王俊龍

(《高等學校文科學術文摘》編輯部,上海 200234)

數(shù)學編碼的認知現(xiàn)象學分析①

王俊龍

(《高等學校文科學術文摘》編輯部,上海 200234)

從數(shù)學編碼的角度探討0的數(shù)學的、邏輯的和哲理的內(nèi)涵,或者,是從數(shù)學編碼的角度對空缺現(xiàn)象的一種認知,并把這樣一種認知看作現(xiàn)象學的內(nèi)容之一。所以,對空缺的認知及其數(shù)學編碼也可視為認知現(xiàn)象學范疇之內(nèi)的。文章重點論述空缺的數(shù)學表示,圍繞空缺的數(shù)學編碼討論了一些相關的問題:如何表示空缺?八卦的邏輯內(nèi)涵是什么?布爾代數(shù)的運算是封閉的嗎?極端存在的狀態(tài)是什么樣的?空位如何表示?存在0內(nèi)代數(shù)嗎?布爾代數(shù)與廣義太極代數(shù)(含太極代數(shù))的差別是什么?

認知現(xiàn)象學;數(shù)學編碼;布爾代數(shù);太極代數(shù);廣義太極代數(shù)

發(fā)現(xiàn)太極代數(shù)是近些年的事。[1]布爾代數(shù)與太極代數(shù)相比較,最大的差異在于,前者中的0表示空類(或空集),后者中的0表示真類(或絕對全集)。[2]228-234從布爾代數(shù)到太極代數(shù),這中間的跳躍太猛、變化太快、轉(zhuǎn)彎太急。因此,人們既缺乏必要的心理準備,也缺乏必要的認知準備,從而造成理解上的巨大障礙。從布爾代數(shù)到太極代數(shù)，存在諸多認知內(nèi)容和環(huán)節(jié)。比如,涉及《周易》中的數(shù)理的認知,[3]也涉及與實數(shù)系的關聯(lián)[4]。

本文從數(shù)學編碼的角度探討0的數(shù)學的、邏輯的和哲理的內(nèi)涵,或者,是從數(shù)學編碼的角度對空缺現(xiàn)象的一種認知。把這樣一種認知看作現(xiàn)象學的內(nèi)容之一,應該是可以的。所以,對空缺的認知及其數(shù)學編碼也可視為認知現(xiàn)象學范疇之內(nèi)的。

一 空缺的表達

空缺是一個常用詞,空缺與空白、缺口相仿。比如,填補空白、缺口?？杖北旧頉]有內(nèi)容,因此提出這樣一個問題:數(shù)理上如何表達空缺呢?

數(shù)學上,通常用0表示空位。比如,100表示個位和十位空缺。由于布爾代數(shù)是借用了算術中的乘法單位元1作為邏輯乘法單位元,借用算術中的加法單位元0作為邏輯加法單位元,因此,布爾代數(shù)也借用0表示空缺(空集)。[5]關于0表示空位,下文將有進一步的討論。

但是,太極代數(shù)顯示,邏輯上無法計算空缺的大小。邏輯上無法直接用邏輯變量表示空缺或缺口,因為空缺或缺口本身是沒有任何內(nèi)容的。因此只能用列示實有部分的方式來間接地暗示空缺的部分。這與繪畫時描畫空的容器所釆用的方式是一樣的,必須要先實際地畫出一個容器(實物),以此容器內(nèi)部尚未被任何東西填實來暗示其空缺部分。

算術上采用的方式是:統(tǒng)一地用正數(shù)表示實有的數(shù)量,用負數(shù)表示虧空的數(shù)量。

生活中難免的遺憾往往也是留下空缺造成的,遺憾什么呢?只能以對實在的否定加以表達,比如,錯失了復試機會,錯過了比賽時間。所采用的否定式方法與算術中采用負數(shù)的方式是相仿的。

