康 順，李佳田，武 昊

1. 中國礦業(yè)大學(北京)地球科學與測繪工程學院，北京 100083； 2. 昆明理工大學國土資源工程學院，云南 昆明 650093； 3. 國家基礎地理信息中心，北京 100830

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Voronoi鄰近關系支持下的點模式趨同提取方法

康 順1，李佳田2，武 昊3

1. 中國礦業(yè)大學(北京)地球科學與測繪工程學院，北京 100083； 2. 昆明理工大學國土資源工程學院，云南 昆明 650093； 3. 國家基礎地理信息中心，北京 100830

點模式及其趨同研究是揭示地學現(xiàn)象的產(chǎn)生、發(fā)展與演變，量化空間相似性分布、詮釋空間分布成因的重要方式。目前，點模式研究側(cè)重于已知頻率與隨機分布的一元獨立性檢驗、距離測度下單觀測值的二元相關性分析，而針對集聚過程相關性，空間拓撲與非拓撲鄰近、綜合多觀測值的點模式趨同量化研究顧及不足。據(jù)此，以空間鄰近性聚類、局部相關的多指標評價為切入點，本文提出了一種Voronoi鄰近關系支持下的點模式趨同提取方法。首先，以Voronoi鄰近相關表集聚算法剖分出空間獨立性點模式；其次，依據(jù)Voronoi鄰近關系指數(shù)測度、樣本分布均值與分布方差的趨同假設，使用拉普拉斯平滑算子評價趨同度；最后，依據(jù)λ截矩陣，提取出Voronoi鄰近、非Voronoi鄰近關系支持下的強趨同點模式。試驗以云南省騰沖市居民點數(shù)據(jù)為算例，經(jīng)與點模式構(gòu)建的聚類方法對比、趨同度計算與強趨同提取，驗證了該方法的可行性與有效性。

點模式；Voronoi鄰近關系；相關性；趨同假設；拉普拉斯平滑

具有空間格局特征的居民地、叢集島嶼群、湖泊群、水體污染源與流行病等均可抽象為點狀特征的地理對象或事件。依據(jù)地理對象或事件的位置研究空間分布是完全隨機模式(complete spatial randomness，CSR)、集聚模式(clustering pattern，CP)，還是規(guī)則模式(regular pattern，RP)是空間點模式分析的重要內(nèi)容[1]。當兩個空間分布之間存在空間相關性，或前期分布與后期分布存在時間相關性，此二元點模式時空效應研究對空間決策具有重要指導意義，如居民點時空分布與教育、醫(yī)療、交通因素的相關性分析；犯罪熱點地點的空間異質(zhì)性與空間依賴性[2]；前期商業(yè)網(wǎng)點分布是否影響后期餐飲網(wǎng)點分布等。

