PSO優(yōu)化的六自由度機(jī)械臂全局快速終端滑?？刂?/h1>
2017-05-16 07:07:52王琥胡立坤譚穎
智能系統(tǒng)學(xué)報(bào) 2017年2期
王琥，胡立坤，譚穎
(廣西大學(xué) 電氣工程學(xué)院，廣西 南寧 530004)
PSO優(yōu)化的六自由度機(jī)械臂全局快速終端滑?？刂?/p>
王琥，胡立坤，譚穎
(廣西大學(xué) 電氣工程學(xué)院，廣西 南寧 530004)
針對(duì)六自由度機(jī)械臂控制系統(tǒng)，提出一種基于粒子群優(yōu)化(PSO)算法的全局快速終端滑?？刂品椒ǎ愿蟪潭鹊販p小系統(tǒng)的抖振，提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度。對(duì)于機(jī)械臂多輸入多輸出的特點(diǎn)，為了方便設(shè)計(jì)，將系統(tǒng)劃分為6個(gè)二階子系統(tǒng)，對(duì)各個(gè)關(guān)節(jié)進(jìn)行設(shè)計(jì)，分析克服控制律的奇異性，同時(shí)運(yùn)用Lyapunov理論證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并基于PSO算法完成控制參數(shù)的優(yōu)化。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：優(yōu)化后的控制方法不僅可以提高系統(tǒng)的快速性，還可以明顯減小系統(tǒng)的抖振，使系統(tǒng)具有良好的動(dòng)靜態(tài)性能。
自動(dòng)控制技術(shù)；六自由度機(jī)械臂；李雅普諾夫理論；PSO算法；全局快速終端滑模；控制律；抖振
隨著德國(guó)工業(yè)4.0普及，機(jī)器人被廣泛應(yīng)用在各個(gè)領(lǐng)域，成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的熱點(diǎn)之一。其控制問(wèn)題的解決方法已有很多，如文獻(xiàn)[1-4]提出的自適應(yīng)魯棒控制和模糊PID控制等?；１粡V泛應(yīng)用在機(jī)器人控制、電機(jī)控制、航天發(fā)動(dòng)機(jī)等方面。其原理主要為利用輸入的控制信號(hào)不斷做切換，使得系統(tǒng)不斷逼近預(yù)設(shè)好的滑模面，從而使誤差逐漸減小。文獻(xiàn)[5]提出了一種積分次優(yōu)化的二階滑模，利用其在三自由度的工業(yè)機(jī)器人上的軌跡跟蹤，并與典型的PD控制器、次優(yōu)化的二階滑模三者進(jìn)行比較。文獻(xiàn)[6]利用非線性阻尼和終端滑模對(duì)機(jī)械手進(jìn)行控制，使其穩(wěn)定性得于提高；文獻(xiàn)[7]利用高階滑模對(duì)單自由度機(jī)械手進(jìn)行控制；文獻(xiàn)[8]提出了融合自適應(yīng)模糊算法和滑模，對(duì)機(jī)器人進(jìn)行控制，提高了被控系統(tǒng)的魯棒性。然而，傳統(tǒng)滑模的控制機(jī)理是在不同的控制邏輯之間來(lái)回切換，因此，勢(shì)必存在時(shí)間滯后、空間滯后、系統(tǒng)慣性等因素，導(dǎo)致被控系統(tǒng)容易出現(xiàn)抖振現(xiàn)象。抖振的存在,使得系統(tǒng)狀態(tài)在平衡狀態(tài)之間來(lái)回切換，導(dǎo)致被控系統(tǒng)出現(xiàn)跟蹤誤差。工業(yè)機(jī)器人控制對(duì)于精確性有著嚴(yán)苛的要求，對(duì)于末端執(zhí)行器的跟蹤誤差應(yīng)達(dá)到工業(yè)要求，否則會(huì)降低被控系統(tǒng)的準(zhǔn)確度。當(dāng)跟蹤誤差過(guò)大時(shí)，甚至?xí)ぐl(fā)高頻未建模態(tài)，使工業(yè)機(jī)器人處于不受控狀態(tài)。近年來(lái)，諸多學(xué)者針對(duì)抖振現(xiàn)象提出了不同的改進(jìn)方法，從而有效的減小被控系統(tǒng)的抖振問(wèn)題，主要包括趨近律方法，觀測(cè)方法，智能控制方法，動(dòng)態(tài)滑模方法等。在人工智能迅速崛起的基礎(chǔ)上，大多的學(xué)者主要采用智能控制與不同形式的滑模相結(jié)合的控制方法，如文獻(xiàn)[9]提出的改進(jìn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)滑模控制；文章[10-11]采用基于智能算法(GA,PSO)的滑模控制。全局快速終端滑模是在傳統(tǒng)滑模的基礎(chǔ)上引入非線性函數(shù)，既保證了系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面，又使得系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到平衡點(diǎn)時(shí)，誤差可以快速收斂至零，達(dá)到全局快速收斂的目的。具有減小系統(tǒng)抖振，提高系統(tǒng)動(dòng)靜態(tài)的優(yōu)點(diǎn)。
為了提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度和減小系統(tǒng)抖振等動(dòng)靜態(tài)性能，本文提出一種基于PSO優(yōu)化的全局快速終端滑模的六自由度機(jī)器臂控制，分析與克服全局快速終端滑模的奇異性，給出了系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間，并通過(guò)仿真和實(shí)驗(yàn)兩方面驗(yàn)證該控制策略的準(zhǔn)確性和可行性。
1 機(jī)械臂滑?？刂葡到y(tǒng)
