具有死區(qū)輸入的分?jǐn)?shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間同步

毛北行， 孟曉玲

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 理學(xué)院， 河南 鄭州 450015)

具有死區(qū)輸入的分?jǐn)?shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間同步

毛北行， 孟曉玲

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 理學(xué)院， 河南 鄭州 450015)

基于滑模控制研究了具有死區(qū)輸入的分?jǐn)?shù)階多渦卷系統(tǒng)的有限時(shí)間同步問(wèn)題，根據(jù)分?jǐn)?shù)階微積分的相關(guān)理論，給出了系統(tǒng)取得同步的充分性條件，結(jié)果表明：在一定條件下，分?jǐn)?shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)可取得有限時(shí)間同步.

分?jǐn)?shù)階；多渦卷系統(tǒng)；滑模；混沌同步

Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(3):302-306

0 引 言

近年來(lái)混沌同步問(wèn)題引起了控制界的廣泛關(guān)注[1-8]，分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)逐漸成為研究熱點(diǎn)，例如：孫寧等[9]研究了分?jǐn)?shù)階不確定混沌系統(tǒng)的滑模投影同步問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了主從系統(tǒng)的投影同步.余明哲等[10]研究了一類(lèi)分?jǐn)?shù)階不確定混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的快速同步.仲啟龍等[11]基于主動(dòng)滑模控制方法研究了分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制問(wèn)題.而多渦卷系統(tǒng)密匙參數(shù)更多，因而在混沌通信中得到了廣泛應(yīng)用.例如：孫美美等[12]研究了一類(lèi)多渦卷超混沌系統(tǒng)的同步控制問(wèn)題,提出了一種自適應(yīng)滑?？刂品桨?利用滑模控制和自適應(yīng)控制技術(shù),消除了系統(tǒng)不確定性和未知擾動(dòng)的影響.劉恒等[13]研究了含擾動(dòng)的多渦卷系統(tǒng)的修正函數(shù)時(shí)滯投影同步，得到了系統(tǒng)取得同步的充分性條件.這些工作大多是研究分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的混沌同步，然而工程和實(shí)際應(yīng)用中更需要研究分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間同步問(wèn)題.例如：毛北行等[14]研究了一類(lèi)分?jǐn)?shù)階復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間同步問(wèn)題，并估計(jì)了系統(tǒng)取得混沌同步所需的時(shí)間.在設(shè)計(jì)和植入控制器時(shí)，不能忽略具有死區(qū)的非線性輸入.田小敏等[15]研究了具有死區(qū)輸入的混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間同步問(wèn)題，證明了滑模階段和趨近階段均是有限時(shí)間收斂的.本文基于滑?？刂撇⒗梅?jǐn)?shù)階微積分的相關(guān)理論，研究了具有死區(qū)輸入的分?jǐn)?shù)階多渦卷系統(tǒng)的有限時(shí)間同步問(wèn)題，以得到系統(tǒng)取得有限時(shí)間同步的充分性條件.

n-1<α≤n∈Z+.

1 主要結(jié)果

設(shè)計(jì)如下一類(lèi)分?jǐn)?shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)作為主系統(tǒng)：

(1)

其中，x1,x2,x3∈R3為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，α,β為系統(tǒng)參數(shù)，f(x1)為非線性項(xiàng)，f(x1)=sin(ax1-bx1|x1|-(cx1)3)，當(dāng)α=0.3,β=5.1,a=11,b=1.6,c=0.4,q=0.873時(shí)出現(xiàn)混沌吸引子，其對(duì)應(yīng)的從系統(tǒng)為：

(2)

其中，hi(ui(t))是死區(qū)非線性輸入，定義如下：

hi(ui(t))=

其中，h+i(t),h-i(t)是ui(t)的非線性函數(shù)，u+i,u-i是給定的常數(shù).

其中，β+i,β-i是正常數(shù).

假設(shè)1 設(shè)不確定項(xiàng)Δfi(y)和外部擾動(dòng)di(t)有界，即存在δi,ρi>0，使得

|Δfi(y)|<δi, |di(t)|<ρi.

定義系統(tǒng)誤差：

e1=y1-x1,e2=y2-x2,e3=y3-x3，

很容易得到誤差方程：

(3)

V1-η(t)≤V1-η(t0)-p(1-η)(t-t0),t0≤t≤T，

并且V(t)≡0,t≥T，其中,

設(shè)計(jì)滑模面

誤差系統(tǒng)滿足滑動(dòng)面方程：

由此易得

(4)

定理1 設(shè)計(jì)控制器：

(5)

其中，

ki>0，σi=δi+ρi.