不妨以A、B、C三個實物所能產(chǎn)生的空缺為例。

(一)未編碼圖象

1.A實在,B、C皆空缺,見圖1-1-1。

2.A空缺,B、C皆實在,見圖1-1-2。

3.B實在,A、C皆空缺,見圖1-1-3。

4.B空缺,A、C皆實在,見圖1-1-4。

5.C實在,A、B皆空缺,見圖1-1-5。

6.C空缺,A、B皆實在,見圖1-1-6。

7.A、B、C皆實在,見圖1-1-7。

8.A、B、C皆空缺,見圖1-1-8。

圖1-1-1圖1-1-2圖1-1-3圖1-1-4圖1-1-5圖1-1-6圖1-1-7圖1-1-8

其中圖1-1-7和圖1-1-4分別表示連續(xù)和空缺的兩個經(jīng)典圖象,前者為陽爻,后者為陰爻。

(二)簡單的編碼圖象(標實未標虛)

圖1-2-1 A圖1-2-2 B+C圖1-2-3 B圖1-2-4 A+C圖1-2-5 C圖1-2-6 A+B圖1-2-7 A+B+C圖1-2-8

如圖1-2，約定:圖中黑色部分為實,白色部分為虛。下同。

(三)精確的編碼圖象(虛實皆標)

當A+B+C為相對全集(有限集)的情形

圖1-3-1 A(-(B+C))圖1-3-2 (-A)(B+C)圖1-3-3 B(-(A+C))圖1-3-4 (A+C)(-B)圖1-3-5 (-(A+B))C圖1-3-6 (A+B)(-C)圖1-3-7 A+B+C圖1-3-8 -(A+B+C)

如圖1-3，其中-(A+B+C)表示A+B+C空缺。此種情形下,A+B+C是無限集的一個子集。而且不難發(fā)現(xiàn),圖1-3-1和圖1-3-2并非真正互補的圖形。同樣,圖1-3-3和圖1-3-4,圖1-3-5和圖1-3-6,它們都不是兩兩互補的圖形。甚至圖1-3-7和圖1-3-8也不是真正互補的圖形。

對于A+B+C為絕對全集的基本性質(zhì),將在下文討論。

(四)理想的編碼圖象(虛實皆標)

當A+B+C為絕對全集(最大無限集)的情形

圖1-4-1 A=-(B+C)圖1-4-2 -A=B+C圖1-4-3 B=-(A+C)圖1-4-4 -B=A+C圖1-4-5 C=-(A+B)圖1-4-6 -C=A+B圖1-4-7 A+B+C圖1-4-8 -(A+B+C)

如圖1-4，其中-(A+B+C)表示A+B+C的補,是絕對補集。此種情形下,A+B+C是無限集的一個子集。而且不難發(fā)現(xiàn),圖1-4-1和圖1-4-2是真正互補的圖形。同樣,圖1-4-3和圖1-4-4,圖1-4-5和圖1-4-6,它們都是兩兩互補的圖形。圖1-4-7和圖1-4-8也是真正互補的圖形。

若A+B+C為絕對全集,則A+B+C不是任何一個實在的對象。下文將討論絕對全集的基本性質(zhì)。

二 八卦的編碼圖象(邏輯編碼)

當A+B+C為絕對全集(最大無限集)的情形

圖1-5-1 A=A(A+B)圖1-5-2 -A圖1-5-3 B=(A+B)-A圖1-5-4 -B圖1-5-5 C=-(A+B)圖1-5-6 -C=A+B圖1-5-7 A+B+C圖1-5-8 -(A+B+C)

如圖1-5，其中,這里A、B、C兩兩互異不交。

圖1-5-6引進了析取運算,即邏輯加法。圖1-5-1引進了合取運算,即邏輯乘法。圖1-5-3引進了減法運算,此為邏輯減法(含對稱差)。

B=(A+B)-A,(A+B)-A=(A+B)(-A)。

八卦是八個邏輯公式,其中離卦表示合取(與)運算,坎卦是其補,表示與非。其中巽卦表示析取(或)運算,兌卦是其補,表示或非。其中艮卦表示對稱差(環(huán)和),震卦是其補。