1.1 六自由度機(jī)械臂數(shù)學(xué)模型
利用Euler-Lagrange方法，不考慮外部未知干擾力作用，在關(guān)節(jié)坐標(biāo)中建立六自由度機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型如下：
(1)
(2)
由于六自由度機(jī)器人具有MIMO特性，為了實(shí)現(xiàn)對(duì)其控制的目標(biāo)，將其分解成單關(guān)節(jié)的子系統(tǒng)，由式(2)可有
(3)
令
(4)
由式(3)、(4)可得單關(guān)節(jié)的角加速度為
(5)
式中Gi為i軸的重力加速度，i=1,2,…,6。
令：
則有
(6)
式中：f(x)、g(x)為R域中光滑的連續(xù)函數(shù)。
如式(6)所示的二階非線性方程即表示為六自由度機(jī)械臂的各個(gè)關(guān)節(jié)子系統(tǒng)。此法好處在于將六自由度機(jī)械臂模型轉(zhuǎn)換成相互獨(dú)立的子系統(tǒng)，方便后期的設(shè)計(jì)與優(yōu)化。
1.2 滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
設(shè)單關(guān)節(jié)的常規(guī)全局快速終端滑?？刂破鞯幕Ｃ婧瘮?shù)為
(7)
式中p(8)
由式(7)求導(dǎo)可得
(9)
由式(6)、(8)、(9)可得
(10)
故此選取位置控制規(guī)律為
(11)
式中h為指數(shù)趨近律，定義為
(12)
由位置控制律式(11)可知，當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)接近至設(shè)定值時(shí)，即e≈0之時(shí)，因?yàn)閜-q/q<0，則ep-q/q接近于無(wú)窮大，及證明式(11)存在奇異問(wèn)題。在實(shí)際的控制中，奇異的存在容易被控系統(tǒng)失調(diào)。為了克服奇異問(wèn)題，選取滑模面為
(13)
同理，可得控制律為
(14)
通過(guò)解方程(7)si=0得，系統(tǒng)滑動(dòng)模態(tài)上任意狀態(tài)ei(0)≠0至平衡狀態(tài)的時(shí)間為
(15)
通過(guò)解h(s)=0得，系統(tǒng)從狀態(tài)空間任意一點(diǎn)到達(dá)滑動(dòng)模態(tài)上的時(shí)間為
(16)
由式(15)、(16)可知，單關(guān)節(jié)系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間由到達(dá)時(shí)間和滑模運(yùn)動(dòng)時(shí)間決定；時(shí)間參數(shù)與αi、βi、γi、φi4個(gè)參數(shù)息息相關(guān)，因此對(duì)于控制律參數(shù)的優(yōu)化有重要的意義。
為了使滑模面在被控系統(tǒng)發(fā)生滑動(dòng)模式，則必須滿足Lyapunov穩(wěn)定性。證明如下。選取Lyapunov函數(shù)為
V=si2/2
(17)
則有
(18)
綜合式(7)、(8)、(13)、(14)有
2 PSO優(yōu)化機(jī)械臂滑?？刂葡到y(tǒng)
PSO算法是Kennedy博士和Eberhart博士通過(guò)對(duì)鳥群覓食的集體協(xié)作行為的研究，于20世紀(jì)90年代首次提出的計(jì)算優(yōu)化算法。該算法是基于群體迭代，追求解空間中的最優(yōu)粒子，具有簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)、收斂速度快、全局搜索能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，適用于科研以及工程應(yīng)用。算法的搜索機(jī)制可描述為，以解空間中的任意一點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，基于設(shè)定的適應(yīng)度函數(shù)為個(gè)體最優(yōu)解保留標(biāo)準(zhǔn)，通過(guò)群體的更新迭代，尋求出解空間中的最優(yōu)解。假設(shè)，問(wèn)題的解空間為D維，初始的粒子群體規(guī)模為n，以初始種群中的一點(diǎn)為尋求解的出發(fā)點(diǎn)，以適應(yīng)度函數(shù)為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，通過(guò)粒子迭代更新，尋求出個(gè)體極值以及全局最優(yōu)值。粒子的迭代更新規(guī)則如下所示。
(19)
式中：k為迭代次數(shù)，ω為慣性權(quán)重，c1、c2分別為局部學(xué)習(xí)因子和全局學(xué)習(xí)因子。隨機(jī)數(shù)r1,r2∈[0,1]。p為個(gè)體極值，Si為當(dāng)前整種群最優(yōu)值。
基于PSO優(yōu)化的全局快速終端滑?？刂频牧杂啥裙I(yè)機(jī)械臂系統(tǒng)如圖1所示。由圖1可知，以六自由度機(jī)械臂的各個(gè)關(guān)節(jié)的角度和其輸入的控制量作為PSO的輸入項(xiàng)，通過(guò)迭代優(yōu)化，調(diào)整αi、βi、φi、γi參數(shù)，從而達(dá)到改善系統(tǒng)性能的目的。
圖1 基于PSO優(yōu)化的全局快速終端滑?？刂葡到y(tǒng)Fig.1 Controlled 6-DOF manipulator via PSO-GFTSM
