☉江蘇省張家港市樂余高級中學(xué) 張士亮

優(yōu)化解析幾何題的幾種策略

☉江蘇省張家港市樂余高級中學(xué) 張士亮

解析幾何大題是很多高中學(xué)生比較頭痛的一塊，主要是因?yàn)檫\(yùn)算量太大.在高考中，解析幾何題歷年的得分率都不是很高，如果能在高考中結(jié)合其他知識點(diǎn)，簡化運(yùn)算，優(yōu)化解題過程，不僅可以節(jié)省時(shí)間，還可以提高正確率.

一、利用圓錐曲線定義巧解實(shí)際問題

圓錐曲線定義是反映問題最本真的東西，解題時(shí)若能把握好圓錐曲線的定義，一定會(huì)收到意想不到的效果.

圖1

分析：實(shí)際應(yīng)用問題要將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型來解決.

圖2

本解法綜合考查了橢圓的第一定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，并利用橢圓的第二定義求最小值問題，特別是第二定義的應(yīng)用，并借助了數(shù)形結(jié)合使問題得以解決.

從上面的解題過程我們可以看出：運(yùn)用圓錐曲線的定義解題，通過數(shù)形結(jié)合，不僅能抓住問題的本質(zhì)，還能避開復(fù)雜的運(yùn)算，使問題巧妙獲解.

二、利用直線的參數(shù)方程解題

參數(shù)方程是選修內(nèi)容，若能抓住其本質(zhì)，在問題解決過程中能起到舉足輕重的作用.

（Ⅰ）求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；

（Ⅱ）設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l′平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B，且與直線l交于點(diǎn)P.證明：存在常數(shù)λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|，并求λ的值.

設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2）.

在第（Ⅱ）問中，如果借助于直線的參數(shù)方程，可以有效地減少計(jì)算量

新解法利用直線參數(shù)方程中|t|的意義，直接代表曲線上的點(diǎn)到所給定點(diǎn)的距離，省去了原方法中求兩點(diǎn)之間距離化簡的步驟，直接聯(lián)立方程用韋達(dá)定理即可，因此有效減少了運(yùn)算量.在遇到圓錐曲線中涉及求到所給定點(diǎn)距離的，或者求共線向量內(nèi)積的，都可以借助直線的參數(shù)方程簡化運(yùn)算.

三、利用向量優(yōu)化解題過程

例3如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點(diǎn)A（2，4）.

（1）設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；

圖3

（2）設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且BC=OA，求直線l的方程；

高考原解：（1）圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-6）2+（y-1）2=1.

（2）直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0.（具體解答過程略）

（3）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）.

因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓M上，所以（x2-6）2+（y2-7）2=25.②

將①代入②，得（x1-t-4）2+（y1-3）2=25.

在第（3）問中，如果借助向量，可以有效地減少計(jì)算量.

新解法利用向量只研究大小和方向，借助向量的模進(jìn)行放縮，進(jìn)而達(dá)到求解問題的目的.相比原解法省略了設(shè)點(diǎn)代入方程的步驟，有效地減少了運(yùn)算量.在解決解析幾何問題時(shí)，能多聯(lián)系其他知識點(diǎn)，可以有效地減少運(yùn)算量，提高解題效率和準(zhǔn)確率.

四、利用設(shè)而不求及韋達(dá)定理優(yōu)化解題過程

對于“直線與圓錐曲線的位置關(guān)系”問題，通常將直線方程和曲線方程進(jìn)行聯(lián)立，消元后得到一個(gè)一元二次方程，再結(jié)合韋達(dá)定理、根的判別式等來處理相關(guān)問題，這類問題是以“設(shè)而不求，整體代換”來充分體現(xiàn)“劃歸與轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法，這是圓錐曲線綜合問題“通用”的解題策略.

例4已知橢圓C：x2+3y2=3，過點(diǎn)D（1，0）且不過點(diǎn)E（2，1）的直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，直線AE與直線x= 3交于點(diǎn)M.

（Ⅰ）求橢圓C的離心率；

（Ⅱ）若AB垂直于x軸，求直線BM的斜率；

（Ⅲ）試判斷直線BM與直線DE的位置關(guān)系，并說明理由.

（Ⅱ）因?yàn)锳B過點(diǎn)D（1，0）且垂直于x軸，所以可設(shè)A（1，y1），B（1，-y1）.

所以直線AE的方程為y-1=（1-y1）（x-2）.

（Ⅲ）直線BM與直線DE平行.證明如下：

當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，由（Ⅱ）可知kBM=1.

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=k（x-1）（k≠1）.

所以kBM=1=kDE，所以BM∥DE.

綜上可知，直線BM與直線DE平行.

本題的解法中是設(shè)出直線方程并與橢圓聯(lián)立，用直線AB的斜率k及A，B的橫坐標(biāo)x1，x2表示直線BM的斜率，在利用韋達(dá)定理將直線BM的斜率表示為k的形式，從而判斷直線BM與直線DE的位置關(guān)系，本解法采用了設(shè)而不求、韋達(dá)定理即斜率公式，避免了煩瑣的計(jì)算，進(jìn)而使問題順利得到解決.

總之，我們需要在解題過程中綜合其他不同的知識點(diǎn)，關(guān)注知識點(diǎn)之間的融合，引導(dǎo)學(xué)生反思、總結(jié)、提煉，長期以往，就一定能收到良好的教學(xué)效果.F