雖然八卦引進了與、或、差及補運算,對于經(jīng)典的邏輯運算已經(jīng)是大致滿足了。但是,八卦并沒有構成一個運算封閉的代數(shù)系統(tǒng)。如果要構造一個完全封閉的邏輯代數(shù)系統(tǒng)并不是一件容易的事情。在太極代數(shù)和廣義太極代數(shù)發(fā)現(xiàn)以前,人類尚沒有真正建構完成完全封閉的邏輯代數(shù)系統(tǒng)。

三 并非封閉的運算:布爾代數(shù)的編碼真相

布爾代數(shù)被認為是一個運算封閉的邏輯代數(shù)系統(tǒng),事實果然如此嗎?

不妨以A代表所有1以內(nèi)的數(shù),A+B代表所有10以內(nèi)的數(shù),A+B+C代表所有100以內(nèi)的數(shù)。如圖2。這里A、B、C兩兩互異不交,且A+B+C構成有限集。

圖2-1 A=1圖2-2 A+B=10圖2-3 A+B+C=100

下面具體討論相對全集的基本性質(zhì)。

(一)布爾代數(shù):1以內(nèi)的數(shù)

布爾代數(shù)可歸結(jié)為1內(nèi)代數(shù),1是最大數(shù),-1是1的補,-1又表示是1的空缺。但是,-1≠0。以為-1=0是嚴重錯誤的。

因為,空缺與空集不是同一個概念?？占侨我饧系淖蛹??？杖笔蔷唧w對象的空缺(離場、不在場)。

-1表示1不在場,或-1表示不包含1以內(nèi)的任何數(shù)。

-1表示對特定對象或范圍的否定,而并非對任意對象或范圍的否定。所以,-1≠0,假如其中的0表示真正的空集。因為,0否定的范圍比-1要大得多。

(-1+1)×1=1(使實在限定于1)

(-1)×1+(-1)=-1(使空缺限定于-1)

-((-1+1)×1)=-((-1)+1)+(-1)=(-1)×1+(-1)=-1

可見,現(xiàn)行布爾代數(shù)是有隱蔽的約束條件的,這就是布爾代數(shù)的真相。

嚴格來說,若布爾代數(shù)中的全集是有限集,則布爾代數(shù)的全部運算不可能是閉的。換言之,如果不能證明布爾代數(shù)的全集是最大的無限集,則現(xiàn)行布爾代數(shù)是不能成立的。

(二)擴展的布爾代數(shù)*關于擴展的布爾代數(shù),參見王俊龍:《論語言研究需要怎樣的邏輯工具》,《山西大學學報》2013年第5期，第57-61頁。:10以內(nèi)的數(shù)

布爾代數(shù)的全集是有限集,因此,其全集未必是1。比如,布爾代數(shù)的全集可以是10。

1以內(nèi)的數(shù)有兩個極端情形:

1不是任何一個1以內(nèi)的數(shù),此范圍定為1；

沒有任何一個1以內(nèi)的數(shù),此空缺定為-1。

10以內(nèi)的數(shù)有兩個極端情形:

10不是任何一個10以內(nèi)的數(shù)；

沒有任何一個10以內(nèi)的數(shù)。

此時,10是10以內(nèi)數(shù)中的最大數(shù)。此種情形下,全集不再是1，而是10。

這就說明,布爾代數(shù)在1內(nèi)是不封閉的。

(三)擴展的布爾代數(shù):100以內(nèi)的數(shù)

布爾代數(shù)的全集也可以是100。

100以內(nèi)的數(shù)有兩個極端情形:

