王樂(lè)洋，陳漢清

1. 東華理工大學(xué)測(cè)繪工程學(xué)院，江西 南昌 330013； 2. 流域生態(tài)與地理環(huán)境監(jiān)測(cè)國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌 330013； 3. 江西省數(shù)字國(guó)土重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌330013

?

多波束測(cè)深數(shù)據(jù)處理的抗差最小二乘配置迭代解法

王樂(lè)洋1,2,3，陳漢清1,2

1. 東華理工大學(xué)測(cè)繪工程學(xué)院，江西 南昌 330013； 2. 流域生態(tài)與地理環(huán)境監(jiān)測(cè)國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌 330013； 3. 江西省數(shù)字國(guó)土重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌330013

針對(duì)利用最小二乘配置處理多波束測(cè)深數(shù)據(jù)，存在二次曲面數(shù)學(xué)模型通常無(wú)法精確表征海底地形的整體變化趨勢(shì)以及觀測(cè)數(shù)據(jù)存在粗差或異常點(diǎn)時(shí)，常規(guī)方法給出的協(xié)方差函數(shù)不能精確表征其統(tǒng)計(jì)特性的問(wèn)題，本文提出了一種抗差最小二乘配置迭代解法。該方法首先進(jìn)行協(xié)方差函數(shù)和觀測(cè)值方差陣初始化，以多面函數(shù)擬合趨勢(shì)項(xiàng)，然后應(yīng)用等價(jià)權(quán)抗差估計(jì)并通過(guò)迭代計(jì)算，最終給出穩(wěn)健的協(xié)方差函數(shù)參數(shù)解及最小二乘配置解。利用本文提出的方法及傳統(tǒng)的方法處理實(shí)測(cè)的多波束測(cè)深數(shù)據(jù)，試驗(yàn)結(jié)果表明，相比于傳統(tǒng)的方法，本文提出的方法能夠較好地表征海底地形的整體變化趨勢(shì)，一定程度上克服了多波束測(cè)深數(shù)據(jù)中粗差或異常點(diǎn)的影響。相比于傳統(tǒng)的抗差方法，本文方法更為有效地識(shí)別出測(cè)深數(shù)據(jù)中異常點(diǎn)，推估效果較好，具有穩(wěn)健性。

最小二乘配置；海底地形生成；協(xié)方差函數(shù)；抗差；趨勢(shì)項(xiàng)

近年來(lái)，在海底地形測(cè)量技術(shù)中多波束測(cè)深系統(tǒng)成為海洋測(cè)量的主要設(shè)備，給研究區(qū)域的海底地形構(gòu)建帶來(lái)了豐富的數(shù)據(jù)資料[1]。高精度的海底地形地貌信息是保障海上船只航行及艦艇作戰(zhàn)訓(xùn)練安全的必備資料，也是海洋工程、資源開(kāi)發(fā)和海洋科學(xué)研究等多個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域的重要基礎(chǔ)信息[2]。為了提高海底地形構(gòu)建的精度，必須采用合適的算法對(duì)多波束測(cè)深數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，眾多學(xué)者作了大量的研究工作[3]。文獻(xiàn)[3]提出了抗差Kriging擬合方法，該方法在精確估計(jì)的同時(shí)能夠檢測(cè)測(cè)深數(shù)據(jù)的異常點(diǎn)，但是該方法需要測(cè)深數(shù)據(jù)滿足平穩(wěn)假設(shè)或內(nèi)蘊(yùn)假設(shè)，只能對(duì)平坦的海底數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。