點模式趨同假說可追溯至1956年以經(jīng)濟學家Solow和Swan為代表創(chuàng)建的新古典經(jīng)濟增長模型[3-4]。相關研究證實，經(jīng)濟增長趨同研究往往重視時間因素而忽視了空間因素。諸多分布現(xiàn)象通常以點事件作為基本單元，在細節(jié)表達上抽象為點過程?？臻g趨同表達了地理事件空間分布與演化的時空變化性質(zhì)。空間區(qū)域特征、空間關系和空間過程所產(chǎn)生的空間效應對趨同的形成與演化有重要影響[5]，如地震發(fā)生、疾病分布、犯罪熱點、極端氣溫點過程和礦化點過程[6]等。一元點模式的分析方法與假設檢驗具有相似的邏輯計算過程，假設參照為某一概率分布，如泊松過程。以全局莫蘭指數(shù)(Global Moran’s I)為代表的量度方法用單一值描述點狀對象或事件與空間分布距離(密集度)的總體相關性較難適用空間差異度量。用于二元點模式研究的Moran閃點圖、局部莫蘭指數(shù)(Anselin Local Moran’s I)、吉爾里C數(shù)(Geary’s C)與高低聚類(Getis’G)局部統(tǒng)計量[7]的鄰近性以距離計量得出，往往導致空間信息失衡[8]，一方面，高低聚集(HL)、低高聚集(LH)、高高聚集(HH)、低低聚集(LL)無法體現(xiàn)出空間非鄰近對象或事件之間的相關關系；另一方面，單觀測值標準差的標準化并未顧及多觀測值條件的整體評價。此外，點模式的結(jié)構(gòu)信息與空間聚類、制圖綜合、空間分析的具體應用密切關系[9]。綜合線面特征分布的點目標多尺度聚類方法[10]、加權Voronoi圖模糊C-均值集聚法[11]、基于鄰近圖、k階空間鄰近的點群層次聚類方法[12-13]，以及基于k-means+DBI(Davies bouldin index)聚類的點群層次Voronoi圖綜合方法[14]，在點群集聚過程中，由于未顧及空間相關性，使得分簇結(jié)構(gòu)在空間分布上往往表現(xiàn)出很強的隨機性，構(gòu)建出的不同結(jié)構(gòu)形態(tài)點模式勢必得出不同的時空分布與演變論斷，曲解空間現(xiàn)象發(fā)生機理。

空間即存在依賴性分布，又存在隨機性分布，空間獨立性假設是否真的不予成立？為什么研究空間依賴性的同時又探究空間隨機性？科學實踐表明，消除空間依賴性影響的關鍵在于觀測與抽樣[15]。根據(jù)地理學第一定律，地理事物或?qū)傩栽诳臻g分布上互相關，距離越近，相關性越大[16]。針對上述問題，提出了一種利用Voronoi鄰近關系提取點群中潛在的空間Voronoi鄰近與空間非Voronoi鄰近的強趨同性點模式方法。首先，在空間聚類過程中引入空間相關性，設計Voronoi鄰近相關表(voronoi adjacency correlation table，VACT)聚類算法，將滿足Voronoi鄰近關系的對象標記為該拓撲尺度下的獨立性樣本空間；其次，通過Voronoi鄰近指數(shù)(voronoi adjacency index，VAI)算法快速測度空間點過程，結(jié)合統(tǒng)計分布假設檢驗，使用拉普拉斯平滑算子實現(xiàn)點模式多觀測值的總體空間趨同計算；最后，利用λ截距陣提取出強趨同度性點模式。

1 點模式Voronoi鄰近剖分

1.1 Voronoi鄰近點對提取

定義1 普通Voronoi圖

在二維歐幾里得空間中，存在空間點集P={p1，p2，…，pn}，如圖1(a)所示。若pi，pj∈P滿足式(1)關系，則稱由滿足條件p構(gòu)成的空間域為點pi的Voronoi圖，記為Vor(pi)，如圖1(b)所示

Vor(pi)=∩p∈P-{pi}dom(pi,pj)

(1)

式中，dom(pi，pj)=dis(p-pi)≤dis(p-pj)(0

定義2 Voronoi最鄰近點對

若pi的Voronoi圖Vor(pi)滿足式(2)關系

(2)

式中，NP為點pi的Voronoi鄰近點集；min(·)為集合最小距離值算子。

則pnearest為與pi構(gòu)成的最鄰近點對。如圖1(c)所示的最鄰近點對p與np。

1.2 Voronoi鄰近對象聚類

依據(jù)適應性抽樣原則，空間集聚樣本的鄰近對象具有較高同一性，不宜在同一樣本空間內(nèi)抽取，此時鄰近對象間存在的相互作用力可視為一種放松相互獨立假設[17]，則鄰近關系尺度下剖分而構(gòu)成的各單元集可視作獨立假設的樣本空間。鄰近對象的鄰近測度并非對象本身的空間鄰近關系，確切地說是對象的Voronoi鄰近[18]。

