李 婷

(山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部,太原 030031)

強(qiáng)G-預(yù)不變凸函數(shù)

李 婷

(山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部,太原 030031)

主要以強(qiáng)G-預(yù)不變凸函數(shù)為研究對(duì)象，首先在中間點(diǎn)的G-預(yù)不變凸性下得到了G-預(yù)不變凸函數(shù)的一個(gè)判定定理，然后將已有文獻(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行了推廣，得到了在中間點(diǎn)的強(qiáng)G-預(yù)不變凸性下強(qiáng)G-預(yù)不變凸函數(shù)的兩個(gè)重要的判定定理。

強(qiáng)G-預(yù)不變凸函數(shù)；嚴(yán)格G-預(yù)不變凸函數(shù)；半嚴(yán)格G-預(yù)不變凸函數(shù)

0 引言

在研究最優(yōu)化問題時(shí)，凸性和廣義凸性起著很重要的作用。近年來，國內(nèi)外很多學(xué)者將凸函數(shù)不斷進(jìn)行推廣，得到了一系列的廣義凸函數(shù)及其相關(guān)成果，具體見參考文獻(xiàn)[1-8],這些文獻(xiàn)詳細(xì)介紹了不變凸性、預(yù)不變凸性、強(qiáng)預(yù)不變凸性、G-預(yù)不變凸性、強(qiáng)G-預(yù)不變凸性等，并給出了這些廣義凸函數(shù)的性質(zhì)。

2011年，彭再云等在文獻(xiàn)[8]中給出了強(qiáng)G-預(yù)不變凸函數(shù)的如下的一個(gè)判定定理。

本文首先得到了半嚴(yán)格G-預(yù)不變凸函數(shù)是G-預(yù)不變凸函數(shù)的一個(gè)充分條件，然后將上述引理的結(jié)果進(jìn)一步推廣，得到了強(qiáng)G-預(yù)不變凸函數(shù)的另外兩個(gè)判定定理。

1 基本知識(shí)

時(shí)上述不等式嚴(yán)格成立，即：

定義4[8]設(shè)集合K?Rn是關(guān)于η：Rn×Rn→Rn的不變凸集，f:K→R是定義K上的函數(shù)，稱f是K上關(guān)于η的強(qiáng)G-預(yù)不變凸函數(shù)，如果存在連續(xù)遞增函數(shù)：

2 半嚴(yán)格G-預(yù)不變凸函數(shù)是G-預(yù)不變凸函數(shù)的一個(gè)充分條件

引理2.1 設(shè)G：R→R是一個(gè)連續(xù)實(shí)值函數(shù)，則G-1是遞增函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)G也是遞增函數(shù)。

(1)

因?yàn)镚單調(diào)遞增，由引理2.1可知，G-1也是單調(diào)遞增的。

(2)

(3)

由f的半嚴(yán)格G-預(yù)不變凸性，引理2.1及(3)式可得：

上式與(2)式矛盾。

由f的半嚴(yán)格G-預(yù)不變凸性，引理2.1及(3)式可得：

上式與(2)式矛盾。故假設(shè)不成立，所以f是K上關(guān)于η的G-預(yù)不變凸函數(shù)。

3 強(qiáng)G-預(yù)不變凸函數(shù)的兩個(gè)判定定理

(4)

則f是K上關(guān)于η的強(qiáng)G-預(yù)不變凸函數(shù)。

(5)

(6)

由條件C可得：

(7)

(8)

由(4)和(7)式可得：

(9)

又由(6)式有：

(10)

所以，由(8)、(9)及(10)式可得：

于是，f是K上關(guān)于η的強(qiáng)G-預(yù)不變凸函數(shù)。

(11)

則f是K上關(guān)于η的強(qiáng)G-預(yù)不變凸函數(shù)。

(12)

由定理2.1及(12)式知f是K上關(guān)于η的G-預(yù)不變凸函數(shù)，從而由引言中的引理得，f是K上關(guān)于η的強(qiáng)G-預(yù)不變凸函數(shù)。

[1]CravenBD.Invexfunctionsandconstrainedlocalminima[J].BulletinoftheAustralianMathematicalSociety, 1981, 24(3):357-366.

[2]WeirT,MondB.Preinvexfunctionsinmultipleobjectiveoptimization[J].JournalofMathematicalAnalysis&Applications, 1988, 136(1):29-38.

[3] 顏麗佳, 劉芙萍. 強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)[J]. 重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2005, 22(1):11-15.

[4]SchaiblesT,ZiembaWT.Generalizedconcavityinoptimizationandeconmics[M].London:AcademicPress, 1981.

[5]AntczakT.G-pre-invexfunctionsinmathematicalprogramming[J].JournalofComputational&AppliedMathematics, 2008, 217(1):212-226.

[6]AntczakT.NewoptimalityconditionsanddualityresultsofGtypeindifferentiablemathematicalprogramming[J].NonlinearAnalysis, 2007, 66(7):1617-1632.

[7]LuoHZ,WuHX.OntherelationshipsbetweenG-preinvexfunctionsandsemistrictlyG-preinvexfunctions[J].JournalofComputational&AppliedMathematics, 2008, 222(2):372-380.

[8] 彭再云, 房效亮, 趙勇. 強(qiáng)G-預(yù)不變凸函數(shù)[J]. 重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2011, 28(6):7-10+18.

責(zé)任編輯：程艷艷

StrongG-PreinvexFunctions

LITing

(FundamentalTeachingDepartment,BusinessCollegeofShanxiUniversity,Taiyuan030031,China)

Taking strongG-preinvexfunctionastheresearchobject,thispaperobtainsajudgingtheoremofG-preinvexfunctiononthemiddlepointofG-preinvexity,andthengeneralizestheresultsoftheexistedliterature,finally,obtainstwoimportantjudgingtheoremsofstrongG-preinvexfunctiononthemiddlepointofstrongG-preinvexity.

strongG-preinvexfunction；strictG-preinvexfunction；semi-strictG-preinvexfunction

2017-02-18

山西省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題(GH—16713)；山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院科研項(xiàng)目(2016027)

李婷(1981-)，女，山西永濟(jì)人，講師，碩士，主要從事最優(yōu)化理論及應(yīng)用方面研究。

O

A

1009-3907(2017)04-0025-04