為保證被控系統(tǒng)擁有良好的動(dòng)靜態(tài)性能，同時(shí)防止系統(tǒng)控制量的輸出過(guò)大。因此，PSO優(yōu)化的最小目標(biāo)函數(shù)的參數(shù)選定為：誤差的絕對(duì)值的時(shí)間積分和系統(tǒng)控制量輸出的平方，參照文獻(xiàn)[13]，單關(guān)節(jié)最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)定為
式中：ω1、ω2、ω3為權(quán)重系數(shù)，ei(t)為i關(guān)節(jié)的跟蹤誤差，tiu為i關(guān)節(jié)上升時(shí)間。同時(shí)，為了避免超調(diào)對(duì)系統(tǒng)的影響，在優(yōu)化函數(shù)中加入懲罰函數(shù)，即當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)超調(diào)σi時(shí)，改寫為
滑模最終的控制目標(biāo)在于使系統(tǒng)響應(yīng)快，超調(diào)小，因此，參照文獻(xiàn)[13]，對(duì)于誤差、上升時(shí)間、超調(diào)、控制量的權(quán)重進(jìn)行折衷選擇，文中取ω1=0.999,ω2=0.001,ω3=2.0,ω4=200。
3 仿真及實(shí)驗(yàn)結(jié)果
3.1 仿真研究
為了驗(yàn)證上述控制算法的準(zhǔn)確性和可行性，基于上述建立的六自由度工業(yè)機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型，按照?qǐng)D1所示的框架圖，利用全局快速終端滑模對(duì)其各個(gè)關(guān)節(jié)進(jìn)行PSO離線優(yōu)化仿真。
問(wèn)題解域的確定：由式(15)、(16)可知，系統(tǒng)狀態(tài)至平衡狀態(tài)的總時(shí)間為：t=ts+tr;系統(tǒng)的快速性主要由αi和γi決定，其值越大，快速性越強(qiáng)，同時(shí)，其值過(guò)大，輸出的控制量越大，過(guò)一定值可引發(fā)機(jī)械臂劇烈振蕩，而βi和φi可調(diào)節(jié)控制精度與抖振振幅。鑒于機(jī)械臂本身的力矩輸出受限，設(shè)定的控制量輸出范圍為:τi∈[-10,10]N·m。鑒于控制量的范圍，設(shè)置4個(gè)參數(shù)的解域?yàn)椋害羒,βi,φi,γi∈[0,10]，PSO算法種群的數(shù)量為25，迭代的最大數(shù)為100。優(yōu)化步驟采用單軸分別優(yōu)化，即當(dāng)前優(yōu)化的軸輸入信號(hào)為階躍信號(hào)，其他軸輸入信號(hào)為0，直至優(yōu)化機(jī)械臂的6個(gè)軸。單軸優(yōu)化步驟為：
2)運(yùn)行20s為一個(gè)周期，利用式(21)計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)度，比較保存最優(yōu)值；
4)根據(jù)PSO動(dòng)力方程式(19)進(jìn)行粒子的更新；
5)判斷是否達(dá)到終止條件(最大迭代步數(shù)或精度要求)，若否，則進(jìn)入2)繼續(xù)搜索。
經(jīng)過(guò)6個(gè)軸的分別優(yōu)化后，見(jiàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2。
圖2 1號(hào)軸優(yōu)化函數(shù)曲線Fig.2 Fitness curve of Joint 1
圖2表示的為一號(hào)軸(基座)的適應(yīng)度函數(shù)值J收斂過(guò)程。由圖知，迭代至10次左右收斂。
經(jīng)過(guò)PSO離線優(yōu)化的終止條件，可得6個(gè)軸的滑?？刂破鞯淖顑?yōu)參數(shù)見(jiàn)表1。
表1 PSO優(yōu)化滑模參數(shù)
3.2 實(shí)驗(yàn)研究
實(shí)驗(yàn)用的六自由度機(jī)械臂是由Googol公司生產(chǎn)，采樣周期為0.002 s。硬件平臺(tái)使用CPAC結(jié)構(gòu)，CPAC可將PC機(jī)開放、靈活的軟件體系結(jié)構(gòu)與PLC相結(jié)合，并實(shí)現(xiàn)了與DSP運(yùn)動(dòng)控制技術(shù)的無(wú)縫連接，上位機(jī)軟件為OtoStudio。整個(gè)系統(tǒng)的硬件結(jié)構(gòu)組成如圖3。
圖3 CPAC硬件結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Structure of CPAC
為解決控制算法在上位機(jī)的實(shí)現(xiàn)難題，控制算法的角度、角速度等表示為
(22)
實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖4表明，優(yōu)化后的全局快速終端滑模控制策略較之優(yōu)化之前系統(tǒng)的上升時(shí)間更短，響應(yīng)速度更快，兩者皆避免了超調(diào)現(xiàn)象的出現(xiàn)，減小了機(jī)械的來(lái)回摩擦造成的磨損。對(duì)于穩(wěn)態(tài)階段如95～100s，圖4(a)～(c)和(f)的階躍響應(yīng)表明，優(yōu)化前的穩(wěn)態(tài)誤差范圍為[0.05°，0.2°]，優(yōu)化后的穩(wěn)態(tài)時(shí)刻，幾乎與設(shè)定值重合。圖4(d)～(e)的正弦跟蹤響應(yīng)表明優(yōu)化前跟蹤誤差范圍為[1.5°，4°]，優(yōu)化后的跟蹤誤差為[0.3°，0.6°]。在末端執(zhí)行器軌跡中，通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算，優(yōu)化前的誤差范圍為：[5.2-11.0]mm，優(yōu)化后的誤差范圍為：[0.8，4.2]mm。因此，優(yōu)化后的控制算法擁有響應(yīng)速度快，無(wú)超調(diào)，跟蹤精度高的優(yōu)點(diǎn)。
