【分析】（1）當⊙P與x軸相切時，則P點到x軸的距離等于半徑2，所以P點縱坐標是2或-2，再求橫坐標即可；（2）同理可求當⊙P與y軸相切時，P點橫坐標是2或-2，再求P點的縱坐標即可；（3）若⊙P與x軸和y軸都相切時，P到兩坐標軸的距離相等，即橫坐標和縱坐標相等，可分為同號與異號.

解：（1）當⊙P與x軸相切時，P點的縱坐標為2或-2.∴2=2x-1，或-2=2x-1；

（2）當⊙P與y軸相切時，P點的橫坐標為2或-2.

∴y=2×2-1=3或y=2×（-2）-1=-5.

∴P點的坐標為（2，3）或（-2，-5）.

（3）⊙P與x軸和y軸都相切時，橫坐標與縱坐標絕對值相等即x=y，或y=-x.

∴x=2x-1，即x=1，y=1；或-x=2x-1，即x=∴P點的坐標為（1，1）

【特別提醒】此題重點考查了直線與圓相切時的性質.直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學）