選取滑模面：

則系統(tǒng)的軌跡在有限時(shí)間T1內(nèi)收斂到原點(diǎn)，其中，

得到

兩邊同乘以e2λt，得到

兩邊積分，得到

易得

如果

將我院2017年10月-2017年12月收治的520例醫(yī)?；颊咭暈檠芯繉?duì)象,對(duì)其住院費(fèi)用進(jìn)行分析。全部患者中,男性患者271例,女性患者249例。年齡最大85歲,最小23歲,平均年齡(52.3±1.4)歲。疾病類(lèi)型涵蓋了醫(yī)院各個(gè)科室系統(tǒng)。

則有

定理2 對(duì)誤差系統(tǒng)(3)，具有非線性死區(qū)輸入的控制器(5)，誤差系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡能達(dá)到滑模面.

證明

(ui(t)-u+i)h+i(ui(t))=-γiζisgnsihi(ui(t))≥

-sgnsihi(ui(t))≥ζisgn2si，兩邊同乘以|si|，并考慮到|si|sgnsi=si,sgn2si=1，得到

sihi(ui(t))≤-ζi|si|.

2 數(shù)值仿真

利用龍格-庫(kù)塔法進(jìn)行仿真:

當(dāng)α=0.3,β=5.1,a=11,b=1.6,c=0.4,q=0.873時(shí)出現(xiàn)混沌吸引子，其中,

Δf1(y1,y2,y3)=cos(2πy2),

Δf2(y1,y2,y3)=0.5cos(2πy3),

Δf3(y1,y2,y3)=0.3cos(2πy2)，

hi(ui(t))=

d1(t)=0.2cos(t),d2(t)=0.6sin(t),

d3(t)=cos(3t),β+i=0.4,β-i=0.5,

βi=0.4,γi=2.5x(0)=(1,-2,-2)T,

y(0)=(1,1,-1)T,λ=1,μ=0.5.

仿真結(jié)果如圖1～3所示，從圖1可看出，不加控制器系統(tǒng)無(wú)法取得同步；由圖2知，加入控制器系統(tǒng)可快速取得同步；由圖3知，系統(tǒng)的誤差很快趨近于零，表明系統(tǒng)快速取得了同步.

圖1 無(wú)控制的主從系統(tǒng)狀態(tài)Fig.1 State of master-slave with no control

圖2 有控制的主從系統(tǒng)狀態(tài)Fig.2 State of master-slave with control

圖3 系統(tǒng)誤差曲線Fig.3 The system errors

3 結(jié) 論

基于穩(wěn)定性理論研究了分?jǐn)?shù)階多渦卷系統(tǒng)的有限時(shí)間同步問(wèn)題，研究表明：設(shè)計(jì)非線性死區(qū)輸入的控制器以及構(gòu)造適當(dāng)?shù)那袚Q函數(shù)，能夠使主從系統(tǒng)取得有限時(shí)間同步，并給出了嚴(yán)格的證明.數(shù)值仿真驗(yàn)證了方法的有效性.

[1]YASSENMT.Controllingchaosandsynchronizationfornewchaoticsystemusinglinearfeedbackcontrol[J]. Chaos,Solition & Fractals,2005,26(3):913-920.

[2] CHEN M, CHEN W. Robust adaptive neural network synchronization controller design for a class of time delay uncertain chaotic systems[J]. Chaos,Solition & Fractals,2009,41(5):2716-2724.

[3] PECORA L M, CAROLL T L. Synchronization in chaotic systems[J].Physics Review Letters,1990,64(8):821-824.

[4] WU X J, LU H T. Adaptive generalized function projective lag synchronization of different chaotic systems with fully uncertain parameters[J].Chaos,Solition & Fractals,2011,44(10):810-820.

[5] SALARIEH H, ALASTY A. Adaptive synchronization of two chaotic systems with with stochastic unknown parameters[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2009,14(2):508-519.

[6] SUN Y P, LI J M,WANG J A,et al. Generalized projective synchronization of chaotic systems via adaptive learning control[J].Chinese Physics B,2010,19(2):502-505.

[7] YANG L, YANG J. Robust finite-time convergence of chaotic systems via adaptive terminal sliding mode scheme[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2011,16(6):2405-2413.

