陳東敏
對稱是高中數(shù)學(xué)中一種很重要的關(guān)系,它包括點對稱和軸對稱。利用對稱求函數(shù)的解析式是高考中的常見題型,所以有必要學(xué)好它?,F(xiàn)舉例說明如何利用對稱求函數(shù)的解析式。
一、軸對稱
1.點(x,y)關(guān)于x軸的對稱點是(x,-y)。
2.點(x,y)關(guān)于y軸的對稱點是(一x,y)。
3.點(x,y)關(guān)于直線x=a的對稱點是(2a-x,y)。
4.點(x,y)關(guān)于直線y=a的對稱點是(x,2a-y)。
5.點(x,y)關(guān)于直線y=x的對稱點是(y,x)。
6.點(x,y)關(guān)于直線y=x+b的對稱點是(y-b,x+b)。
例1 設(shè)函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=l對稱,若當(dāng)x≤1時,,則當(dāng)x>1時,f(x)=____。
解析:設(shè)(x,y)(x>l)是x>1時f(x)的圖像上任意一點,則點(x,y)關(guān)于直線x=l的對稱點在的圖像上。
點(x,y)關(guān)于直線x=1的對稱點是(2-x,y)(2-x故當(dāng)x>1時
例2 已知函數(shù)f(x)的圖像過點(0,1),且與函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x-l成軸對稱,求f(x)的解析式及定義域。
解析:設(shè)(x,y)是f(x)的圖像上任意一點。
由函數(shù)f(x)的圖像與函數(shù)1的圖像關(guān)于直線y=x-l成軸對稱,得點(x,y)關(guān)于直線y=x-1的對稱點在函數(shù)-1的圖像上。
點(x,y)關(guān)于直線y=x-1的對稱點是(y+l,x-l),則,即x+a=,故
由函數(shù)f(x)的圖像過點(0,l),得f(0)=1,即,解得a=l。
故,其定義域為(-l,+∞)。
二,點對稱
1.點(x,y)關(guān)于原點的對稱點是(-x,-y)。
2.點(x,y)關(guān)于點的對稱點是
例3 已知函數(shù)f(x)的圖像與函數(shù)g(x)=的圖像關(guān)于點(0,1)對稱,求函數(shù)f(x)的解析式。
解析:設(shè)(x,y)是函數(shù)f(x)的圖像上任意一點。
由函數(shù)f(x)的圖像與函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于點(0,1)對稱,得點(x,y)關(guān)于點(0,1)的對稱點在函數(shù)g(x)的圖像上。
點(x,y)關(guān)于點(O,l)的對稱點是(-x,2-y),則,故
故
例4 已知f(x)為奇函數(shù),當(dāng)x<0時,f(x)=x(1-x),則當(dāng)x>0時,f(x)的解析式為_____。
解析:由f(x)為奇函數(shù),得函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點對稱。
設(shè)(x,y)(x>O)是x>O時f(x)的圖像上任意一點,則點(x,y)關(guān)于原點的對稱點在f(x)=x(l一x)(x