一道高三月考題的解法分析

熊康松

湖北省武漢市黃陂區(qū)漢口北高級(jí)中學(xué) (430300)

一道高三月考題的解法分析

熊康松

湖北省武漢市黃陂區(qū)漢口北高級(jí)中學(xué) (430300)

每年全國(guó)各地的高考和調(diào)考試題，總會(huì)推出一些背景新穎，構(gòu)思精巧，具有相當(dāng)深度和明確導(dǎo)向的創(chuàng)新試題，這些試題知識(shí)面廣，切入點(diǎn)多，征服這些試題既充滿樂趣，更需要智慧和勇氣．

這是武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)2017屆高三12月月考理科第10題，是一道約束條件下，多元函數(shù)的最值(范圍)問題，屬于創(chuàng)新試題，題目短小精悍，簡(jiǎn)潔有力，考察了“基本不等式”“放縮法”“構(gòu)造法”等基本知識(shí)和方法，考察學(xué)生對(duì)含多個(gè)字母式子的變形能力、靈活運(yùn)用不等式知識(shí)解決問題的能力、以及邏輯推理能力．從考試結(jié)果來(lái)看，學(xué)生得分率極低，解法值得研究．下面給出筆者的一些思考：

法1：(排除法)由于是選擇題，“小題不能大做”，解題時(shí)若結(jié)合備選答案，靈活運(yùn)用“排除法”“特例法”“代入法”“極限法”“估值法”等解題策略可達(dá)到事半功倍的效果．

法2：(放縮法)放縮法是求解和證明不等式問題最常見和最重要的方法，放縮得好，解題往往簡(jiǎn)潔明了，本題中三角形的三邊需滿足三邊關(guān)系x+y>z，y+z>x，z+x>y，應(yīng)用這一條件放縮，是解題的關(guān)鍵．

法3:(換元法)若x,y,z為三角形的三條邊，則令x=a+b，y=b+c，z=a+c(a>0,b>0,c>0)，這是一種重要的換元方法(其中a,b,c表示三角形各頂點(diǎn)到三角形內(nèi)切圓各切點(diǎn)的切線長(zhǎng))．

法4：(主元法)含有多個(gè)變量的函數(shù)，可以將其中某個(gè)變量當(dāng)做“元”，其它變量看作常數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)來(lái)研究，這是一種通法.

點(diǎn)評(píng)：先將函數(shù)的自變量看作x，把y,z當(dāng)作常數(shù)，借助單調(diào)性在求出g(x)的下界確為g(y+z)后，再來(lái)研究式子g(y+z)的范圍，此時(shí)再將y,z看作變量，這樣就達(dá)到了將難點(diǎn)分步化解，各個(gè)擊破的目的，解題過程中讓變量“先靜再動(dòng)”，體現(xiàn)了“以靜制動(dòng)”的策略．

本題的后三種方法看似容易，其實(shí)不然，解題中我們要反思：為什么要這樣做？不這樣做不行嗎？還有沒有更加簡(jiǎn)單的解法？這或許是很值得進(jìn)一步思考的問題，要知道，我思故我在，且行且思，任何看似偶然的技巧背后，都有其必然．