[8] AGHABABA M P, AKBARI M E . A chattering-free robust adaptive sliding mode controller for synchronization of two different chaotic systems with unknown uncertainties and external disturbances[J].Applied Mathematics and Computation,2012,218(9):5757-5768.

[9] 孫寧，張化光，王智良.不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的滑模投影同步[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào):工學(xué)版，2010,44(7)：1288-1291. SUN N,ZHANG H G,WANG Z L.Projective synchronization of uncertain fractional order chaotic system using sliding mode controller[J].Journal of Zhejiang University:Engineering Science, 2010,44(7)：1288-1291.

[10] 余明哲,張友安.一類(lèi)不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的滑模自適應(yīng)同步[J].北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2014,40(9)：1276-1280. YU M Z ,ZHANG Y A.Sliding mode adaptive synchronization for a class of fractional-order chaotic systems with uncertainties[J].Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics,2014,40(9)：1276-1280.

[11] 仲啟龍，邵永輝，鄭永愛(ài).分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的主動(dòng)滑模同步[J].動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2015,13(1)：18-22. ZHONG Q L,SHAO Y H,ZHENG Y A.Synchronization of the fractional order chaotic systems based on TS models[J].Journal of Dynamics and Control,2015,13(1)：18-22.

[12] 孫美美，胡云安，韋建明.多渦卷超混沌系統(tǒng)自適應(yīng)滑模同步控制[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào):工學(xué)版，2015，45(6):46-49. SUN M M,HU Y A,WEI J M. Synchronization of multiwing hyperchaotic systems via adaptive sliding mode control[J].Journal of Shandong University:Engineering Edition,2015，45(6):46-49.

[13] 劉恒，余海軍，向偉.帶有未知擾動(dòng)的多渦卷混沌系統(tǒng)修正函數(shù)時(shí)滯投影同步[J].物理學(xué)報(bào)，2012,61(18)：5031-5036. LIU H, YU H J,XIANG W. Modified function projective lag synchronization for multi-scroll chaotic system with unknown disturbances[J].Acta Phys Sin,2012,61(18):5031-5036.

[14] 毛北行，王戰(zhàn)偉.一類(lèi)分?jǐn)?shù)階復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的有限時(shí)間同步控制[J].深圳大學(xué)學(xué)報(bào):理工版，2016,33(1)：96-101.

MAO B X，WANG Z W. Finite-time synchronization of a class of fractional-order complex network systems[J].Journal of Shenzhen University:Science and Engineering,2016,33(1)：96-101.

[15] 田小敏，費(fèi)樹(shù)岷，柴琳.具有死區(qū)輸入的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間同步[J].控制理論與應(yīng)用，2015,32(9)：1240-1245. TIAN X M，F(xiàn)EI S M，CHAI L. Finite-time synchronization of chaotic systems by considering dead-zone phenomenon[J].Control Theory and Applications,2015,32(9)：1240-1245.

[16] PODLUBNY. Fractional Differential Equation[M] .New York: Academic Press,1999.

[17] BHAT S P, BERNSTEIN D S. Geometric homogeneity with applications to finite-time stability[J]. Mathematics of Control Signals and Systems,2005,17(2):101-127.

[18] MOHAMMAD P A, SOHRAB K, GHASSEM A. Finite-time synchronization of two different chaotic systems with unknown parameters via sliding mode technique[J]. Applied Mathematical Modelling,2011,35(6):3080-3091.

Finite-time synchronization of fractional-order multi-scroll systems with dead-zone input.

MAO Beixing, MENG Xiaoling

(CollegeofScience,ZhengzhouUniversityofAeronautics,Zhengzhou450015,China)

The problem of finite-time synchronization of fractional-order multi-scroll systems with dead-zone input is studied. The sufficient conditions for the fractional order systems to get finite-time synchronization are obtained based on fractional order calculus theory. The research conclusion illustrates that fractional-order multi-scroll systems is finite-time chaos synchronization under proper conditions.

fractional order; multi-scroll systems; sliding model; chaos synchronization

2016-07-26.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(NSFC1501525).

毛北行(1976-)，ORCID：http:∥orcid.org/0000-0002-9232-3434，男，碩士，副教授，主要從事分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)研究，E-mail：bxmao329@163.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.03.010

O 231

A

1008-9497(2017)03-302-05