圖1 Voronoi最鄰近點查找Fig.1 The nearest point search by Voronoi adjacency relation

依據(jù)Voronoi鄰近關系、點群Voronoi面積分布與空間相關性，Voronoi面積越小，空間表現(xiàn)越集聚，相關性也越強。設計了一種依據(jù)Voronoi鄰近性集聚樣本空間的算法，該算法意義在于：①針對K-means初始聚類中心的敏感性，依據(jù)Voronoi面積與Voronoi鄰近關系實現(xiàn)數(shù)據(jù)的自適性分類；②K-means聚類根據(jù)距離對空間數(shù)據(jù)從全局上進行聚類，未顧及空間分布、空間局部相關性，分類器會呈現(xiàn)如圖2中虛線所示。在地理空間分布中，由于空間邊界共享的局部依賴性，最優(yōu)集群性結(jié)構(gòu)表達應如圖2所示的點模式1、點模式2。由此可見，K-means方法割裂了空間鄰近性分布結(jié)構(gòu)。據(jù)此，本文點群集聚算法將空間局部相關性引入聚類過程，確保點模式集聚的空間結(jié)構(gòu)形態(tài)合理性。

算法1：Voronoi鄰近相關表(VACT)聚類

輸入：空間點集P={p1，p2，…，pn}。

輸出：空間聚類樣本SC={SC1，SC2，…，SCm}。

(1) 根據(jù)空間點集P，構(gòu)建其Voronoi區(qū)域Vor(pi)←createVor(P)。

(2) 按照Voronoi面積由小到大的順序?qū)or(pi)排序，并置pi的類別屬性為ck(k=1，2，…，n)，構(gòu)成數(shù)組RR←sort(Vor(pi))。

圖2 K-means算法割裂點模式結(jié)構(gòu)形態(tài)Fig.2 Point pattern configuration partitioned by K-means algorithm

(3) 構(gòu)建鄰近相關表NN←null。

(4) 遍歷點集Vor(pi)中的點pi，查找在NN中是否存在與pi鄰近的點pj←findNP(pi，NN)。

① 如果pj≡?，最鄰近相關表NN中加入pj，SCk=NN←add(pj)(k=1，…，n)。

② 如果pj≠?，則cpj←cpi，最鄰近相關表NN中加入pj，SCk=NN←add(pj)，在RR中刪除RR←delete(pj)。

(5) 算法結(jié)束。

2 點模式趨同度量

地理空間中的集群對象由于受多種因素影響，其空間分布的發(fā)生、發(fā)展在形態(tài)表達上會出現(xiàn)某種擴散或排列性趨同，不僅近距離的鄰近對象存在關聯(lián)，而且遠距離非鄰近對象也存在一定相關性。鑒于吉爾里C數(shù)、莫蘭指數(shù)空間相關性分析方法的空間關系權重定義差異對空間相關性的分析和認識的影響[19]，從空間分布模式、描述性統(tǒng)計(樣本平均數(shù)、方差)、解釋描述結(jié)果的推論性統(tǒng)計(樣本假設檢驗)3個方面度量點模式趨同。

2.1 分布模式度量

點模式分布的測度方法主要有K函數(shù)、最鄰近指數(shù)(nearestneighborindex，NNI)、核函數(shù)等[20]，由于K函數(shù)的計算結(jié)果難以直觀地判讀出分布性質(zhì)[21]；核函數(shù)又表現(xiàn)為主觀性帶寬τ問題[22]，所以，常用最鄰近指數(shù)，但隨著數(shù)據(jù)點的增多，其計算量呈幾何性增大。為此，利用VAI算法快速測度點模式，確定點模式是空間隨機分布、集聚分布，還是規(guī)則分布。

算法2：Voronoi鄰近指數(shù)(VAI)計算

輸入：空間點集P={p1，p2，…，pn}。

輸出：最鄰近指數(shù)NI。

(1) 構(gòu)建空間點集P的Voronoi圖，Vor(P)←createVor(P)。

(2) 利用Vor(P)確定與點pi鄰近的候選點集points←findAdjVor(pi，Vor(P))，從候選點集points中計算出與點pi最鄰近點的距離dk←nearestDist(pi，points)(k=1，…，n)。