最小二乘配置最初是由Trarup提出，是用來(lái)研究地球形狀和重力場(chǎng)的一種數(shù)學(xué)方法[4]，隨后Moritz和Wolf對(duì)最小二乘配置作了進(jìn)一步研究[5-6]。如今，最小二乘配置已被廣泛應(yīng)用于地殼形變分析[7-9]、高程異常[10]、重力異常[11]、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換[12]等領(lǐng)域。文獻(xiàn)[13]將最小二乘配置應(yīng)用于海道測(cè)量非定位點(diǎn)的估計(jì)中，利用區(qū)域深度場(chǎng)信息解算出非定位點(diǎn)的水深值，該方法方便精度評(píng)估，取得了不錯(cuò)的效果。最小二乘配置能夠顧及多波束測(cè)深數(shù)據(jù)具有趨勢(shì)性和隨機(jī)性的影響，但無(wú)法探測(cè)出多波束測(cè)深數(shù)據(jù)中的粗差或異常點(diǎn)，針對(duì)于此問(wèn)題，文獻(xiàn)[14]提出了一種抗差最小二乘配置方法進(jìn)行處理，取得了良好的效果。文獻(xiàn)[15]對(duì)多波束測(cè)深數(shù)據(jù)處理的傳統(tǒng)抗差最小二乘配置方法和抗差Kriging擬合方法進(jìn)行了比較分析，通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證了在多波束測(cè)深數(shù)據(jù)處理中，最小二乘配置在模型上優(yōu)于Kriging擬合方法。但現(xiàn)有的多波束測(cè)深數(shù)據(jù)處理的配置法均基于二次多項(xiàng)式擬合趨勢(shì)項(xiàng)，一般情況下，特別是在海底地形起伏較大時(shí)，二次多項(xiàng)式難以表征海底地形的整體變化趨勢(shì)，甚至擬合的地形可能會(huì)出現(xiàn)“龍格現(xiàn)象”[16]，從而導(dǎo)致后續(xù)的經(jīng)驗(yàn)協(xié)方差函數(shù)估計(jì)存在偏差；另一方面，由于海況環(huán)境、測(cè)量?jī)x器以及人為等因素的影響，多波束測(cè)深數(shù)據(jù)不可避免的存在粗差點(diǎn)或異常點(diǎn)的情況，迫切需要一種有效的抗差方法進(jìn)行處理。

為了解決以上兩個(gè)問(wèn)題，提高多波束測(cè)深數(shù)據(jù)處理的精度，本文提出一種抗差最小二乘配置迭代解法，該方法以多面函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的二次多項(xiàng)式擬合海底地形的趨勢(shì)項(xiàng)，應(yīng)用Huber權(quán)函數(shù)并通過(guò)迭代的方式求出經(jīng)驗(yàn)協(xié)方差函數(shù)參數(shù)估計(jì)和最小二乘配置解。最后利用本文方法、傳統(tǒng)的抗差最小二乘配置方法及最小二乘配置方法進(jìn)行實(shí)際的多波束測(cè)深數(shù)據(jù)處理，驗(yàn)證了本文方法的有效性與可行性。

1 多波束測(cè)深數(shù)據(jù)處理的最小二乘配置方法

最小二乘配置方法能夠同時(shí)顧及到海底地形的趨勢(shì)項(xiàng)及隨機(jī)項(xiàng)，根據(jù)海底地形生成的特點(diǎn)，建立多波束測(cè)深觀測(cè)模型[17-18]

Z=GY+BX+Δ

(1)

(2)

式中，DΔ為測(cè)深值方差陣，PΔ為測(cè)深值權(quán)陣。將式(1)改寫(xiě)成誤差方程形式

(3)

根據(jù)廣義最小二乘原則，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)

(4)

式中，PX為多波束測(cè)深已測(cè)點(diǎn)與未測(cè)點(diǎn)的權(quán)陣，由式(4)求自由極值，并通過(guò)整理，得

(5)

將式(3)代入式(5)，通過(guò)法方程解算，得到多波束測(cè)深數(shù)據(jù)處理的最小二乘配置解[17]

(6)

式中，P=(DΔ+DS)-1；DS為測(cè)深值已測(cè)點(diǎn)信號(hào)協(xié)方差；DS′S為測(cè)深值未測(cè)點(diǎn)信號(hào)與已測(cè)點(diǎn)信號(hào)的協(xié)方差。其中，DS和DS′S由經(jīng)驗(yàn)協(xié)方差函數(shù)給出，常選定高斯函數(shù)進(jìn)行擬合[8-9,14]

(7)

(8)

(9)

式中，(xi,yi)為i點(diǎn)測(cè)深值的坐標(biāo)，Y=[abc

def]T為二次多項(xiàng)式模型待估參數(shù)。但一般情況下，特別是在海底地形起伏較大的區(qū)域，利用二次多項(xiàng)式擬合海底的整體連續(xù)變化趨勢(shì)可能會(huì)出現(xiàn)“龍格現(xiàn)象”[16]，不能夠精確地表征海底地形的整體連續(xù)變化情況。本文針對(duì)此問(wèn)題，提出利用多面函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的二次多項(xiàng)式進(jìn)行海底地形整體變化趨勢(shì)的擬合。

