隨機(jī)波動(dòng)模型的首中時(shí)問(wèn)題

張苗，劉暉，張飛龍

(1.西安電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 陜西 西安 710126； 2. 北京大學(xué) 地球與空間科學(xué)學(xué)院，北京 100871； 3. 西安電子科技大學(xué) 物理與光電工程學(xué)院， 陜西 西安 710126)

隨機(jī)波動(dòng)模型的首中時(shí)問(wèn)題

張苗1，劉暉2，張飛龍3

(1.西安電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 陜西 西安 710126； 2. 北京大學(xué) 地球與空間科學(xué)學(xué)院，北京 100871； 3. 西安電子科技大學(xué) 物理與光電工程學(xué)院， 陜西 西安 710126)

研究了一類波動(dòng)率是平方根過(guò)程的隨機(jī)波動(dòng)CEV模型的首中時(shí)問(wèn)題.利用鞅方法求解首中時(shí)和波動(dòng)率的聯(lián)合拉普拉斯變換，繼而將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求解一類變系數(shù)二階常微分方程，通過(guò)變量代換將此方程轉(zhuǎn)化為經(jīng)典的Whittaker方程，得到聯(lián)合拉普拉斯變換表達(dá)式.最后，選取不同的參數(shù)，使隨機(jī)波動(dòng)CEV模型的資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程能夠涵蓋O-U過(guò)程、幾何布朗運(yùn)動(dòng)、平方根過(guò)程等幾種常見的擴(kuò)散過(guò)程，畫出不同參數(shù)下聯(lián)合拉普拉斯變換函數(shù)的三維圖像，并分析其變化趨勢(shì).

隨機(jī)波動(dòng)CEV模型;首中時(shí);鞅方法;聯(lián)合拉普拉斯變換;Whittaker方程

Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(3):296-301

為了有效規(guī)避期權(quán)市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，BLACK等[1]提出了Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型(也稱B-S模型).經(jīng)典的B-S模型建立在波動(dòng)率為常數(shù)這一假設(shè)基礎(chǔ)之上，然而，大量研究表明，隱含波動(dòng)率常呈現(xiàn)“微笑”的特征，這與B-S模型的基本假設(shè)相矛盾.為此，提出了隨機(jī)波動(dòng)模型[2-4].本文討論的隨機(jī)波動(dòng)CEV(亦稱常彈性方差)模型也是隨機(jī)波動(dòng)模型的一種，可用2個(gè)擴(kuò)散方程描述，即資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程和波動(dòng)過(guò)程[5]，其中波動(dòng)過(guò)程是平方根擴(kuò)散過(guò)程，資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程則涵蓋了Ornstein-Uhlenbec過(guò)程(也稱O-U過(guò)程)、幾何布朗運(yùn)動(dòng)、平方根過(guò)程等幾種常見的擴(kuò)散過(guò)程.

近年來(lái)，首中時(shí)問(wèn)題被廣泛研究，MARIO[6]總結(jié)和推廣了CARLSUND[7]的結(jié)論，得到布朗運(yùn)動(dòng)首中時(shí)的生成函數(shù).文獻(xiàn)[8-11]對(duì)O-U過(guò)程和反射O-U過(guò)程的首中時(shí)問(wèn)題進(jìn)行了研究.同時(shí)，文獻(xiàn)[12]討論了反射CEV模型的首中時(shí)問(wèn)題，利用鞅方法計(jì)算得到首中時(shí)的拉普拉斯變換.以上研究均只針對(duì)單變量擴(kuò)散過(guò)程，對(duì)隨機(jī)波動(dòng)CEV模型的雙變量擴(kuò)散過(guò)程首中時(shí)的研究卻非常少.

本文借鑒單變量擴(kuò)散過(guò)程首中時(shí)問(wèn)題的求解方法——鞅方法[13-16]，在βcY+α=0這一假定條件下，將隨機(jī)波動(dòng)模型的首中時(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解一類變系數(shù)二階常微分方程，通過(guò)變量代換[17-19]，將此方程轉(zhuǎn)化為Whittaker方程，最終計(jì)算首中時(shí)和波動(dòng)率的聯(lián)合拉普拉斯變換.