(a) θ1
(b) θ2
(c) θ3
(d) θ4
(e) θ5
(f) θ6 圖4 基于PSO優(yōu)化全局快速終端滑模實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.4 Experimental result of PSO-GFTSM
由圖5、6可知，在接近設(shè)定值時(shí)，圖5仍有力矩在輸出，說(shuō)明未優(yōu)化的趨近速度較慢；在正弦跟蹤方面，優(yōu)化后的調(diào)節(jié)速度快于優(yōu)化前的速度。各軸的輸出力矩表明，各軸力矩并未在零附近來(lái)回切換，表明，此法可消除抖振。因此，優(yōu)化后的滑模算法有利于工業(yè)機(jī)械臂實(shí)現(xiàn)快速準(zhǔn)確定位，在物品搬運(yùn)、零件裝備、點(diǎn)焊等方面有一定的優(yōu)勢(shì)。
圖5 基于GFTSM各關(guān)節(jié)控制器輸出Fig.5 Control moment of each joint based on GFTSM
圖6 基于PSO-GFTSM各關(guān)節(jié)控制器輸出Fig.6 Control moment of each joint based on PSO-GFTSM
4 結(jié)束語(yǔ)
針對(duì)六自由度工業(yè)機(jī)械臂控制問(wèn)題，考慮機(jī)械臂本身的MIMO特性，將其分解成單關(guān)節(jié)SISO系統(tǒng)，在全局快速終端變結(jié)構(gòu)滑?？刂频幕A(chǔ)上，分析并克服了全局快速終端滑?？刂频钠娈愋?，同時(shí)采用PSO優(yōu)化其控制律參數(shù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：相比于優(yōu)化前的滑模控制，基于PSO優(yōu)化的全局快速終端滑模算法可以更加有效地減小被控系統(tǒng)的抖振問(wèn)題，減小系統(tǒng)的上升時(shí)間，跟蹤誤差更小，可縮短滑模系統(tǒng)收斂時(shí)間，提高系統(tǒng)的動(dòng)靜態(tài)性能。
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王琥，男，1990年生，碩士生，研究方向?yàn)闄C(jī)器人視覺(jué)、機(jī)器人控制以及軌跡規(guī)劃。
胡立坤，男，1977年生，研究生導(dǎo)師，主要研究方向是非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與控制、光/風(fēng)/蓄分布式電源轉(zhuǎn)換與控制、工業(yè)測(cè)控網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用。已發(fā)表核心期刊學(xué)術(shù)論文50余篇，其中SCI收錄2篇，Ei收錄14篇；獲得軟件著作權(quán)1項(xiàng)；獲得實(shí)用新型專利1項(xiàng)；申請(qǐng)發(fā)明專利8項(xiàng)。
A PSO-based global fast terminal sliding mode controllerfor 6-DOF manipulators
WANG Hu, HU Likun, TAN Ying
(College of Electrical Engineering， Guangxi University, Nanning 530004, China)
In this paper, we propose a global fast terminal sliding mode (GFTSM) control method based on particle swarm optimization (PSO) for the 6-DOF (degrees of freedom) manipulator control system to reduce chattering and improve response times of the system. We divided the multi-input multi-output (MIMO) 6-DOF system into six second-order subsystems, each joint designed and analyzed to overcome the singularity of control law. Further, we demonstrated the stability of our system using Lyapunov theory and optimized the control parameters based on the PSO algorithm. Our simulation results show that the optimized control method not only improves the speed and response times of the system, but also reduces the chattering, thus producing a system with good dynamics and static performance.
automatic control technology; 6-DOF manipulator; Lyapunov theory; PSO algorithm; global fast terminal sliding mode; control law; chattering
2016-05-24.