文獻(xiàn)[19—20]提出了多面函數(shù)模型來(lái)逼近不規(guī)則表面的思想，即任何的一個(gè)數(shù)學(xué)表面均可由一系列的數(shù)學(xué)表面的總和，以任意的精度進(jìn)行逼近。文獻(xiàn)[21]提出了基于多面函數(shù)的最小二乘配置改進(jìn)方法，該方法利用多面函數(shù)擬合地殼形變的趨勢(shì)項(xiàng)，并得到了較好的效果。假設(shè)海底地形的整體趨勢(shì)是一個(gè)連續(xù)不規(guī)則變化的表面，基于多面函數(shù)的優(yōu)良特性，利用多面函數(shù)對(duì)海底地形的整體趨勢(shì)項(xiàng)進(jìn)行逼近[20]

(10)

式中，γi為待定系數(shù)，R為核函數(shù)，(xi,yi)為核函數(shù)的選定點(diǎn)坐標(biāo)。其中，核函數(shù)R的表達(dá)形式為

(11)

h=Rγ

(12)

以多面函數(shù)擬合海底地形的整體連續(xù)變化趨勢(shì)，在最小二乘配置的框架下，把多面函數(shù)融入最小二乘配置中，此時(shí)基于多面函數(shù)的最小二乘配置函數(shù)模型為

Z=Rγ+BX+Δ

(13)

式中，Rγ表示海底地形的整體連續(xù)變化部分；R為n×m維的核函數(shù)矩陣；γ為m×1維的待定系數(shù)向量；BX為海底地形不規(guī)則變化的隨機(jī)部分。同理，根據(jù)廣義最小二乘原理，解得基于多面函數(shù)的最小二乘配置解[21]

(14)

2 多波束測(cè)深數(shù)據(jù)處理的抗差最小二乘配置迭代解法

2.1 觀測(cè)值初始權(quán)陣的確定

多波束測(cè)深系統(tǒng)是現(xiàn)今海洋測(cè)深的主要數(shù)據(jù)采集設(shè)備，它獲取的數(shù)據(jù)覆蓋范圍廣，采樣密度高等特點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用。但由于海洋測(cè)量相比于陸地測(cè)量存在較多的不穩(wěn)定因素，導(dǎo)致多波束測(cè)深數(shù)據(jù)存在粗差或異常點(diǎn)的情況較多，當(dāng)多波束測(cè)深數(shù)據(jù)含有粗差或異常點(diǎn)時(shí)，給出的最小二乘配置解并非是一個(gè)最優(yōu)解。針對(duì)多波束測(cè)深數(shù)據(jù)含有粗差或異常點(diǎn)的問(wèn)題，在文獻(xiàn)[21—24]的基礎(chǔ)上，本文提出了抗差最小二乘配置方法處理含有粗差或異常點(diǎn)的多波束測(cè)深數(shù)據(jù)。該方法首先進(jìn)行觀測(cè)值權(quán)陣的初始化，具體權(quán)陣初始化步驟如下：

(1) 對(duì)多波束測(cè)深數(shù)據(jù)消除整體連續(xù)變化趨勢(shì)，求取初始?xì)埐钪?/p>

(15)

(2) 根據(jù)給出的殘差初始值，計(jì)算初始方差因子，利用該式去計(jì)算參數(shù)的抗差解具有50%的高崩潰污染率

(16)

(3) 選取Huber權(quán)函數(shù)計(jì)算權(quán)因子[14]

(17)

2.2 協(xié)方差函數(shù)的抗差擬合方法

經(jīng)驗(yàn)協(xié)方差函數(shù)擬合的準(zhǔn)確性是求解最小二乘配置問(wèn)題的關(guān)鍵。經(jīng)驗(yàn)協(xié)方差函數(shù)的擬合主要為求解協(xié)方差函數(shù)(式(7))的兩個(gè)參數(shù)解D(0)和k。由上述得到的更新后的觀測(cè)值權(quán)陣，代入式(8)，得到抗差后的D(0)解

