“直觀感知”助你輕松求解幾道數(shù)列題

吳麗琴

福建省漳州第一中學(xué) (363000)

“直觀感知”助你輕松求解幾道數(shù)列題

吳麗琴

福建省漳州第一中學(xué) (363000)

數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)的一個重要組成部分，是歷屆高考試題考查的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)．高考數(shù)列試題常與不等式、函數(shù)、方程等知識交匯在一起綜合命制，對學(xué)生能力提出了較高的要求，要求學(xué)生具有較好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，較好地突出高考試題的甄別功能．正是如此，使得該類試題常成為考生高考高分路上的攔路虎，時常困擾著廣大考生．那么，如何破解這類問題呢？我們知道表示數(shù)列的方法通常有圖像法、列舉法、通項公式an=f(n)、遞推關(guān)系等，其中，遞推關(guān)系最抽象，通項公式次之.高考數(shù)列試題中數(shù)列的表示往往以抽象的形式出現(xiàn)(一般給出其遞推關(guān)系、通項公式)，如果能夠?qū)⑵渚唧w化、直觀化(列舉法、圖像法)，這有助于知道問題的來龍去脈，有助于形成正確的猜想，確立解題的思路[1]．

例1 ((2012年新課標(biāo)Ⅰ，理科))數(shù)列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1，則{an}的前60項和為________.

例2 (2014年新課標(biāo)Ⅰ理)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn-1，其中λ為常數(shù)．

(1)證明：an+2-an=λ；

(2)是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說明理由．

分析與解：(1)略；(2)由(1)及已知條件得出數(shù)列各項為，1，λ-1，λ+1，2λ-1，…，若{an}為等差數(shù)列，則2(λ-1)=1+λ+1，解得λ=4；當(dāng)λ=4時，數(shù)列各項為1，3，5，7，…，猜想{an}為等差數(shù)列，且公差為2．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)λ=4時，an+1-an=2，n∈N*．

當(dāng)λ=4時，①a2-a1=3-1=2，所以n=1時，等式成立；②假設(shè)ak+1-ak=2，?k∈N*，則由(1)及假設(shè)得，ak+2-ak+1=ak+4-ak+1=4-2=2，所以n=k+1時，等式也成立；由①②可知該等式成立．

例3 (2017年福建省高三畢業(yè)班單科質(zhì)檢，第12題)已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1=b1=1，an+1=an+2bn，bn+1=an+bn，則下列結(jié)論正確的是( ).

分析與解：由已知條件列出{an}、{bn}的前5項，畫出如下表格.

n12345…an1371741…bn1251229…

例4 (2015年陜西省理科第21題)設(shè)fn(x)是等比數(shù)列1，x，x2，…，xn的各項和，其中x>0，n∈N，n≥2．

(2)設(shè)有一個與上述等比數(shù)列的首項、末項、項數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項和為gn(x)，比較fn(x)和gn(x)的大小，并加以證明．

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(x)的最小值為0，回答下列問題：

(ⅰ)求實(shí)數(shù)a的值；

(ⅱ)已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=f(an)+2，記[x]表示不大于x的最大整數(shù)Sn=[a1]+[a2]+…+[an]，求Sn．

分析與解：(1)略；(2)(ⅰ)a=1；

圖1

下面證明：{an}是單調(diào)遞增，且當(dāng)n≥2，n∈N時，2≤an

(1)先證明當(dāng)n≥2，n∈N時，2≤an

(ⅰ)當(dāng)n=2時，a2=2∈[2,x0)，所以n=2時，不等式成立；

由上面幾道數(shù)列試題的解題過程，我們可以看出，若能將數(shù)列的項具體化、直觀化，則能幫助我們從不同視角理解題意，明確這道題的解題方向，因為解題思路的產(chǎn)生更多的源于直覺，源于我們對這道題目的直觀判斷，除非它是常規(guī)的題型，預(yù)期這道題的最終結(jié)果．直覺意義往往可以超越邏輯步驟，捷足先登的直達(dá)目標(biāo)，但具體到解答步驟，還是要回到數(shù)學(xué)的抽象表達(dá)，運(yùn)用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理[1]．

[1]裴光亞．從試題的直觀意義上獲取解題思路[J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊，2003年第10期.