日期：2017-02-17.
廣西自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2012GXNSFBA053144).
胡立坤. E-mail：hlk3email@163.com.
10.11992/tis.201605024
http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1538.tp.20170217.0954.004.html
TP24
A
1673-4785(2017)02-0266-06
王琥，胡立坤，譚穎. PSO優(yōu)化的六自由度機(jī)械臂全局快速終端滑?？刂芠J]. 智能系統(tǒng)學(xué)報(bào)， 2017, 12(2): 266-271.
英文引用格式：WANG Hu, HU Likun, TAN Ying. A PSO-based global fast terminal sliding mode controller for 6-DOF manipulators[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2017, 12(2): 266-271.
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王琥，胡立坤，譚穎
(廣西大學(xué) 電氣工程學(xué)院，廣西 南寧 530004)
PSO優(yōu)化的六自由度機(jī)械臂全局快速終端滑?？刂?/p>
王琥，胡立坤，譚穎
(廣西大學(xué) 電氣工程學(xué)院，廣西 南寧 530004)
針對(duì)六自由度機(jī)械臂控制系統(tǒng)，提出一種基于粒子群優(yōu)化(PSO)算法的全局快速終端滑?？刂品椒ǎ愿蟪潭鹊販p小系統(tǒng)的抖振，提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度。對(duì)于機(jī)械臂多輸入多輸出的特點(diǎn)，為了方便設(shè)計(jì)，將系統(tǒng)劃分為6個(gè)二階子系統(tǒng)，對(duì)各個(gè)關(guān)節(jié)進(jìn)行設(shè)計(jì)，分析克服控制律的奇異性，同時(shí)運(yùn)用Lyapunov理論證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并基于PSO算法完成控制參數(shù)的優(yōu)化。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：優(yōu)化后的控制方法不僅可以提高系統(tǒng)的快速性，還可以明顯減小系統(tǒng)的抖振，使系統(tǒng)具有良好的動(dòng)靜態(tài)性能。
自動(dòng)控制技術(shù)；六自由度機(jī)械臂；李雅普諾夫理論；PSO算法；全局快速終端滑模；控制律；抖振
隨著德國(guó)工業(yè)4.0普及，機(jī)器人被廣泛應(yīng)用在各個(gè)領(lǐng)域，成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的熱點(diǎn)之一。其控制問(wèn)題的解決方法已有很多，如文獻(xiàn)[1-4]提出的自適應(yīng)魯棒控制和模糊PID控制等?；１粡V泛應(yīng)用在機(jī)器人控制、電機(jī)控制、航天發(fā)動(dòng)機(jī)等方面。其原理主要為利用輸入的控制信號(hào)不斷做切換，使得系統(tǒng)不斷逼近預(yù)設(shè)好的滑模面，從而使誤差逐漸減小。文獻(xiàn)[5]提出了一種積分次優(yōu)化的二階滑模，利用其在三自由度的工業(yè)機(jī)器人上的軌跡跟蹤，并與典型的PD控制器、次優(yōu)化的二階滑模三者進(jìn)行比較。文獻(xiàn)[6]利用非線性阻尼和終端滑模對(duì)機(jī)械手進(jìn)行控制，使其穩(wěn)定性得于提高；文獻(xiàn)[7]利用高階滑模對(duì)單自由度機(jī)械手進(jìn)行控制；文獻(xiàn)[8]提出了融合自適應(yīng)模糊算法和滑模，對(duì)機(jī)器人進(jìn)行控制，提高了被控系統(tǒng)的魯棒性。然而，傳統(tǒng)滑模的控制機(jī)理是在不同的控制邏輯之間來(lái)回切換，因此，勢(shì)必存在時(shí)間滯后、空間滯后、系統(tǒng)慣性等因素，導(dǎo)致被控系統(tǒng)容易出現(xiàn)抖振現(xiàn)象。抖振的存在,使得系統(tǒng)狀態(tài)在平衡狀態(tài)之間來(lái)回切換，導(dǎo)致被控系統(tǒng)出現(xiàn)跟蹤誤差。工業(yè)機(jī)器人控制對(duì)于精確性有著嚴(yán)苛的要求，對(duì)于末端執(zhí)行器的跟蹤誤差應(yīng)達(dá)到工業(yè)要求，否則會(huì)降低被控系統(tǒng)的準(zhǔn)確度。當(dāng)跟蹤誤差過(guò)大時(shí)，甚至?xí)ぐl(fā)高頻未建模態(tài)，使工業(yè)機(jī)器人處于不受控狀態(tài)。近年來(lái)，諸多學(xué)者針對(duì)抖振現(xiàn)象提出了不同的改進(jìn)方法，從而有效的減小被控系統(tǒng)的抖振問(wèn)題，主要包括趨近律方法，觀測(cè)方法，智能控制方法，動(dòng)態(tài)滑模方法等。在人工智能迅速崛起的基礎(chǔ)上，大多的學(xué)者主要采用智能控制與不同形式的滑模相結(jié)合的控制方法，如文獻(xiàn)[9]提出的改進(jìn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)滑模控制；文章[10-11]采用基于智能算法(GA,PSO)的滑模控制。全局快速終端滑模是在傳統(tǒng)滑模的基礎(chǔ)上引入非線性函數(shù)，既保證了系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面，又使得系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到平衡點(diǎn)時(shí)，誤差可以快速收斂至零，達(dá)到全局快速收斂的目的。具有減小系統(tǒng)抖振，提高系統(tǒng)動(dòng)靜態(tài)的優(yōu)點(diǎn)。