(18)

(19)

(20)

(1) 首先對(duì)式(20)左邊的k2開(kāi)根號(hào)處理，并取其中位數(shù)，計(jì)算其殘差值，即

(21)

(2) 根據(jù)給出的殘差初始值，計(jì)算初始方差因子

(22)

(3) 選取Huber權(quán)函數(shù)計(jì)算權(quán)因子

(23)

最后通過(guò)迭代計(jì)算，給出穩(wěn)健的協(xié)方差函數(shù)參數(shù)k的值。抗差最小二乘配置迭代解法的計(jì)算步驟如下：

(1) 初始化協(xié)方差函數(shù)，給出協(xié)方差函數(shù)的初始值D(0)(0)=1，k(0)=0。利用觀測(cè)值中位數(shù)，初始觀測(cè)值方差陣，以多面函數(shù)擬合趨勢(shì)項(xiàng)，計(jì)算得到最小二乘配置的初始解；

(2) 由步驟(1)得到的初始最小二乘配置解，去除趨勢(shì)項(xiàng)，根據(jù)Huber權(quán)函數(shù)更新觀測(cè)值方差陣，隨后進(jìn)行信號(hào)協(xié)方差統(tǒng)計(jì)，根據(jù)3.2節(jié)的方法得到協(xié)方差函數(shù)的參數(shù)解D(0)和k；

(3) 由步驟(2)得到的新的協(xié)方差函數(shù)以及更新后的觀測(cè)值方差陣，計(jì)算信號(hào)協(xié)方差Ds，把Ds和更新后的觀測(cè)值方差陣代入式(14)，計(jì)算得到新的最小二乘配置解。

3 算例分析

本文數(shù)據(jù)來(lái)自于中國(guó)某海域，水深范圍為1100～1400 m，海底地形起伏變化較大。本文選取其中一個(gè)條帶作為試驗(yàn)數(shù)據(jù)，由于數(shù)據(jù)量較大，冗余點(diǎn)較多，首先進(jìn)行了數(shù)據(jù)抽稀處理，共選取886個(gè)多波束測(cè)深數(shù)據(jù)點(diǎn)，其中隨機(jī)抽取不含粗差的150個(gè)點(diǎn)作為檢核點(diǎn)，所有數(shù)據(jù)如圖1所示，星點(diǎn)為檢核點(diǎn)，其余為已測(cè)點(diǎn)。測(cè)深值等高線圖如圖2所示。

圖1 多波束測(cè)深數(shù)據(jù)分布圖Fig.1 Multi-beam data distribution map

圖2 原始數(shù)據(jù)測(cè)深等高線圖Fig.2 Contour map of raw data

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，分別利用本文算法、傳統(tǒng)抗差最小二乘配置方法、基于多面函數(shù)的最小二乘配置方法和基于二次多項(xiàng)式的最小二乘配置方法進(jìn)行多波束測(cè)深數(shù)據(jù)處理，設(shè)計(jì)的4種方案如下所示：

方案1：基于二次多項(xiàng)式的最小二乘配置法，該法以二次多項(xiàng)式擬合趨勢(shì)項(xiàng)，計(jì)算檢核點(diǎn)的水深值和外符精度；

方案2：基于二次多項(xiàng)式的傳統(tǒng)抗差最小二乘配置法，計(jì)算檢核點(diǎn)的水深值和外符精度；

方案3：基于多面函數(shù)的最小二乘配置法，該法以多面函數(shù)擬合趨勢(shì)項(xiàng)，計(jì)算檢核點(diǎn)的水深值和外符精度；

方案4：基于多面函數(shù)的抗差最小二乘配置迭代解法，該法以多面的函數(shù)擬合趨勢(shì)面，結(jié)合抗差的方法進(jìn)行協(xié)方差函數(shù)擬合，計(jì)算檢核點(diǎn)的水深值和外符精度。

通過(guò)以上4種方案對(duì)實(shí)際多波束測(cè)深數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，4種方案的外符精度如表1所示，殘差統(tǒng)計(jì)如圖3所示。