1 隨機(jī)波動(dòng)CEV模型

盡管B-S期權(quán)定價(jià)模型的改進(jìn)方法眾多，但因隨機(jī)波動(dòng)模型獨(dú)具優(yōu)勢(shì)，能夠很好地描述時(shí)變波動(dòng)，被廣泛應(yīng)用于建模利率期限結(jié)構(gòu)和期權(quán)定價(jià)研究.

通常，隨機(jī)波動(dòng)模型描述成如下隨機(jī)微分方程：

(1)

其中，Y=(Yt;t≥0)為隨機(jī)波動(dòng)因子，滿足:

在常方差彈性過(guò)程中，方程(2)應(yīng)為：

(3)

其中，φ(x)=aYxν，0≤ν≤1，系數(shù)aY為波動(dòng)率的波動(dòng)，ν為方差彈性.當(dāng)ν=0.5時(shí)，為HESTON提出的均值回歸過(guò)程；當(dāng)ν=1時(shí)，為GARCH擴(kuò)散過(guò)程.

本文主要考慮如下形式的隨機(jī)波動(dòng)CEV模型：

(4)

其中，γ≥0,aX>0,cY>0,bY≥0,aY>0.

2 首中時(shí)和隨機(jī)波動(dòng)因子的聯(lián)合拉普拉斯變換

本節(jié)的目標(biāo)是得到隨機(jī)變量(Yτl,τl)的聯(lián)合拉普拉斯變換表達(dá)式.對(duì)一個(gè)已知的首中閥值l∈R，定義隨機(jī)波動(dòng)模型的首中時(shí)如下：

τl=inf(t≥0;Xτl=l),

(5)

特別地，取infφ=∞.

通常情況下，由于很難得到隨機(jī)變量(Yτl,τl)的聯(lián)合分布表達(dá)式，因此可用聯(lián)合拉普拉斯變換來(lái)代替.隨機(jī)變量(Yτl,τl)的聯(lián)合拉普拉斯變換定義如下：

φ(l;x,y)=Ex,y[exp(-ατl-βYτl)],

(6)

其中，E是期望算子且

Ex,y[·]=E[·|X0=x,Y0=y].

定理1 設(shè)非零函數(shù)f∈C2(R2)，R為實(shí)數(shù)，滿足方程：

(7)

(8)

證明 用鞅方法求解式(6)的解析表達(dá)式.首先，對(duì)f(x)∈C2(R2)應(yīng)用It公式，得

定義：

那么M=(Mt;t≥0)是一個(gè)局部鞅.由分部積分公式，得：

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿足方程(7)，并且βcY+α=0，則有

ρa(bǔ)XaYβxγf′(x)y-αf(x)=

這樣

注意到Xτl=l，P-a.s.，于是令t→∞，

Ex,y[e-ατl-βYτlf(l)]=e-βyf(x).

可以證明

此時(shí)，只要知道方程(7)的通解f(x)，就可以得到隨機(jī)變量(Yτl,τl)對(duì)應(yīng)的聯(lián)合拉普拉斯變換，因此，本文接下來(lái)的工作重點(diǎn)就是求解方程(7).

用變量代換法求解常微分方程(7).

因?yàn)?/p>

代入方程(7)得

(9)

其中，

情況2γ=1，此時(shí)常微分方程(7)是歐拉方程，其通解為

f(x)=C1xλ1+C2xλ2,

其中λ1和λ2是常微分方程(7)的2個(gè)不相等的特征值.

將求出的通解f(x)代入定理1的式(8)，即有：

定理2 令(x,y)∈R×R+，R為實(shí)數(shù)，對(duì)滿足條件βcY+α=0的(α,β)，隨機(jī)變量(Yτl,τl)對(duì)應(yīng)的聯(lián)合拉普拉斯變換為

(10)

其中超幾何函數(shù)φ(x)和ψ(x)定義為

同時(shí)，

3 推論和結(jié)果分析

推論1 當(dāng)γ=0時(shí)，令(x,y)∈R×R+，對(duì)任意滿足條件βcY+α=0的(α,β)，隨機(jī)變量(Yτl,τl)對(duì)應(yīng)的聯(lián)合拉普拉斯變換為

φ(l;x,y)=

其中,

φ(l;x,y)=

其中,

推論3 當(dāng)γ=1，令(x,y)∈R×R+，對(duì)任意滿足條件βcY+α=0的(α,β)，隨機(jī)變量(Yτl,τl)對(duì)應(yīng)的聯(lián)合拉普拉斯變換為

其中，λ1和λ2是常微分方程(7)的2個(gè)不相等的特征值.

