蛋形斷面的正常水深和臨界水深的直接計算公式

卞曉衛(wèi)，鄭新橋，代述兵，簡 躍,馬玉蕾

(1.中國電建集團貴陽勘測設計研究院，貴州 貴陽 550081； 2.中國水電建設集團十五工程局有限公司， 陜西 西安 710068；3.大連理工大學建設工程學部，遼寧 大連 116024； 4.云南建工水利水電建設有限公司， 云南 昆明 650000)

蛋形斷面的正常水深和臨界水深的直接計算公式

卞曉衛(wèi)1，鄭新橋2，代述兵3，簡 躍4,馬玉蕾3

(1.中國電建集團貴陽勘測設計研究院，貴州 貴陽 550081； 2.中國水電建設集團十五工程局有限公司， 陜西 西安 710068；3.大連理工大學建設工程學部，遼寧 大連 116024； 4.云南建工水利水電建設有限公司， 云南 昆明 650000)

蛋形斷面的正常水深和臨界水深的計算公式為分段超越方程，無法直接求解。通過數學變換對正常水深和臨界水深公式化簡，最終得到充滿度x和無量綱正常水深參數H、無量綱臨界水深參數P之間的關系，利用1stopt軟件基于遺傳算法編程對給定非線性函數模型進行參數優(yōu)化擬合建立蛋形斷面正常水深和臨界水深的顯示計算公式。經過誤差分析及實例計算，表明在較大工程常用范圍內，蛋形斷面正常水深、臨界水深的最大相對誤差分別僅為0.3691%、-0.0726%。與現有公式比較直接計算公式適用范圍擴大，精度更高，形式較為簡捷。研究成果可為渠道工程設計和運行管理提供可靠的理論依據和有益參考。

蛋形斷面；正常水深；臨界水深；1stopt軟件；顯示計算公式

蛋形斷面是由底拱半徑0.5 r，側拱半徑3 r，頂拱半徑r的四段圓弧分別各自相切組成。蛋形斷面在城市給排水工程中應用較多，在輸水工程中亦有應用，其適用于過水流量變幅較大的工程，小流量工況比圓形斷面流速更大，因而具有更好的排沙沖淤效果，且蛋形斷面外形與壓力曲線較為接近，力學條件好，能很好地用于地質條件差圍巖壓力較大的工程，另外其豎向高度比橫向寬度大，因而其比圓形斷面更便于人工入洞維修。

李若冰[1]對上小下大六圓弧蛋形斷面的臨界水深進行了深入研究；武周虎[2]給出了蛋形斷面正常水深和臨界水深誤差較大的分段計算公式，且忽略掉了底拱部分的計算式；李風玲[3]給出了上小下大蛋形斷面正常水深的近似計算方法；滕凱[4-6]對蛋形斷面正常水深、臨界水深及其水面線均進行了研究，但其適用范圍偏小，誤差較大；BijankhanM[7]得到誤差達2%，且應用非常繁瑣的蛋形斷面均勻流水深的計算公式；RajkumarVRaikar[8]得到上小下大六圓弧蛋形斷面正常水深和臨界水深精度很高，但適用范圍稍小的直接計算公式；張新燕、呂宏興[9-10]對U型渠道和無壓圓形隧洞的正常水深用軟件模擬的方法進行了研究，得到了較好的結果。

蛋形斷面的正常水深和臨界水深計算公式均為復雜的高次隱函數，且蛋形的幾何特征決定其計算需分段計算，因而利用傳統(tǒng)的試算法和圖解法等根本無法滿足工程需要，本文利用數學變換，簡化了正常水深和臨界水深計算過程得到了充盈度x與無量綱正常水深H、無量綱臨界水深P之間的數學表達式，利用1stopt軟件，基于遺傳算法對給定的非線性函數模型進行編程擬合，得到了精度較高且將分段函數統(tǒng)一表達的計算結果，是目前所有計算結果中最優(yōu)的顯式計算公式。

圖1 蛋形過水斷面示意圖

Fig.1Egg-shapedflowsection

1 蛋形斷面幾何參數

(1)