(3) 計算各點與其最鄰近點的平均距離，avg_d←∑dk/n；area(·)計算點集P的Voronoi面積總和SA，SA←∑area(Vor(P))。

(4) 計算最鄰近指數(shù)，NI←2×avg_d×(n/SA)-1/2。

(5) 算法結(jié)束。

圖3所示NNI的Voronoi表達是一個漸進過程，度量值1至0，偏離隨機分布，集聚性分布逐漸增強；1至2.15規(guī)則性分布逐漸增強。同時界定3種空間分布的標準是一個在統(tǒng)計上仍需進一步探究的問題，文獻[23—25]給出了對空間分布界定不一致的情況，見表1所示的最鄰近指數(shù)空間分布界定。

圖3 點模式的Voronoi圖表達Fig.3 Point pattern represented by Voronoi

由于最鄰近點指數(shù)分類的界定標準不同，本文利用已有研究采用加權的方式界定空間離散、集聚與規(guī)則分布的區(qū)間。針對I1與I2的CSR均為1.0，取其權值相等，建立式(3)

(3)

解算式(3)，得

(4)

根據(jù)表1中CSR的界定值1.0、1.0、0.5，代入式(4)，得CSR的界定區(qū)間，結(jié)果見式(5)

(5)

2.2 分布方差度量

統(tǒng)計學中p值檢驗的真實程度反映了樣本變量與總體變量相關聯(lián)的可靠程度。假設滿足某參數(shù)的兩個p元正態(tài)樣本：U={U1，U2，…，Ui}、V={ V1，V2，…，Vj}～N(μ，∑)，構(gòu)建F統(tǒng)計量表達如式(6)所示

表1 最鄰近指數(shù)界定域

(6)

式中，μU、μV代表樣本U、V均值；m、n代表U、V樣本個數(shù)。在顯著性水平α下，其零假設H0和備擇假設H1如式(7)

(7)

(8)

則接受零假設H0，表明兩樣本在數(shù)值波動方面沒有明顯差異，即兩樣本相容，可視為源于同一樣本空間，反之亦然。

2.3 分布均值度量

當方差檢驗無明顯差異時，表明樣本源于同一總體。此時，在顯著性水平α下，相應的均值零假設H0、備擇假設H1如式(9)

(9)

構(gòu)建檢驗t分數(shù)，如式(10)

(10)

若在t檢驗臨界值表中查得，t>t1-α(m+n-2)，表明二者存在均值上的顯著性差異，則拒絕零假設，選擇備擇假設。當方差相容、檢驗均值不相容時，該樣本為同一總體中的差別抽樣；當檢驗方差、均值檢驗均相容時，說明為同一總體下的無差別抽樣[26]。

2.4 綜合提取度量

利用p值的反向推導對事件作出恰當估計需更多信息，如效應客觀存在的概率就是不可或缺的重要一面[27]，但這樣的信息有時并不容易得到。針對單項指標檢驗的弊端，通過多項指標，即統(tǒng)計量綱為分布模式(隨機、聚類或規(guī)則)、分布距離均值、距離方差檢驗的綜合評價來度量點模式趨同度。由于假設檢驗論證結(jié)果為非零假設即備擇假設的邏輯結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)出相容性與非相容性二者必居其一，因此，依據(jù)多項指標檢驗結(jié)果邏輯值的均值描述對事件作出反向判斷。經(jīng)對多個獨立性指標的相容性檢驗，綜合性指標(Overall Index，OI)的拉普拉斯平滑計算表達如式(11)所示

(11)

