高 萍

以“將軍飲馬”之例妙解“最短距離和”

高 萍

親愛的同學，你知道“將軍飲馬”的問題嗎？據(jù)說一位古羅馬將軍遇到一個百思不得其解的問題：如圖1，將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側的B地開會，應該怎樣走才能使路程最短？聰明的你，一定能輕松地解決這個問題——如圖2，作點A關于河岸的對稱點A′，連接A′B，交河岸所在直線于點P，則將軍沿著AP+PB的路線走是最短的.

圖1

圖2

但是，你知道為什么要這樣做嗎？作點A的對稱點A′，依據(jù)對稱的性質可知AP=A′P，要使得AP+PB最短，只要A′P+PB最短就可以了.而當A′P和PB在同一條直線上時，A′P+PB的和是最短的——因為兩點之間線段最短.

請注意，在解決這個古老的經(jīng)典問題——“求最短距離和”時，最關鍵的思想是把其中的一條線段AP轉化為A′P，使得求和的兩條線段AP和PB在轉化后有可能在同一直線上，當它們在同一直線上時，距離和就最短.最有用的經(jīng)驗是，作了定點關于動點所在直線的對稱點，使得轉化得以實現(xiàn).

好了，數(shù)學的魅力馬上就要展現(xiàn)！請耐心向下看：

例1 如圖3，在正方形ABCD中，AE平分∠DAC，P、Q分別是AD、AE上的動點，則P、Q位于何處時，PQ+QD最短？若正方形的邊長為5，求PQ+QD的最短距離和.

圖3

【分析】要使PQ+QD最短，可轉化其中的某一條線段，使轉化后的兩條線段有可能在同一條直線上.P、Q兩點均為動點，故轉化DQ.如圖4，作定點D關于動點Q所在直線的對稱點D′，依據(jù)角平分線的性質可知，D′點落在線段AC上，且D′Q=DQ.此時只需D′Q+PQ最短即可.因為P也是線段AD上的動點，D′Q和PQ在同一直線上有無數(shù)種可能，其中D′Q和PQ在同一直線上且與AD垂直時其距離和最短（如圖5）.

圖4

圖5

【答案】P、Q位置如圖5時，PQ+QD最短，最短距離和為

怎樣？雖然出現(xiàn)了兩個動點，是不是感覺和“將軍飲馬”的問題如出一轍？

例2 如圖6，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°.在BC、CD上分別找一點M、N，使△MNA周長最小.

圖6

圖7

【分析】△MNA周長最小，即AM+MN+AN和最小，可考慮轉化其中兩條線段，使轉化后的三條線段有可能在同一條直線上.M、N均為動點，故轉化AM、AN比較合適.分別作定點A關于動點M、N所在直線BC和CD的對稱點A1和A2，此時AM+MN+AN轉化為A1M+MN+A2N，當這三條線段在同一直線上時，其和最短.

【答案】如圖7所示.

如何？雖然是三條線段的最短距離和，相信一定沒難住善于思考的你吧.讓我們把難度等級再提高一級試試吧！

例3 如圖8，已知點A（3，4），B（-1，1），在x軸上有兩點E、F，且EF=1，線段EF在x軸上平移，移至何處時四邊形ABEF周長最短？

圖8

圖9

【分析】因為線段AB和線段EF為定長線段，所以要使四邊形ABEF周長最短，其實就是要使BE+AF最短.我們若依據(jù)前面的經(jīng)驗，作某點的對稱點轉化其中一條線段，會發(fā)現(xiàn)轉化后兩線段間夾著一段EF，無法使它們在同一直線上.怎么辦呢？如果沒有EF這一段就好了.能不能利用圖形的變換擠去EF呢？

如圖9，我們可以把線段BE向右平移一個單位，使E、F兩點重合，得線段B1F，此時問題轉化為使B1F+AF最短.現(xiàn)在是不是又回到“將軍飲馬”的問題了？

【答案】如圖10，作B1關于x軸的對稱點B2，B2A與x軸的交點F′即為所求F的位置，左移一個單位即為所求E點的位置.

圖10

看了這些問題，是不是感覺到了數(shù)學的神奇與魅力？什么叫萬變不離其宗，什么叫九九歸一，你一定有更深的理解了吧！在以上幾例中，通過作圖形的平移和對稱變換，轉化了線段的位置，使復雜的問題都化歸于“將軍飲馬”這樣的簡單模型.不過，平移和對稱變化只是我們實現(xiàn)轉化的途徑之一，還有全等變換以及由圖形特點所帶來的相等線段也可實現(xiàn)線段的轉化.也就是說，轉化線段使得多條線段有可能在同一條直線上，才是解決“求最短距離和”問題的精髓.

你領會其中的精髓了嗎？來檢測一下吧！

考考你：如圖11，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM.

（1）求證：△AMB≌△ENB；

（2）當M位于何處時，AM+BM+CM的和最?。?/p>

圖11

江蘇省常州市金壇區(qū)第三中學）

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