表1 4種方案檢核點(diǎn)的殘差統(tǒng)計(jì)情況

Tab.1 Residual statistics of external check points using four schemes m

通過(guò)表1可以看出，基于多面函數(shù)的最小二乘配置方法的各項(xiàng)指標(biāo)均比傳統(tǒng)的基于二次多項(xiàng)式的最小二乘配置要優(yōu)。在外符精度上，基于多面函數(shù)的最小二乘配置(方案3)和基于二次多項(xiàng)式的最小二乘配置方法(方案1)的外符精度分別為0.935 86 m和1.205 97 m，相比于傳統(tǒng)的方法，基于多面函數(shù)的最小二乘配置方法在外符精度上提高了0.270 11 m，說(shuō)明了以多面函數(shù)擬合海底地形的趨勢(shì)項(xiàng)更能反映研究區(qū)域海底地形的整體連續(xù)變化的趨勢(shì)，去除趨勢(shì)項(xiàng)后得到的隨機(jī)變化部分也更為平穩(wěn)，因此可以利用該方法得到更為正確的信號(hào)值。通過(guò)比較兩種方法的殘差統(tǒng)計(jì)圖(圖3)，可以看出基于多面函數(shù)的最小二乘配置方法給出的殘差小于傳統(tǒng)的基于二次多項(xiàng)式的最小二乘配置方法的殘差，進(jìn)一步驗(yàn)證多面函數(shù)擬合趨勢(shì)項(xiàng)的有效性。另一方面，通過(guò)比較分析傳統(tǒng)的抗差最小二乘配置方法(方案2)與基于多面函數(shù)的最小二乘配置方法(方案3)可以發(fā)現(xiàn)，雖然傳統(tǒng)的抗差方法進(jìn)行了抗差處理，但是由于二次多項(xiàng)式不能較好地表征海底地形的整個(gè)連續(xù)變化趨勢(shì)，使得后續(xù)由扣除趨勢(shì)項(xiàng)后得到的殘差進(jìn)行擬合得到的協(xié)方差函數(shù)發(fā)生了偏差，導(dǎo)致推估的效果比沒(méi)有考慮到抗差的基于多面函數(shù)的最小二乘配置方法要差。最后，本文抗差最小二乘配置方法的推估效果最好，在外符精度上，比基于二次多項(xiàng)式的最小二乘配置方法提高了0.308 13 m，比傳統(tǒng)的抗差最小二乘配置方法提高了0.317 94 m，比基于多面函數(shù)的最小二乘配置方法提高了0.038 02 m，說(shuō)明了本文抗差方法能在一定程度上克服多波束測(cè)深數(shù)據(jù)中粗差或異常點(diǎn)對(duì)最小二乘配置結(jié)果的影響；同時(shí)，相比傳統(tǒng)的抗差方法，本文方法推估精度更高。同樣的，為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文抗差方法的有效性的，給出四種方案的經(jīng)驗(yàn)協(xié)方差函數(shù)的參數(shù)解，具體如表2所示。本文抗差最小二乘配置能夠在一定程度上抵抗多波束測(cè)深數(shù)據(jù)中粗差或異常點(diǎn)的影響，給出協(xié)方差函數(shù)更符合實(shí)際情況，更為客觀的反映點(diǎn)位之間的相關(guān)性。

表2 4種方案的協(xié)方差函數(shù)參數(shù)解

Tab.2 Fitting results of covariance function parameters using four schemes

參數(shù)方案1方案2方案3方案4D(0)13.9217813.006262.440060.93110k26.95240×10-86.87077×10-85.97079×10-83.35709×10-7

圖3 4種方案檢核點(diǎn)殘差統(tǒng)計(jì)圖Fig.3 Residual statistics chart of external check points using four schemes

圖4 原始多波束測(cè)深數(shù)據(jù)TIN圖Fig.4 TIN chart of original multi-beam data

圖5 傳統(tǒng)抗差方法處理后的多波束測(cè)深數(shù)據(jù)TIN圖Fig.5 TIN chart of multi-beam data using traditional robust least squares collocation

圖6 經(jīng)本文抗差方法處理后的TIN圖Fig.6 TIN chart of multi-beam data using robust least squares collocation was proposed in this paper

4 結(jié) 論

為了進(jìn)一步提高多波束測(cè)深數(shù)據(jù)處理的精度，本文提出了一種抗差最小二乘配置迭代解法，給出了具體的求解公式以及迭代算法，通過(guò)算例驗(yàn)證了本文方法的有效性，得出了以下的結(jié)論：