100不是任何一個100以內(nèi)的數(shù)；

沒有任何一個100以內(nèi)的數(shù)。

此時,100是100以內(nèi)數(shù)中的最大數(shù)。此種情形下,全集不再是1,也不是10,而是100。

這就說明,擴展的布爾代數(shù)在10內(nèi)是不封閉的。可以推知,擴展的布爾代數(shù)在100內(nèi)也是不封閉的。

進一步可以推知,擴展的布爾代數(shù)在任何一個足夠大的有限數(shù)內(nèi)(比如2的1000次方)都是不封閉的。

那么,是否存在一個對于任何數(shù)封閉的邏輯代數(shù)系統(tǒng)呢?如果宇宙是一個封閉的世界,那么了解它就需要一個完全封閉的邏輯代數(shù)系統(tǒng)。盡管西方數(shù)學在近現(xiàn)代取得了突飛猛進的巨大進步,但是,西方數(shù)學至今尚沒有真正做到對于一個完全封閉的邏輯代數(shù)系統(tǒng)的建構。

四 空和無:極端存在的邏輯表達

負100與欠100是同一個意思嗎?

100-1與99是同一個意思嗎?

-100+1與-100+(100-99)一樣嗎?

上述問題已經(jīng)超出布爾代數(shù)的范圍。解決上述問題需要引進太極代數(shù)和廣義太極代數(shù)。

為了引進太極代數(shù)和廣義太極代數(shù),必須先了解極端存在及其邏輯表達。

前文引出相對全集和絕對全集這兩個概念。對于相對全集似乎容易理解,但是,如果不先了解什么是絕對全集,就會對相對全集產(chǎn)生諸多誤解。

什么是絕對全集?絕對全集與絕對空集是一對極端的邏輯概念。

最簡單的說法是,絕對全集是什么都有,絕對空集是什么都沒有。

換一種說法,絕對全集是“什么也不是”,絕對空集是“什么都沒有”,它們是一對極端的邏輯概念。

從空缺的角度看,“什么都沒有”是最大的空缺。這一空缺需要無所不有才能填補。因此,絕對全集與絕對空集是邏輯互補的兩個極端。

什么都不是,稱之為無。什么都沒有,稱之為空?？蘸蜔o是一對絕對存在。

相對全集是絕對空集與絕對全集之間的有限集。

下面是幾組極端存在的概念表達的示例。

第一組:

大一,至大無外。

小一,至小無內(nèi)。

極限狀態(tài)。*惠施曰:“至大無外,謂之大一。至小無內(nèi),謂之小一?！?/p>

無,不是任何東西。

空,沒有任何東西。

存在狀態(tài)。

第二組:

無限,不是任何空間。

無空,沒有任何空間。

空間兩極。

永恒,不是任何時間。

沒空,沒有任何時間。

時間兩端。

第三組:

0,不是任何量。

-0,沒有任何量。

數(shù)量形態(tài)。

真類(V),不是任何集合。

空類,沒有任何集合。

集合形態(tài)。

第四組:

無為,不是任何作為。

不為,沒有任何作為。

作為狀態(tài)。

公心,不是任何私心。

無私,沒有任何私心。

私心程度。

第五組:

白條,不是任何賬單。

免單,沒有任何賬單。

賬單形態(tài)。

無稅,不是任何稅。

免稅,沒有任何稅。

課稅狀態(tài)。

第六組:

全力,不是任何力量。

無力,沒有任何力量。

努力程度。

全職,不是任何職務。

免職,沒有任何職務。

履職狀態(tài)。

需要說明的是,絕對狀態(tài)并不限于上述列舉的范圍。而諸絕對狀態(tài)存在說明,絕對狀態(tài)廣泛存在于人類的認知活動和社會活動中。

惠施曰:“至大無外,謂之大一。至小無內(nèi),謂之小一?！边@里的大一其邏輯意義與《周易》中“太極生兩儀”的太極相同,也與《老子》所言“天下萬物生于有,有生于無”中的無相同。可見,中國先秦哲學中的大一、太極和無,正如《老子》所說“同出而異名”。

五 0內(nèi)代數(shù):太極代數(shù)和廣義太極代數(shù)

存在1以內(nèi)的數(shù),也存在10以內(nèi)的數(shù),100以內(nèi)的數(shù),乃至無窮大以內(nèi)的數(shù)。那么,有必要發(fā)出一個認知現(xiàn)象學的追問:存在0內(nèi)的數(shù)嗎?