式中，#′1′s：相容性指標基數(shù)；#′0′s：非相容性指標基數(shù)。

根據(jù)此平滑計算的魯棒性，從式(11)不難看出：當檢驗指標均相容或均非相容時，由于存在其他未知的指標因素(時空因素)，點模式的趨同由初始確定性的邏輯真值1或邏輯假0判斷轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N不確定性度量。為了從不確定性度量中提取出強趨同點模式，定義λ值為趨同一致強度的度量標準。對上述Laplace平滑結(jié)果構(gòu)成的矩陣A，采用λ截矩陣法對矩陣元素值x與度量標準λ進行比較運算，從而提取出所要表達的強趨同點模式，形式化表達如式(12)所示

(12)

3 算例與分析

騰沖位于中國西南邊陲的滇西南，村鎮(zhèn)多集中在中北部地區(qū)，聚落規(guī)模大小不一，小聚落多坐落于偏遠山區(qū)；大聚落多分布在中部經(jīng)濟發(fā)達地區(qū)[28]。以圖4所示的1∶50 000比例尺、云南省騰沖市某區(qū)域當?shù)刈鴺讼迪碌?77個居民點試驗數(shù)據(jù)為研究案例，利用C#+ArcGIS Engine9.3實現(xiàn)VACT、VAI，以及點模式趨同度計算、強趨同性點模式提取的試驗研究。

3.1 VACT與K-means+DBI對比

利用VACT集聚算法，經(jīng)圖5居民點Voronoi圖，剖分出圖6所示的最鄰近拓撲尺度下點模式的Voronoi鄰近單元集，圖7為文獻[14]的整體最優(yōu)自適應聚類算法K-means+DBI的計算結(jié)果。從表2所示的集聚要素對比可知：①在初始聚類中心計算上，K-means+DBI的計算復雜度為O(n2)，而VACT算法的計算復雜度為O(n)；②在自適應控制上，DBI每次聚類的迭代過程均需計算與各聚類中心的最遠距離點、類內(nèi)距與類間距相似度，以確定最優(yōu)聚類個數(shù)，而VACT在候選集中查找最鄰近的空間對象，涉獵空間分布的局部性鄰近依賴。由此，K-means+DBI方法產(chǎn)生了圖7所示類別1與類別2的分割線破壞了圖6中點模式15、點模式19的地理空間結(jié)構(gòu)形態(tài)完整性。③在空間結(jié)構(gòu)特征上，K-means+DBI的歐氏距離未顧及原空間分布特征，而VACT集聚結(jié)果則保持了原空間分布結(jié)構(gòu)；④在聚類精細化程度上，K-means+DBI方法劃分出圖7所示的4類點模式空間分布格局與本文方法得出的22類結(jié)果相比，其對空間結(jié)構(gòu)的表達程度更多體現(xiàn)為宏觀性，掩蓋了在小面積單元下所具有的有意義的地理變化單元，如圖7中的類簇4可細化為圖6中的點簇12與點簇22。因此，VACT聚類產(chǎn)生的點模式空間結(jié)構(gòu)形態(tài)對空間分析更為穩(wěn)健。

圖5 居民點Voronoi圖Fig.5 Residential Voronoi diagrams

圖6 居民點VACT聚類Fig.6 VACT clustering on residential points

圖7 居民點K-means+DBI聚類Fig.7 K-means+DBI clustering on residential points

Tab.2 Corresponding factor contrast between clustering methods

方法參量初始聚類中心自適應控制結(jié)構(gòu)特征類別K-means+DBI歐氏距離極大值點DBI未顧及4VACTVoronoi面積最小值點Voronoi鄰近相關表顧及22

3.2 趨同度計算

根據(jù)VAI，圖6試驗區(qū)點模式空間分布的計算結(jié)果見表3。VAI在精確過濾模式下，從特定范圍的拓撲鄰近候選集中查找與之的距離最近點，其復雜度O(n)與逐點逐次計算復雜度O(n2)的比較如圖8所示。作為趨同度量中的一個重要指標，在多個點模式NNI的重復計算過程中，VAI可提高計算效率。點模式分布的距離方差、距離均值度量見表4和表5。