(1) 針對(duì)現(xiàn)有配置法的趨勢(shì)項(xiàng)的二次曲面數(shù)學(xué)模型通常無(wú)法精確表征海底地形的整體連續(xù)變化趨勢(shì)的問(wèn)題，本文提出以多面函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的方法擬合海底地形的趨勢(shì)項(xiàng)，通過(guò)算例驗(yàn)證了該方法的有效性，進(jìn)一步提高了配置法在多波束測(cè)深數(shù)據(jù)處理中的推估精度。

圖7 兩種抗差方法測(cè)深點(diǎn)等價(jià)權(quán)值概況Fig.7 Equivalent weight of sounding points for two robust methods

(2) 針對(duì)多波束測(cè)深數(shù)據(jù)存在粗差或異常點(diǎn)時(shí)，常規(guī)最小二乘配置方法給出的協(xié)方差函數(shù)不能精確表征其統(tǒng)計(jì)特性的問(wèn)題，提出了一種抗差最小二乘配置迭代解法，以迭代計(jì)算的方式給出了經(jīng)驗(yàn)協(xié)方差函數(shù)的參數(shù)估計(jì)和最小二乘配置解，通過(guò)算例驗(yàn)證了本文方法在一定程度上能夠克服多波束測(cè)深數(shù)據(jù)中粗差或異常點(diǎn)的影響，提高了推估的精度，相比于傳統(tǒng)的抗差方法，本文抗差方法能夠更為有效地識(shí)別出測(cè)深數(shù)據(jù)中的異常點(diǎn)。

最小二乘配置問(wèn)題的關(guān)鍵是確定合理的協(xié)方差函數(shù)，接下來(lái)還需進(jìn)一步研究協(xié)方差函數(shù)的確定方法，從而進(jìn)一步提高最小二乘配置推估的精度。

致謝：感謝東華理工大學(xué)王勝平博士提供多波束測(cè)深數(shù)據(jù)。

[1] 朱慶, 李德仁. 多波束測(cè)深數(shù)據(jù)的誤差分析與處理[J]. 武漢測(cè)繪科技大學(xué)學(xué)報(bào), 1998, 23(1): 1-4, 46. ZHU Qing, LI Deren. Error Analysis and Processing of Multibeam Soundings[J]. Journal of Wuhan Technical University of Surveying and Mapping, 1998, 23(1): 1-4, 46.

[2] 陸秀平, 黃謨濤, 翟國(guó)君, 等. 多波束測(cè)深數(shù)據(jù)處理關(guān)鍵技術(shù)研究進(jìn)展與展望[J]. 海洋測(cè)繪, 2016, 36(4): 1-6, 11.LU Xiuping, HUANG Motao, ZHAI Guojun, et al. Development and Prospect of Key Technologies for Multibeam Echosounding Data Processing[J]. Hydrographic Surveying and Charting, 2016, 36(4): 1-6, 11.

[3] 王海棟, 柴洪洲, 王敏. 多波束測(cè)深數(shù)據(jù)的抗差Kriging擬合[J]. 測(cè)繪學(xué)報(bào), 2011, 40(2): 238-242, 248. WANG Haidong, CHAI Hongzhou, WANG Min. Multibeam Bathymetry Fitting Based on Robust Kriging[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2011, 40(2): 238-242, 248.

[4] BORRE K. Mathematical Foundation of Geodesy: Selected Papers of Torben Krarup[M]. Berlin Heidelberg: Springer, 2006.

[5] MORITZ H. Advanced Physical Geodesy[M]. Karlsruhe: Wichmann, Abacus Press, 1980.

[6] WOLF H.über Verallgemeinerte Kollokation[J]. Zeitschrift für Vermessungswesen, 1974, 99(11): 475-478.

[7] EL-FIKY G S, KATO T. Continuous Distribution of the Horizontal Strain in the Tohoku District, Japan, Predicted by Least-squares Collocation[J]. Journal of Geodynamics, 1998, 27(2): 213-236.