為了提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度和減小系統(tǒng)抖振等動(dòng)靜態(tài)性能，本文提出一種基于PSO優(yōu)化的全局快速終端滑模的六自由度機(jī)器臂控制，分析與克服全局快速終端滑模的奇異性，給出了系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間，并通過(guò)仿真和實(shí)驗(yàn)兩方面驗(yàn)證該控制策略的準(zhǔn)確性和可行性。
1 機(jī)械臂滑?？刂葡到y(tǒng)
1.1 六自由度機(jī)械臂數(shù)學(xué)模型
利用Euler-Lagrange方法，不考慮外部未知干擾力作用，在關(guān)節(jié)坐標(biāo)中建立六自由度機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型如下：
(1)
(2)
由于六自由度機(jī)器人具有MIMO特性，為了實(shí)現(xiàn)對(duì)其控制的目標(biāo)，將其分解成單關(guān)節(jié)的子系統(tǒng)，由式(2)可有
(3)
令
(4)
由式(3)、(4)可得單關(guān)節(jié)的角加速度為
(5)
式中Gi為i軸的重力加速度，i=1,2,…,6。
令：
則有
(6)
式中：f(x)、g(x)為R域中光滑的連續(xù)函數(shù)。
如式(6)所示的二階非線性方程即表示為六自由度機(jī)械臂的各個(gè)關(guān)節(jié)子系統(tǒng)。此法好處在于將六自由度機(jī)械臂模型轉(zhuǎn)換成相互獨(dú)立的子系統(tǒng)，方便后期的設(shè)計(jì)與優(yōu)化。
1.2 滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
設(shè)單關(guān)節(jié)的常規(guī)全局快速終端滑?？刂破鞯幕Ｃ婧瘮?shù)為
(7)
式中p (8) 由式(7)求導(dǎo)可得 (9) 由式(6)、(8)、(9)可得 (10) 故此選取位置控制規(guī)律為 (11) 式中h為指數(shù)趨近律，定義為 (12) 由位置控制律式(11)可知，當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)接近至設(shè)定值時(shí)，即e≈0之時(shí)，因?yàn)閜-q/q<0，則ep-q/q接近于無(wú)窮大，及證明式(11)存在奇異問(wèn)題。在實(shí)際的控制中，奇異的存在容易被控系統(tǒng)失調(diào)。為了克服奇異問(wèn)題，選取滑模面為 (13) 同理，可得控制律為 (14) 通過(guò)解方程(7)si=0得，系統(tǒng)滑動(dòng)模態(tài)上任意狀態(tài)ei(0)≠0至平衡狀態(tài)的時(shí)間為 (15) 通過(guò)解h(s)=0得，系統(tǒng)從狀態(tài)空間任意一點(diǎn)到達(dá)滑動(dòng)模態(tài)上的時(shí)間為 (16) 由式(15)、(16)可知，單關(guān)節(jié)系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間由到達(dá)時(shí)間和滑模運(yùn)動(dòng)時(shí)間決定；時(shí)間參數(shù)與αi、βi、γi、φi4個(gè)參數(shù)息息相關(guān)，因此對(duì)于控制律參數(shù)的優(yōu)化有重要的意義。 為了使滑模面在被控系統(tǒng)發(fā)生滑動(dòng)模式，則必須滿足Lyapunov穩(wěn)定性。證明如下。選取Lyapunov函數(shù)為 V=si2/2 (17) 則有 (18) 綜合式(7)、(8)、(13)、(14)有 PSO算法是Kennedy博士和Eberhart博士通過(guò)對(duì)鳥群覓食的集體協(xié)作行為的研究，于20世紀(jì)90年代首次提出的計(jì)算優(yōu)化算法。該算法是基于群體迭代，追求解空間中的最優(yōu)粒子，具有簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)、收斂速度快、全局搜索能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，適用于科研以及工程應(yīng)用。算法的搜索機(jī)制可描述為，以解空間中的任意一點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，基于設(shè)定的適應(yīng)度函數(shù)為個(gè)體最優(yōu)解保留標(biāo)準(zhǔn)，通過(guò)群體的更新迭代，尋求出解空間中的最優(yōu)解。假設(shè)，問(wèn)題的解空間為D維，初始的粒子群體規(guī)模為n，以初始種群中的一點(diǎn)為尋求解的出發(fā)點(diǎn)，以適應(yīng)度函數(shù)為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，通過(guò)粒子迭代更新，尋求出個(gè)體極值以及全局最優(yōu)值。粒子的迭代更新規(guī)則如下所示。 (19) 式中：k為迭代次數(shù)，ω為慣性權(quán)重，c1、c2分別為局部學(xué)習(xí)因子和全局學(xué)習(xí)因子。隨機(jī)數(shù)r1,r2∈[0,1]。p為個(gè)體極值，Si為當(dāng)前整種群最優(yōu)值。 