圖8 鄰近指數(shù)計算復雜度比較 Fig.8 Comparison of nearest indices computational complexity

3.3 強趨同提取

結(jié)合表3、表4、表5，在選取顯著性p值為0.1條件下，利用假設檢驗方法及臨界值表檢驗各點模式在分布模式、距離方差、距離均值指標下的相容性，并將檢驗結(jié)果通過Laplace平滑算子及λ截矩陣(λ=3/5>50%)計算提取出14個強趨同點模式，檢驗結(jié)果見表6、示意圖如圖9所示，其中點模式2(圖6中點模式16、17、19與20)、點模式6(圖6中點模式2、8與10)、點模式7(圖6中點模式3與7)、點模式8(圖6中點模式4與6)在點過程、平均距離、緊湊性上表現(xiàn)出非Voronoi鄰近條件下樣本空間強趨同的獨立同分布；點模式1(圖6中點模式5與13)則表現(xiàn)為Voronoi鄰近條件下的空間強趨同分布。

圖9 強趨同模式提取Fig.9 Strong convergent pattern extraction

點模式1234567891011分布模式0.4840.5420.4420.4060.5510.4150.5130.5630.5041.0151.087點模式1213141516171819202122分布模式0.7651.1220.6230.7660.9720.9381.0181.0020.9560.6210.598

表4 點模式分布方差

表5 點模式分布均值

從試驗數(shù)據(jù)直觀發(fā)現(xiàn)居民點與道路、水系交通條件呈現(xiàn)出一定的空間相關性，相對于圖7的大尺度聚元點模式2，均沿河流與道路分布，難以確定主導因素，而圖6的小尺度聚元點模式5和13，根據(jù)p值置信趨同檢驗，點模式5與點模式13的空間強趨同分布，表明在地理空間布局上存在相同的因素共同制約兩者的空間布局，結(jié)合試驗數(shù)據(jù)與鄰近性，此微觀尺度的空間連續(xù)性分布與道路的相關性要大于與水系要素的相關性。此外，根據(jù)二兩者的空間Voronoi鄰近性也可合并歸類，作為探尋局部區(qū)域多尺度下的空間分析對象，為面元計算的尺度可變性研究提供參考。圖9中的點模式8對應圖6中的點模式4和點模式6，表現(xiàn)為CP空間分布，在此微觀尺度下，單獨的點模式分布表現(xiàn)為空間分布的不確定性，難以斷定其相關性，經(jīng)兩者趨同綜合度量，結(jié)合兩者周邊地理實體數(shù)據(jù)，其間的強趨同表明二者分布共同受到道路約束，此空間非Voronoi鄰近的強趨同點模式可為探索地理隔離條件下的趨同關系研究提供一種視角。

綜上，在空間宏觀條件下，點模式的分布多表現(xiàn)為空間連續(xù)的集聚性分布，易于發(fā)現(xiàn)集聚成因；在空間微觀條件下，點模式即存在空間連續(xù)分布的依賴性，也存在空間離散分布的隨機性，其與環(huán)境相關性的主導要素難以確定，而趨同關系則可從內(nèi)部細節(jié)上把握點模式空間分布的綜合影響、確定相關性及局部鄰近性的空間多尺度分析。在農(nóng)村居民點城鎮(zhèn)化發(fā)展動態(tài)格局上，空間聚落體系發(fā)展與交通運輸方式、自然資源空間布局緊密相關，基于Voronoi鄰近關系的點模式趨同提取可揭示出聚落空間的結(jié)構(gòu)形態(tài)及其局部性相關關系，發(fā)現(xiàn)影響空間趨同的制約因素。