[8] 柴洪洲, 崔岳, 明鋒. 最小二乘配置方法確定中國(guó)大陸主要塊體運(yùn)動(dòng)模型[J]. 測(cè)繪學(xué)報(bào), 2009, 38(1): 61-65. DOI: 10.3321/j.issn:1001-1595.2009.01.011. CHAI Hongzhou,CUI Yue,MING Feng.The Determination of Chinese Mainland Crustal Movement Model Using Least-squares Collocation[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2009, 38(1): 61-65. DOI: 10.3321/j.issn:1001-1595.2009.01.011.

[9] 江在森, 劉經(jīng)南. 應(yīng)用最小二乘配置建立地殼運(yùn)動(dòng)速度場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)的方法[J]. 地球物理學(xué)報(bào), 2010, 53(5): 1109-1117. JIANG Zaisen, LIU Jingnan. The Method in Establishing Strain Field and Velocity Field of Crustal Movement Using Least Squares Collocation[J]. Chinese Journal of Geophysics, 2010, 53(5): 1109-1117.

[10] YANG Y X,ZENG A M,ZHANG J.Adaptive Collocation with Application in Height System Transformation[J]. Journal of Geodesy, 2009, 83(5): 403-410.

[11] JARMOLOWSKI W. Least Squares Collocation with Uncorrelated Heterogeneous Noise Estimated by Restricted Maximum Likelihood[J]. Journal of Geodesy, 2015, 89(6): 577-589.

[12] YOU R J, HWANG H W. Coordinate Transformation between Two Geodetic Datums of Taiwan by Least-Squares Collocation[J]. Journal of Surveying Engineering, 2006, 132(2): 64-70.

[13] 徐衛(wèi)明, 劉雁春. 海道測(cè)量中非定位點(diǎn)的精密確定方法[J]. 系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào), 2007, 19(20): 4612-4615. XU Weiming, LIU Yanchun. Methods of Determining Non-Position Points in Hydrographic Survey[J]. Journal of System Simulation, 2007, 19(20): 4612-4615.

[14] 王海棟, 柴洪洲, 趙東明. 基于抗差最小二乘配置的海底地形生成研究[J]. 系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào), 2010, 22(9): 2091-2094, 2099. WANG Haidong, CHAI Hongzhou, ZHAO Dongming. Research on Seabed Terrain Generation Based on Robust Least-squares Collocation[J]. Journal of System Simulation, 2010, 22(9): 2091-2094, 2099.

[15] 王海棟. 多波束系統(tǒng)測(cè)深異常處理理論與方法研究[D]. 鄭州: 信息工程大學(xué), 2010. WANG Haidong.Research on the Theories and Algorithms of Processing the Bathymetry Outlier in Multibeam Echosounder System[D]. Zhengzhou: Information Engineering University, 2010.

[16] 薛樹(shù)強(qiáng), 楊元喜. 廣義反距離加權(quán)空間推估法[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(bào)(信息科學(xué)版), 2013, 38(12): 1435-1439. XUE Shuqiang, YANG Yuanxi. Generalized Inverse Distance Weighting Method for Spatial Interpolation[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2013, 38(12): 1435-1439.

[17] 黃維彬. 近代平差理論及其應(yīng)用[M]. 北京: 解放軍出版社, 1992: 92-118. HUANG Weibin. Theory of Adjustment and Its Applications in Geodesy[M]. Beijing: The PLA Press, 1992: 92-118.

[18] YANG Yuanxi. Robustfying Collocation[J]. Manuscripta Geodaetica, 1992, 17(1): 21-28.

[19] HARDY R L. Multiquadric Equations of Topography and Other Irregular Surfaces[J]. Journal of Geophysical Research, 1971, 76(8): 1905-1915.

[20] HARDY R L. The Application of Multiquadric Equations and Point Mass Anomaly Models to Crustal Movement Studies[R]. NOAA Technical Report NOS 76 NGS 11. Rockville, Maryland: US Department of Commerce, National Oceanic and Atmospheric Administration, National Ocean Survey, National Geodetic Survey, 1978.

[21] 謝曦霖, 許才軍, 溫?fù)P茂, 等. 一種基于多面函數(shù)的改進(jìn)最小二乘配置方法[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(bào)(信息科學(xué)版). DOI: 10.13203/j.whugis20150664. XIE Xilin, XU Caijun, WEN Yangmao, et al. A Refined Least Squares Collocation Method Based on Multiquadric Function[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University. DOI: 10.13203/j.whugis20150664.