上文通過極端概念及其表達,不難發(fā)現(xiàn),0是一個極端數(shù),它不是任何量。同時,它不是任何量并不意味著它沒有任何量。

如果存在0內(nèi)的數(shù),那么,就要證明0比任何實數(shù)都要大。

為什么不是任何量的0比任何實在量要來得大呢?不難發(fā)現(xiàn),對于任意實在量x,存在-x,且x+(-x)=0。因為x+(-x)既不是x,也不是-x。這就說明,x+(-x)=0不是任何實在量,且比任何實在量來得大。

沒有任何量是有別于不是任何量的另一個量的極端。沒有任何量,這樣一個極端數(shù)是什么呢?是0的相反數(shù),就是-0。

存在所有事物的共性嗎?回答是肯定的。

共性:ABC=S,S就是共性!

因為空屬于任何事物,所以,空是所有事物的共性之一。

因為所有事物都包含于無中,所以,屬于無也是所有事物的共性之一。

任何事物屬于無,任何事物包含空。這是所有事物必有的兩個共性。

眾所周知,在算術運算中,-0=0。但是,在邏輯上,需要引進一個有別于0的一個新的極端量,正是-0。并且,邏輯運算顯示,-0≠0。

太極代數(shù)和廣義太極代數(shù)證明,一切量存在于空(-0)和無(0)之間。0是最大數(shù),-0是最小數(shù)。

六 空位的表達:布爾代數(shù)和太極代數(shù)的比較

空位的數(shù)學表達是一個十分基本的問題。目前,已知有兩種方式表示空位。一是布爾代數(shù)的0,0表示空。二是太極代數(shù)的0,0表示無。

布爾代數(shù)是如何表達空位的?用一個0。100,010,001?？占?00。0是空缺的意思,且0是占位的。1+0=1,表示1與0析取顯示1?？梢?在布爾代數(shù)中,空是占位的,叫空位。

太極代數(shù)可以表達空位嗎?也用一個0?！?00】*這里【x】表示特定的邏輯變量,以區(qū)別于人們通常熟悉的代數(shù)變量x。參見王俊龍:《〈周易〉經(jīng)傳數(shù)理研究》,北京:人民出版社,2015年版,第1、143頁(注釋部分)。,【010】,【001】。但是,全集是【000】?！?】是無量的意思,且是占位的,但不顯示任何量?！?】×【0】=【1】,表示【1】與【0】合取顯示【1】。

【-0】表示空,【1】+【-0】=【1】,【1】與【-0】析取顯示【1】。但是,【-0】是不占位的,因為沒有任何量。就是說,太極代數(shù)中空缺是不占位的!

《老子》曰:“三十輻共一轂,當其無,有車之用。埏埴以為器,當其無,有器之用。鑿戶牖以為室,當其無,有室之用。故有之以為利,無之以為用。”

可見,老子用其無,布爾用其空。

七 邏輯編碼的適用對象

數(shù)學與實在的關系,數(shù)學是認知工具,實在是認知對象。

實在是可以認知的,意味著是可以編碼的!只有達到可以編碼的程度才可以說對實在有所認知。實用物品可編碼意味著還可以實施網(wǎng)絡控制技術,物聯(lián)網(wǎng)技術是例證。

目前為止,以下認知的對象大致已經(jīng)達到邏輯編碼的程度:

時間可以邏輯編碼(見上述第二組);

空間可以邏輯編碼(見上述第二組);

顏色可以邏輯編碼(見太極代數(shù))[2]159-160;

命題可以邏輯編碼(見布爾代數(shù));

集合可以邏輯編碼(見上述第三組);

存在可以邏輯編碼(見上述第一組);

自然數(shù)可以邏輯編碼(見廣義太極代數(shù))[2]230-234

邏輯圖可以邏輯編碼(見太極代數(shù))[6];

布爾代數(shù)可以邏輯編碼(見太極代數(shù));

太極代數(shù)可以邏輯編碼(見廣義太極代數(shù));

人體形態(tài)可以邏輯編碼…(見太極代數(shù))[6]