表6 點模式趨同綜合提取

4 結(jié) 論

針對傳統(tǒng)一元點模式趨同分析單一全局觀測值規(guī)則檢驗的局限性，最鄰近指數(shù)、Moran’s I、空間拓撲鄰近與非鄰近關系在二元點模式相關性研究中的不足，提出了Voronoi鄰近關系支持下的點模式趨同提取方法，其中Voronoi鄰近相關表集聚算法(VACT)驗證了空間相關性保持點模式形態(tài)結(jié)構(gòu)完整的重要性；Laplace平滑的局部多項指標(VAI，方差、均值檢驗)綜合評價可對趨同事件做出合理性估計；Voronoi鄰近與非Voronoi鄰近的強趨同點模式λ提取可為發(fā)現(xiàn)空間格局及其相關性、探究趨同關系約束因子，為揭示城鎮(zhèn)居民點的地理空間布局、疾病分布、公共安全、實踐社會學等空間點過程的研究提供有力工具。針對趨同度度量方式、影響因素多元化，綜合生態(tài)、經(jīng)濟、人文等多種驅(qū)動因素探究空間依賴的多層次性之間存在的空間趨同關系理解空間格局演化與預測，以及多種趨同因素中主導因素的提取是后續(xù)研究中需要進一步探討和解決的問題。

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(責任編輯：張艷玲)

An Extraction Method for Point Pattern Convergence under Voronoi Adjacency Relation

KANG Shun1,LI Jiatian2,WU Hao3

1. College of Geoscience and Surveying Engineering，China University of Mining and Technology (Beijing)，Beijing 100083，China； 2. Faculty of Land Resource Engineering，Kunming University of Science and Technology，Kunming 650093，China； 3. National Geomatics Center of China，Beijing 100830，China

Point pattern convergence exerts a fundamental way in quantifying similar spatial patterns, which plays an essential function in revealing geographical phenomena emergence, development and evolution. Nevertheless, the independence test for traditional unary point pattern was based on a given frequency or random distribution. Moreover, the local correlation analysis for binary point pattern was focused on single observation and the surroundings were measured by Euclidean distance. Hereto, the issues on correlation in clustering, comprehensive convergence quantization for the point pattern under multiple observations and topological adjacency and non-adjacency relations need to be addressed. In facets of adjacency clustering and local convergence values over the criteria of spatial pattern, an extraction method for point pattern convergence under Voronoi adjacency relation was proposed. Firstly, independent spatial point patterns were tessellated using a clustering algorithm based on the Voronoi Adjacency Correlation Table,abbr.VACT.Secondly,theNearestNeighborIndexwascalculatedthroughtheVoronoiAdjacencyIndexalgorithm,VAIforshort,andincombinationwiththehypothesistestingresultsincludingmeandistanceandvariance,thecomprehensiveconvergencehypothesiswasquantifiedviaLaplacesmoothing.Thirdly,accordingtoλtruncatedmatrix,thestrongconvergentpointpatternswereextractedunderthesupportofVoronoiadjacencyandnon-adjacencyrelations.Lastbutnotleast,takingtheresidentpointsetofTengchongYunnanforexample,throughpointpatternconstructionandcomparison,convergencecalculationandstrongconvergenceextraction,thismethodwasevaluatedtobepromising.

point pattern; Voronoi adjacency relation; correlation; convergence hypothesis; Laplace smoothing

The National Natural Science Foundation of China (Nos. 41561082；41161061)

康順，李佳田，武昊.Voronoi鄰近關系支持下的點模式趨同提取方法[J].測繪學報，2017,46(5)：649-657.

10.11947/j.AGCS.2017.20150506. KANG Shun，LI Jiatian，WU Hao.An Extraction Method for Point Pattern Convergence under Voronoi Adjacency Relation[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2017,46(5):649-657. DOI:10.11947/j.AGCS.2017.20150506.

2015-10-12

康順(1987—)，男，博士生，研究方向為Voronoi空間關系建模與計算。First author： KANG Shun(1987—)，male，PhD candidate，majors in Voronoi guided spatial relation modelling and computing.

E-mail： kangshun_cumt@126.com

P

A

1001-1595(2017)05-0649-09

國家自然科學基金(41561082；41161061)

修回日期： 2017-03-10