(2)

(3)

2 正常水深顯式計算公式

正常水深計算公式：

(4)

式中，Q為蛋形斷面流量(m3·s-1)；A為過水斷面面積(m2)；χ為濕周(m)；i為隧洞底坡降；n為隧洞內壁粗糙系數。

當0≤x<1/15時，將式(1)中過水斷面面積A和濕周χ代入式(4)中可整理得到：

H=

(5)

當1/15≤x<2/3時，將式(2)中過水斷面面積A和濕周χ代入式(4)中可整理得到：

(6)

當2/3≤x≤1時，將式(3)中過水斷面面積A和濕周χ代入式(4)中可整理得到：

H=

(7)

理論上來說x∈[0,1]，但在實際工程中，小流量時x太小，則實際意義不大，大流量時避免明滿流過度且為了便于計算，x取值也未取得太大，以往文獻計算范圍取x∈[0.04,0.83]，本文取比以前研究結果更大的區(qū)間進行計算x∈[0.03,0.9]，相應H∈[0.00521,3.3179]。

x=

(8)

將求得的充盈度x代入式(9)可求得正常水深h：

h=3rx

(9)

3 臨界水深顯式計算公式

臨界流所應滿足的基本方程為：

(10)

式中，α為流速不均勻系數，一般取1；Q為蛋形斷面流量(m3·s-1)；g為重力加速度，取9.8 m·s-2；Ak為臨界水深時對應的過水斷面面積(m2)；Bk為臨界水深時的水面寬度(m)。

當0≤x<1/15時，將式(1)中過水斷面面積A、水面寬度B代入式(10)中可整理得到：

(11)

當1/15≤x<2/3時，將式(2)中過水斷面面積A、水面寬度B代入式(10)中可整理得到：

(12)

當2/3≤x≤1時，將式(3)中過水斷面面積A、水面寬度B代入式(10)中可整理得到：

(13)

理論上來說x∈[0,1]，但在實際工程中，小流量時x太小，則實際意義不大，大流量時避免明滿流過度且為了便于計算，x取值也未取得太大，以往文獻計算范圍取x∈[0.05,0.80],本文取比以前研究結果更大的區(qū)間進行計算x∈[0.03,0.9]，相應P∈[7.498×10-5，55.613]。

(14)

將求得的充盈度x代入下式可求得臨界水深h：

h=3rx

(15)

4 誤差分析及公式比較

圖2 相對誤差分布

Fig.2Relativeerrordistribution

如下為目前關于蛋形斷面正常水深、臨界水深的計算公式統(tǒng)計表：

表1 不同公式比較

本文公式與以往正常水深、臨界水深公式相比而言，適用范圍均更大，達到x∈[0.03,0.90]，精度均更高，正常水深最大誤差僅-0.39%，臨界水深最大誤差僅為-0.051%，且將分段函數的表達形式統(tǒng)一到一個計算表達式中來，計算更為便捷，具有較大的優(yōu)勢。

5 應用舉例

某輸水涵管為蛋形斷面,上半圓半徑r=0.5m,涵管底坡度i=0.0024,粗糙系數n=0.014,流量Q=1.4m·s-1，求均勻流正常水深和臨界水深。

解：正常水深：

臨界水深：

6 結 論

由于蛋形斷面正常水深和臨界水深公式均為無法直接求解的超越方程，且由幾段相切的圓弧連接而成，因而以前的研究成果均是繁瑣的分段函數、適用范圍小且誤差大，本文通過對方程代換變形得到了一個隱函數關系，通過給定充盈度x的取值區(qū)間得到了對應的無量綱正常水深參數H和無量綱臨界水深參數P的取值范圍，而后利用1stopt軟件基于遺傳算法編程對給定的非線性模型進行優(yōu)化擬合得到最優(yōu)參數，建立起蛋形斷面的正常水深和臨界水深的直接計算公式。通過誤差分析及實例計算表明：

