邵旭馗，王素萍

(隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅慶陽745000)

變量核奇異積分算子在加權(quán)(Lq,Lp)α(Rn)空間上的有界性

邵旭馗，王素萍

(隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅慶陽745000)

利用Ap權(quán)性質(zhì)，研究了帶變量核的奇異積分算子TΩ在加權(quán)共合空間(Lq,Lp)α(Rn)上的性質(zhì)，證明了TΩ是(Lq,Lp)α(Rn)空間上的有界算子。

奇異積分算子； 加權(quán)(Lq,Lp)α(Rn)空間；變量核

1955 年，Calderon 和Zygmund[1]考慮了帶變量核的奇異積分算子的Lp有界性，他們發(fā)現(xiàn)這類算子同帶有變系數(shù)的二階線性橢圓方程密切相關(guān)，有關(guān)此類算子的有界性可見文獻(xiàn)[2-3]。 近年來，關(guān)于帶變量核的奇異積分算子的有界性受到人們的廣泛關(guān)注， 2002 年，Ding，Chen和Fan[4]考慮了帶變量核的奇異積分算子的(Hp,Lp) 有界性，得到了當(dāng)Ω在Sn-1上滿足一類Lr-Dini(r≥1) 條件時(shí)，對(duì)某些p≤1，TΩ是Hp到Lp的有界算子，2006 年，Ding，Lu和Shao[5]研究了TΩ(f)在弱Hardy空間上的有界性， 有關(guān)變量核奇異積分算子及其交換子的結(jié)果可參見文[6-8]。最近,Wu,Cheng和Shu[9]又得到了粗糙核奇異積分算子TΩ在加權(quán)(Lq,Lp)α(Rn)空間上的估計(jì)。受以上研究的啟發(fā),本文考慮并證明了當(dāng)帶變量核的奇異積分算子TΩ(f)在加權(quán)(Lq,Lp)α(Rn)空間上的有界性,從而推廣了以往非變量核的相關(guān)結(jié)果。

1 預(yù)備知識(shí)及主要結(jié)果

記Sn-1為Rn(n≥2)中的單位球面，其上裝備了Lebesgue測度dσ=dσ(z′)。設(shè)定義在Rn×Rn上的函數(shù)Ω∈L∞(Rn)×Lr(Sn-1)(r≥1)， 滿足：

‖Ω‖L∞(Rn)×Lr(Sn-1)=

(1)

并設(shè)Ω滿足條件Ω(x,λz)=Ω(x,z)，?x,z∈Rn,?λ>0，與消失條件：

?x∈Rn。

(2)

帶變量核的奇異積分算子TΩ定義如下：

(3)

下面,先給出一些本文中所用的定義與記號(hào)。

定義1[9]設(shè)α∈R，0

(5)

定義2[10]設(shè)10，使得對(duì)每個(gè)球B∈Rn，有：

(6)

則稱ω(x)是一個(gè)Ap權(quán)，記作ω(x)∈Ap。

定義3[9]設(shè)s>1,若存在一個(gè)常數(shù)C>0，使得對(duì)每個(gè)球B∈Rn，有：

(7)

則稱ω(x)滿足反向H?lder不等式，記作ω(x)∈RHs。

定義4[9]設(shè)1≤q,p,α≤∞，ω(x)是一個(gè)權(quán)函數(shù)，定義

(8)

本文的主要結(jié)果如下

‖TΩ(f)‖qω,p,α≤C‖f‖qω,p,α。

2 定理的證明

為證明定理，需要以下引理

引理1[9]設(shè)ω∈RHs，且s>1，那么存在常數(shù)C>0，使得：

對(duì)于球體B的任意可測子集E都成立。

引理2的證明具體可參見文獻(xiàn)[9]。

‖TΩ(f)χB‖qω≤‖TΩ(f1)χB‖qω+

‖TΩ(f2)χB‖qω=I1+I2。

由引理2可得

I1=‖TΩ(f1)χB‖qω≤C‖f1‖qω=C‖f1χ2B‖qω。

(10)

以下估計(jì)I2，由H?lder不等式

當(dāng)x∈B，y∈2j+1B2jB時(shí),有

因此

故有

(11)

根據(jù)引理1知，存在一個(gè)常數(shù)s>1，使得：

‖TΩ(f)‖qω,p,α≤C‖f‖qω,p,α。

至此,定理1證畢。

[1]A.P.CalderonandA.Zygmund,OnaproblemofMihlimTrans[J].Amer,Math.Soc.1995,78:209-224．

[2]Calderon,AandZygmund,A.,Onsingularintegralwithvariablekernels[J].Appl.Anal.,1978,7:221-238．

[3]邵旭馗,王素萍.齊次Herz空間上的奇變量核Marcinkiewicz積分算子[J].隴東學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2010(2):4-7．

[4]J.Chen,Y.DingandD.Fan.AclassofintegraloperatorswithvariablekernelsonHardyspaces[J].ChineseAnnalsofMath.(A),2002,23:289-296．

[5]DINGYong,LUShan-zhen,SHAOShuang-lin.Integraloperatorswithvariablekernelsonweakhardyspaces[J].MathAnalAppl,2006,317(1):127-135.

[6]閆彥宗，邵旭馗，王素萍.變量核的Marcinkiewicz高階交換子在Hardy空間的有界性[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2013,48(2):67-71.

[7]DINGYong,LINQin-cheng,SHAOShuang-lin.OntheMarcinkiewiczintegralwithvariablekernels[J].IndianaUnivMathJ,2004,53(3):805.

[8]ZHANG P,LAN S H.Weak type estimates for commutators of the Marcinkiewicz integral on Herz-type spaces [J].AdvinMath,2007,36(1):108-114.

[9]LU S Z,YANG D C.The weighted Herz-type Hardy spaces and its applications[J].ScienceinChina,1995,6A:662-673.

【責(zé)任編輯 朱世廣】

Boundedness of the Singular integral Operators with variable kernels on Weighted (Lq,Lp)α(Rn) spaces

SHAO Xu-kui，WANG Su-ping

(SchoolofMathematicsandStatistics,LongDongUniversity,Qingyang745000,Gansu)

The boundness of the Singular integral operators with variable kernelsTΩisdiscussed.ByusingthepropertiesofkernelfunctionΩ,theboundnessofTΩonweighted(Lq,Lp)α(Rn) space is proved.

Singular integral operators; weighted (Lq,Lp)α(Rn) space; Variable kernel

2016-10-10

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目《變指數(shù)空間上Littlewood-Paley算子及相關(guān)算子的研究與應(yīng)用》(11561062)；甘肅省高等學(xué)?？蒲许?xiàng)目《一類變量核奇異積分算子及其交換子的有界性研究》(2015A-147)

邵旭馗(1979—)，男，甘肅天水人，副教授，碩士，主要從事調(diào)和分析及其在偏微分方程中的應(yīng)用研究。

1674-1730(2017)03-0001-03

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