利用這3個(gè)推論，分別畫出當(dāng)資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程是O-U過(guò)程、平方根過(guò)程以及幾何布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)，聯(lián)合拉普拉斯變化函數(shù)(x,y)→φ(l;x,y)的圖像，并分析其變化趨勢(shì).

這里，取系數(shù)aX=1,aY=1,β=0.5以及首中閥值l=1，首先畫出當(dāng)γ=0，ρ分別取-1，0，0.5和1時(shí)，聯(lián)合拉普拉斯變化函數(shù)(x,y)→φ(l;x,y).

圖1 當(dāng)γ=0，聯(lián)合拉普拉斯變化函數(shù)(x,y)→φ(l;x,y)Fig.1 The joint Laplace transform function (x,y)→φ(l;x,y) when γ=0

從圖1可看出相關(guān)程度ρ和(Xt,Yt)初值(x,y)的選取對(duì)φ值的影響.首先，在不同相關(guān)程度ρ下，x取值越大，y取值越小,φ值就越大.隨著相關(guān)程度的降低，φ值整體呈下降趨勢(shì).并且在不同相關(guān)程度ρ下，函數(shù)(x,y)→φ(l;x,y)的整體變化趨勢(shì)基本相同.

圖2 當(dāng)，聯(lián)合拉普拉斯變化函數(shù)(x,y)→φ(l;x,y)Fig.

圖3 當(dāng)γ=1，聯(lián)合拉普拉斯變化函數(shù)(x,y)→φ(l;x,y)Fig.3 The joint Laplace transform function (x,y)→φ(l;x,y) when γ=1

4 結(jié) 論

研究了一類波動(dòng)率是平方根過(guò)程的隨機(jī)波動(dòng)CEV模型的首中時(shí)問(wèn)題.利用鞅方法求解得到首中時(shí)和波動(dòng)率的聯(lián)合拉普拉斯變換表達(dá)式，并分析函數(shù)(x,y)→φ(l;x,y)在不同參數(shù)下的變化趨勢(shì).不足之處是，在給出拉普拉斯變換的顯式表達(dá)式時(shí)，需有限定條件βcY+α=0.去除或弱化這一條件，使求解的拉普拉斯變換更為嚴(yán)格，這一問(wèn)題有待進(jìn)一步研究.

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The first hitting time of stochastic volatility models.

ZHANG Miao1, LIU Hui2, ZHANG Feilong3

(1.SchoolofMathematicsandStatistics,XidianUniversity,Xi’an710126,China； 2.SchoolofEarthandSpaceScienecs,PekingUniversity,Beijing100871,China； 3.SchoolofPhysicsandOptoelectronicEngineering,XidianUniversity,Xi’an710126,China)

This paper explores the first passage times of stochastic volatility CEV model. We mainly solve the joint Laplace transform of the first hitting time and volatility. Firstly, we use the Itformula to construct the martingale which can convert the problem into the process of solving a differential equation. Then, we introduce an appropriate second order variable coefficient ordinary differential equation, after a change of variable, it is turned to the Whittaker's equation. It’s not difficult to get the general solution of Whittaker’s equation. Thus, the explicit expressions for the joint Laplace transformation of the first passage times of stochastic volatility CEV model can be derived. Finally, selecting the parametersγbe 0, 1/2 and 1, let the asset price process covers the O-U process, geometric Brownian motion and square root process. Under different parameters, we obtain explicit expression of the joint Laplace transformation function, and use Matlab to draw the corresponding diagram and analyze the trend of graph.

stochastic volatility CEV model; first passage times; martingale method; joint Laplace transforms; Whittaker’s equation

2016-07-16.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11471254).

張苗(1993-)，ORCID：http://orcid.org/0000-0003-1640-3173，女，碩士研究生，主要從事隨機(jī)模型研究，E-mail：feilon1001@163.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.03.009

O 211.63

A

1008-9497(2017)03-296-06