1) 本文所建立的直接計算公式克服了以前成果的缺點，得到了非分段函數的統(tǒng)一表達關系，避免分段函數需要判斷分界點的不便，同時也避免了試算法，圖解法的繁瑣，并擴大了適用范圍，充盈度取值范圍擴大到x∈[0.03,0.9]，延展了取值范圍的上限和下限，使公式具有更好的通用性。

2) 公式物理概念明確，計算簡捷，計算精度高。所得正常水深、臨界水深計算公式誤差分別為-0.39%，-0.051%，具有較高精度，比以往任何公式的精度均更為精確，為工程設計和運行管理提供保證。

3) 本文利用1stopt軟件基于遺傳算法編程對給定的非線性函數模型進行優(yōu)化擬合，所得結果的相關系數可達到0.9999999以上，所得結果擬合精度很高，擬合效果好，是一種求解非線性擬合的好方法，也為水力學中眾多非線性問題開辟了一條新途徑。

[1] 李若冰，張志昌.明渠六圓弧蛋形斷面臨界水深和收縮斷面水深的計算[J].武漢大學學報(工學版)，2012,45(4):463-467.

[2] 武周虎.蛋形斷面明渠正常水深和臨界水深的簡化算法[J].人民長江，2014,45(4):73-76.

[3] 李風玲，文 輝，涂寧宇.蛋形斷面管道正常水深近似算法[J].人民長江，2008,39(18):77-78.

[4] 滕 凱.蛋形斷面隧洞正常水深的簡易算法[J].長江科學院院報，2013,30(12)：39-42.

[5] 滕 凱.蛋形斷面隧洞臨界水深的簡易算法[J].水利水電科技進展，2013,33(6)：33-39.

[6] 滕 凱.斷面無壓隧洞水面線解析算法[J].水利水電科技進展，2014,34(2)：64-67.

[7] Bijankhan M, Kouchakzadeh S. Egg-shaped cross section: Uniform flow direct solution and stability identification[J]. Flow Measurement and Instrumentation, 2011,22:511-516.

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[9] 張新燕，呂宏興，朱德蘭.U形渠道正常水深的直接水力計算公式[J].農業(yè)工程學報，2013,29(14):115-119.

[10] 張新燕，呂宏興.無壓圓形隧洞正常水深直接算法[J].水力發(fā)電學報，2014,33(1):127-131.

The explicit calculation formula of normal and critical water depth for egg-shaped section

BIAN Xiao-wei1， ZHENG Xin-qiao2， DAI Shu-bing3， JIAN Yue4， MA Yu-lei3

(1.PowerChinaGuiyangEngineeringCorporationLimited，Guiyang,Guizhou550811，China；2.SinohydroCorporationEngineeringBureau15Co.,Ltd.,Xi'an,Shaanxi710068,China;3.FacultyofInfrastructureEngineering,DalianUniversityofTechlonogy,Dalian,Liaoning116024,China;4.YunnanJiangongWaterResourceandHydroelectricConstructionCo.,Ltd.,Kunming,Yunnan650000,China)

The calculating formulas of normal and critical water depth for egg-shaped section are sectional transcendental equations, which can't be solved directly. In this article, the normal and critical depth formula is simplified by mathematical deformation, and then the relation of filling degreexwith nondimensional normal water depthHand nondimensional critical depthPis gotten. The 1stopt software is adopted to optimize and fit the established nonlinear model parameters based on genetic algorithm and set up the explicit calculation formula of normal and critical water depth for egg-shaped section. The error analysis and example calculation show that, within the large range of common project application, the largest relative errors of normal and critical water depth for egg-shaped section are just 0.3691% and -0.0726%, relatively. Compared with the existing formulas, the explicit formula is characterized by a larger application range, a higher precision and a more convenient calculation. The proposed formula will provide a theoretical basis and useful reference for project design, operation and management.

egg-shaped section; normal water depth; critical water depth;1stopt software; explicit calculation formula

1000-7601(2017)02-0191-04

10.7606/j.issn.1000-7601.2017.02.31

2015-12-18作者簡介：卞曉衛(wèi)，男，工程師，主要從事大壩安全監(jiān)測工作。

簡 躍，男，主要從事水利水電、房屋建筑施工工作。

TV131.4

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