[22] 楊元喜. 抗差估計(jì)理論及其應(yīng)用[M]. 北京: 八一出版社, 1993. YANG Yuanxi. Robust Estimation Theory and Its Applications[M]. Beijing: Bayi Publishing House, 1993.

[23] SCHAFFRIN B, BOCK Y. Geodetic Deformation Analysis Based on Robust Inverse Theory[J]. Manuscripta Geodaetica, 1994, 19(1): 31-44.

[24] 劉念. 協(xié)方差函數(shù)的抗差擬合[J]. 測(cè)繪科學(xué), 2001, 26(3): 25-28. LIU Nian. Robust Fitting of Covariance Function[J]. Science of Surveying and Mapping, 2001, 26(3): 25-28.

[25] BROUNS G, DE WULF A, CONSTALES D. Multibeam Data Processing: Adding and Deleting Vertices in a Delaunay Triangulation[J]. Hydrographic Journal, 2001(101): 3-9.

(責(zé)任編輯：陳品馨)

WANG Leyang (1983—), male, PhD, associate professor, majors in geodetic inversion and geodetic data processing.

Multi-beam Bathymetry Data Processing Using Iterative Algorithm of Robust Least Squares Collocation

WANG Leyang1,2,3,CHEN Hanqing1,2

1. Faculty of Geomatics, East China University of Technology, Nanchang 330013, China; 2. Key Laboratory of Watershed Ecology and Geographical Environment Monitoring, NASG, Nanchang 330013, China; 3. Key Laboratory for Digital Land and Resources of Jiangxi Province, Nanchang 330013, China

In the process of dealing with multi-beam bathymetry data by least squares collocation, the quadric curved mathematical model of trend term can not express accurately the whole variation trend of seafloor topography in general. Moreover, the covariance function estimated by general method is incapable of accurately expressing statistical characteristics with the multi-beam bathymetry data contains gross errors or outliers. So the iterative algorithm of robust least squares collocation is proposed in this paper. Firstly, the initial weight matrix of observations and the initial parameters of covariance function are both given in this method, then the trend term is fitted by polyhedral function and equivalent weights scheme is applied into robust estimation in this method. Finally, the robust parameters of covariance function and solutions of least squares collocation are iteratively calculated. The experimental results show that the method proposed in this paper can express well the whole variation trend of seafloor topography and overcome the effect of gross error or outlier in multi-beam bathymetry data to a certain extent. Compared with the conventional robust method, the proposed method in this paper more effectively probes the outliers in bathymetry data with the robust and better predicted results.

least squares collocation; seabed terrain generation; covariance function; robust; trend term

National Natural Science Foundation of China (Nos.41664001; 41204003); Support Program for Outstanding Youth Talents in Jiangxi Province (No.20162BCB23050); National Key Research and Development Program(No.2016YFB0501405); Science and Technology Project of the Education Department of Jiangxi Province (No.GJJ150595); the Project of Key Laboratory for Digital Land and Resources of Jiangxi Province(No.DLLJ201705).

王樂(lè)洋，陳漢清.多波束測(cè)深數(shù)據(jù)處理的抗差最小二乘配置迭代解法[J].測(cè)繪學(xué)報(bào)，2017,46(5)：658-665.

10.11947/j.AGCS.2017.20160491. WANG Leyang, CHEN Hanqing.Multi-beam Bathymetry Data Processing Using Iterative Algorithm of Robust Least Squares Collocation[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2017,46(5):658-665. DOI:10.11947/j.AGCS.2017.20160491.

2016-10-17

王樂(lè)洋(1983—)，男，博士，副教授，主要研究方向?yàn)榇蟮販y(cè)量反演及大地測(cè)量數(shù)據(jù)處理。

E-mail： wleyang@163.com

P229

A

1001-1595(2017)05-0658-08

國(guó)家自然科學(xué)基金 (41664001; 41204003)；江西省杰出青年人才資助計(jì)劃項(xiàng)目(20162BCB23050)；國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃(2016YFB0501405)；江西省教育廳科技項(xiàng)目(GJJ150595) ；江西省數(shù)字國(guó)土重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放研究基金(DLLJ201705)

修回日期： 2017-04-13