基于PSO優(yōu)化的全局快速終端滑?？刂频牧杂啥裙I(yè)機(jī)械臂系統(tǒng)如圖1所示。由圖1可知，以六自由度機(jī)械臂的各個(gè)關(guān)節(jié)的角度和其輸入的控制量作為PSO的輸入項(xiàng)，通過(guò)迭代優(yōu)化，調(diào)整αi、βi、φi、γi參數(shù)，從而達(dá)到改善系統(tǒng)性能的目的。 圖1 基于PSO優(yōu)化的全局快速終端滑?？刂葡到y(tǒng)Fig.1 Controlled 6-DOF manipulator via PSO-GFTSM 為保證被控系統(tǒng)擁有良好的動(dòng)靜態(tài)性能，同時(shí)防止系統(tǒng)控制量的輸出過(guò)大。因此，PSO優(yōu)化的最小目標(biāo)函數(shù)的參數(shù)選定為：誤差的絕對(duì)值的時(shí)間積分和系統(tǒng)控制量輸出的平方，參照文獻(xiàn)[13]，單關(guān)節(jié)最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)定為 式中：ω1、ω2、ω3為權(quán)重系數(shù)，ei(t)為i關(guān)節(jié)的跟蹤誤差，tiu為i關(guān)節(jié)上升時(shí)間。同時(shí)，為了避免超調(diào)對(duì)系統(tǒng)的影響，在優(yōu)化函數(shù)中加入懲罰函數(shù)，即當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)超調(diào)σi時(shí)，改寫為 滑模最終的控制目標(biāo)在于使系統(tǒng)響應(yīng)快，超調(diào)小，因此，參照文獻(xiàn)[13]，對(duì)于誤差、上升時(shí)間、超調(diào)、控制量的權(quán)重進(jìn)行折衷選擇，文中取ω1=0.999,ω2=0.001,ω3=2.0,ω4=200。 3.1 仿真研究 為了驗(yàn)證上述控制算法的準(zhǔn)確性和可行性，基于上述建立的六自由度工業(yè)機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型，按照?qǐng)D1所示的框架圖，利用全局快速終端滑模對(duì)其各個(gè)關(guān)節(jié)進(jìn)行PSO離線優(yōu)化仿真。 問(wèn)題解域的確定：由式(15)、(16)可知，系統(tǒng)狀態(tài)至平衡狀態(tài)的總時(shí)間為：t=ts+tr;系統(tǒng)的快速性主要由αi和γi決定，其值越大，快速性越強(qiáng)，同時(shí)，其值過(guò)大，輸出的控制量越大，過(guò)一定值可引發(fā)機(jī)械臂劇烈振蕩，而βi和φi可調(diào)節(jié)控制精度與抖振振幅。鑒于機(jī)械臂本身的力矩輸出受限，設(shè)定的控制量輸出范圍為:τi∈[-10,10]N·m。鑒于控制量的范圍，設(shè)置4個(gè)參數(shù)的解域?yàn)椋害羒,βi,φi,γi∈[0,10]，PSO算法種群的數(shù)量為25，迭代的最大數(shù)為100。優(yōu)化步驟采用單軸分別優(yōu)化，即當(dāng)前優(yōu)化的軸輸入信號(hào)為階躍信號(hào)，其他軸輸入信號(hào)為0，直至優(yōu)化機(jī)械臂的6個(gè)軸。單軸優(yōu)化步驟為： 2)運(yùn)行20s為一個(gè)周期，利用式(21)計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)度，比較保存最優(yōu)值； 4)根據(jù)PSO動(dòng)力方程式(19)進(jìn)行粒子的更新； 5)判斷是否達(dá)到終止條件(最大迭代步數(shù)或精度要求)，若否，則進(jìn)入2)繼續(xù)搜索。 經(jīng)過(guò)6個(gè)軸的分別優(yōu)化后，見(jiàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2。 圖2 1號(hào)軸優(yōu)化函數(shù)曲線Fig.2 Fitness curve of Joint 1 圖2表示的為一號(hào)軸(基座)的適應(yīng)度函數(shù)值J收斂過(guò)程。由圖知，迭代至10次左右收斂。 經(jīng)過(guò)PSO離線優(yōu)化的終止條件，可得6個(gè)軸的滑?？刂破鞯淖顑?yōu)參數(shù)見(jiàn)表1。 表1 PSO優(yōu)化滑模參數(shù) 3.2 實(shí)驗(yàn)研究 實(shí)驗(yàn)用的六自由度機(jī)械臂是由Googol公司生產(chǎn)，采樣周期為0.002 s。硬件平臺(tái)使用CPAC結(jié)構(gòu)，CPAC可將PC機(jī)開放、靈活的軟件體系結(jié)構(gòu)與PLC相結(jié)合，并實(shí)現(xiàn)了與DSP運(yùn)動(dòng)控制技術(shù)的無(wú)縫連接，上位機(jī)軟件為OtoStudio。整個(gè)系統(tǒng)的硬件結(jié)構(gòu)組成如圖3。 圖3 CPAC硬件結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Structure of CPAC 為解決控制算法在上位機(jī)的實(shí)現(xiàn)難題，控制算法的角度、角速度等表示為 (22) 實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖4表明，優(yōu)化后的全局快速終端滑模控制策略較之優(yōu)化之前系統(tǒng)的上升時(shí)間更短，響應(yīng)速度更快，兩者皆避免了超調(diào)現(xiàn)象的出現(xiàn)，減小了機(jī)械的來(lái)回摩擦造成的磨損。