當然,達到邏輯編碼程度的認知對象不止上述列舉的內(nèi)容。

八 結(jié)論

綜上所述,空缺的數(shù)學表達關涉認知現(xiàn)象學的核心內(nèi)容。由于對空缺認知的差異,也由于對數(shù)理認知的差異,關于空缺的數(shù)學編碼技術也是有差異的。不過,有一點是清楚的了,布爾代數(shù)作為邏輯編碼技術是有其局限性的。相比較而言,太極代數(shù)和廣義太極代數(shù)在邏輯編碼方面有廣泛得多的應用。這是因為,太極代數(shù)和廣義太極代數(shù)是建立在-0(空)和0(無)之間的邏輯代數(shù)。而空和無是一切存在的兩個極端表現(xiàn),或者說,一切現(xiàn)象存在空與無之間。

通過空缺表達的認知現(xiàn)象學分析,有助于人們理解一種新的數(shù)學觀,甚至也有助于人們理解一種新的世界觀。布爾代數(shù)和廣義太極代數(shù)(含太極代數(shù))其實是兩種世界觀的產(chǎn)物。前者的立論基礎是有無矛盾論(或?qū)嵲谡?,后者的立論基礎是太極陰陽思想(或陰陽和合論)。[2]157-158一切數(shù)量存在于-0(空)和0(無)之間,預示著一種新的邏輯代數(shù):太極代數(shù)和廣義太極代數(shù)。一切現(xiàn)象存在于空與無之間,預示著一種新的世界觀。

[1]王俊龍.論太極代數(shù)及其辯證內(nèi)涵[J].湖南師范大學社會科學學報,2009(3)：43-47.

[2]王俊龍.《周易》經(jīng)傳數(shù)理研究[M].北京：人民出版社，2015.

[3]王俊龍.《周易》數(shù)理是什么？[J].西南大學學報,2016(2)：19-27.

[4]王俊龍.廣義太極代數(shù)：R 上的邏輯代數(shù)[J].湖南師范大學自然科學學報,2014(5)：85-89.

[5]方景龍,王毅剛.應用離散數(shù)學[M].北京：人民郵電出版社，2005 :7.

[6]王俊龍.人體形態(tài)邏輯:生物邏輯學研究[J],湖南師范大學自然科學學報,2012(2)：76-81.

(責任編輯 郭慶華)

An Analysis of Mathematical Coding from Perspective of Cognitive Phenomenology

WANG Jun-long

(ThePeriodicalOfficeofChinaUniversityAcademicAbstracts，Shanghai200234,China)

From the perspective of mathematical coding,this paper discusses the mathematical,logical and philosophyical connotations of 0,a kind of cognition of vacancy phenomenon regarded as one of the contents of phenomenology.Therefore, the cognition of vacancy and its mathematical coding can also be viewed as cognitive category of phenomenology.The paper focuses on the mathematical representation of vacancies,discussing some related problems around the mathematical coding of vacancy：How to represent vacancy？What is logical connotation of eight hexagrams?Is Boolean algebra operation closed? What is extreme state of the existence?How to represent vacant position?Does algebra exist within 0?What are the differences between Boolean algebra and general Tai Chi algebra (including Tai Chi algebra)?

cognitive phenomenology；mathematical coding；Boolean algebra；Tai Chi algebra；general Tai Chi algebra

2016-10-30

王俊龍(1959-),男,江蘇鹽城人,博士,《高等學校文科學術文摘》雜志社研究室主任、副研究員，主要從事教育學、心理學和語言文字學編輯工作，以及《周易》數(shù)理研究。

10.13451/j.cnki.shanxi.univ(phil.soc.).2017.02.002

B089;O141

A

1000-5935(2017)02-0008-06

① 第八屆華東現(xiàn)象學青年論壇暨“現(xiàn)象學與認知科學”研討會(2016年11月5-6日,中國巢湖)參會論文,本文可視為從現(xiàn)象學角度認識數(shù)理邏輯問題的一次新嘗試,這里發(fā)表時保持原文不變。