對(duì)于穩(wěn)態(tài)階段如95～100s，圖4(a)～(c)和(f)的階躍響應(yīng)表明，優(yōu)化前的穩(wěn)態(tài)誤差范圍為[0.05°，0.2°]，優(yōu)化后的穩(wěn)態(tài)時(shí)刻，幾乎與設(shè)定值重合。圖4(d)～(e)的正弦跟蹤響應(yīng)表明優(yōu)化前跟蹤誤差范圍為[1.5°，4°]，優(yōu)化后的跟蹤誤差為[0.3°，0.6°]。在末端執(zhí)行器軌跡中，通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算，優(yōu)化前的誤差范圍為：[5.2-11.0]mm，優(yōu)化后的誤差范圍為：[0.8，4.2]mm。因此，優(yōu)化后的控制算法擁有響應(yīng)速度快，無(wú)超調(diào)，跟蹤精度高的優(yōu)點(diǎn)。 (a) θ1 (b) θ2 (c) θ3 (d) θ4 (e) θ5 (f) θ6 圖4 基于PSO優(yōu)化全局快速終端滑模實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.4 Experimental result of PSO-GFTSM 由圖5、6可知，在接近設(shè)定值時(shí)，圖5仍有力矩在輸出，說(shuō)明未優(yōu)化的趨近速度較慢；在正弦跟蹤方面，優(yōu)化后的調(diào)節(jié)速度快于優(yōu)化前的速度。各軸的輸出力矩表明，各軸力矩并未在零附近來(lái)回切換，表明，此法可消除抖振。因此，優(yōu)化后的滑模算法有利于工業(yè)機(jī)械臂實(shí)現(xiàn)快速準(zhǔn)確定位，在物品搬運(yùn)、零件裝備、點(diǎn)焊等方面有一定的優(yōu)勢(shì)。 圖5 基于GFTSM各關(guān)節(jié)控制器輸出Fig.5 Control moment of each joint based on GFTSM 圖6 基于PSO-GFTSM各關(guān)節(jié)控制器輸出Fig.6 Control moment of each joint based on PSO-GFTSM 針對(duì)六自由度工業(yè)機(jī)械臂控制問(wèn)題，考慮機(jī)械臂本身的MIMO特性，將其分解成單關(guān)節(jié)SISO系統(tǒng)，在全局快速終端變結(jié)構(gòu)滑?？刂频幕A(chǔ)上，分析并克服了全局快速終端滑?？刂频钠娈愋?，同時(shí)采用PSO優(yōu)化其控制律參數(shù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：相比于優(yōu)化前的滑模控制，基于PSO優(yōu)化的全局快速終端滑模算法可以更加有效地減小被控系統(tǒng)的抖振問(wèn)題，減小系統(tǒng)的上升時(shí)間，跟蹤誤差更小，可縮短滑模系統(tǒng)收斂時(shí)間，提高系統(tǒng)的動(dòng)靜態(tài)性能。 [1]JASIMIF,PLAPPERPW.Stablerobustadaptivecontrolofroboticmanipulatorswithswitchedconstraints[C]//Proceedingsof2013IEEEInternationalConferenceonMechatronicsandAutomation.Takamatsu:IEEE, 2013: 755-760. 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We divided the multi-input multi-output (MIMO) 6-DOF system into six second-order subsystems, each joint designed and analyzed to overcome the singularity of control law. Further, we demonstrated the stability of our system using Lyapunov theory and optimized the control parameters based on the PSO algorithm. Our simulation results show that the optimized control method not only improves the speed and response times of the system, but also reduces the chattering, thus producing a system with good dynamics and static performance. automatic control technology; 6-DOF manipulator; Lyapunov theory; PSO algorithm; global fast terminal sliding mode; control law; chattering 2016-05-24. 日期：2017-02-17. 廣西自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2012GXNSFBA053144). 胡立坤. E-mail：hlk3email@163.com. 10.11992/tis.201605024 http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1538.tp.20170217.0954.004.html TP24 A 1673-4785(2017)02-0266-06 王琥，胡立坤，譚穎. 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3 仿真及實(shí)驗(yàn)結(jié)果
4 結(jié)束語(yǔ)
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