雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型下后定選擇權(quán)定價(jià)

薛 紅,王銀利

(西安工程大學(xué)理學(xué)院，陜西 西安 710048)

雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型下后定選擇權(quán)定價(jià)

薛 紅,王銀利

(西安工程大學(xué)理學(xué)院，陜西 西安 710048)

為了更貼合股票價(jià)格變化過(guò)程的實(shí)際，假定股票價(jià)格服從雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程，預(yù)期收益率和利率為時(shí)間的非隨機(jī)函數(shù)，波動(dòng)率為常數(shù)，在雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下建立金融數(shù)學(xué)模型，利用保險(xiǎn)精算方法研究后定選擇權(quán)定價(jià)問(wèn)題，將后定選擇權(quán)的定價(jià)成功推廣至更切合實(shí)際股價(jià)變化過(guò)程的雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型下，得出了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下后定選擇權(quán)定價(jià)公式.并對(duì)期權(quán)定價(jià)公式進(jìn)行了參數(shù)敏感性分析，得出各個(gè)參數(shù)對(duì)期權(quán)價(jià)格的具體影響水平.

雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)；后定選擇權(quán)；保險(xiǎn)精算；隨機(jī)微分方程

0 引言

期權(quán)定價(jià)是當(dāng)前金融工程研究的核心問(wèn)題.后定選擇權(quán)是一種可以改變期權(quán)本身收益結(jié)構(gòu)的奇異期權(quán)，它允許持有者在期權(quán)合約到期前某一事先確定的時(shí)間點(diǎn)決定其所持有的期權(quán)是看漲還是看跌期權(quán).這種特殊的權(quán)力不僅使得投資者可以規(guī)避由于股票市場(chǎng)的不確定性而帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)，同時(shí)也幫助投資人節(jié)省了開(kāi)支，有利于其在最少的投資額度下得到最大的回報(bào).文獻(xiàn)[1]假定股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程，且無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為時(shí)間的非隨機(jī)函數(shù)，波動(dòng)率為常數(shù)的條件下，利用保險(xiǎn)精算方法得出了后定選擇權(quán)定價(jià)公式；但是由于幾何布朗運(yùn)動(dòng)所具有的獨(dú)立增量性和平穩(wěn)性，使得它只能描述股票價(jià)格變動(dòng)與過(guò)去無(wú)關(guān)、且增量平穩(wěn)的股票類型，對(duì)于股價(jià)將來(lái)變化情況與過(guò)去有關(guān)的股票則無(wú)法準(zhǔn)確描述.分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是一種具有平穩(wěn)增量但不具有獨(dú)立增量的高斯過(guò)程，這使得它能夠描述將來(lái)股票價(jià)格與過(guò)去價(jià)格有關(guān)的股價(jià)變化過(guò)程.因此文獻(xiàn)[2]假定股票價(jià)格服從分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程，利用擬鞅方法，得出了歐式未定權(quán)益和單點(diǎn)后定選擇權(quán)的定價(jià)公式.然而擬鞅方法要求市場(chǎng)必須是均衡、無(wú)套利、完備的金融市場(chǎng)，對(duì)有套利、非均衡、不完備的金融市場(chǎng)并不適用.文獻(xiàn)[3]提出了期權(quán)定價(jià)的新方法——保險(xiǎn)精算方法.該方法將期權(quán)定價(jià)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的公平保費(fèi)問(wèn)題，由于不做任何經(jīng)濟(jì)假設(shè)，因此它對(duì)有套利、非均衡、不完備的市場(chǎng)同樣適用.文獻(xiàn)[4]在分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型下運(yùn)用保險(xiǎn)精算方法研究了再裝期權(quán)的定價(jià)，并且得出了定價(jià)公式.文獻(xiàn)[5]在分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型下利用擬鞅方法，給出了一種新型期權(quán)——復(fù)雜任選期權(quán)的定價(jià).這些文獻(xiàn)對(duì)于后定選擇權(quán)的定價(jià)都是在分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下，而雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的推廣，是比分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)更為一般的高斯過(guò)程，它既不是鞅也不是半鞅，并且具有自相似性和長(zhǎng)程依賴性，且其增量不具有平穩(wěn)性(可以描述波動(dòng)率非平穩(wěn)的資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程)，雙分?jǐn)?shù)的這些優(yōu)于分?jǐn)?shù)的性質(zhì)使得它可以描述一些分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)不能描述的股票價(jià)格變化過(guò)程.Russo等[6]詳細(xì)闡述了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的概念和性質(zhì)，但是并未探究其更深入的應(yīng)用.肖瑋麟等[7]將雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)運(yùn)用于股本權(quán)證的定價(jià)，并成功得出定價(jià)公式，這表明用雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型來(lái)刻畫(huà)金融市場(chǎng)的變化是合理并且是比分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型更先進(jìn)也更貼合實(shí)際的.本文在此基礎(chǔ)上將后定選擇權(quán)的定價(jià)推廣到更為一般的雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下對(duì)其價(jià)格進(jìn)行研究，使得后定選擇權(quán)的定價(jià)理論更實(shí)用.在雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下，假定股票無(wú)紅利支付且收益率和利率為時(shí)間的非隨機(jī)函數(shù)，波動(dòng)率為常數(shù)，利用保險(xiǎn)精算方法，給出了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下后定選擇權(quán)定價(jià)公式.

1 股票價(jià)格模型

其中H∈(0,1),K∈(0,1].

假設(shè)股票價(jià)格滿足隨機(jī)微分方程

(1)

引理1[5]隨機(jī)微分方程(1)的解為

(2)

引理2 {St,t≥0}在[t,T]上的期望回報(bào)率滿足βu=μu,u∈[t,T].

證明 由引理1可知

(3)

由定義2知

由于

則βu=μu,u∈[t,T].

2 歐式期權(quán)定價(jià)

(4)

歐式看跌期權(quán)在t時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)格定義為

定理1 歐式看漲期權(quán)在t時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)格為

(5)

其中N(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，且

證明 由式(4)可知

從而定理結(jié)論得證.

定理2 歐式看跌期權(quán)在t時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)格為

其中N(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)，且

證明 類似于定理2可證.

推論1 當(dāng)K=1時(shí)，就可得到分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式.

推論2 歐式看漲、看跌期權(quán)平價(jià)關(guān)系為

3 后定選擇權(quán)定價(jià)

其中C(St*,t*)和P(St*,t*)分別表示標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲和看跌期權(quán)在t*時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)格.

由看漲看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系可知后定選擇權(quán)在t*時(shí)刻的現(xiàn)金流為

(6)

定理3 選擇時(shí)點(diǎn)為t*(t*

其中N(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)，且

證明 由式(6)及保險(xiǎn)精算基本思想可知

(7)

(8)

(9)

將式(5)，(8)，(9)代入式(7)，可得定理結(jié)論.

4 參數(shù)敏感性分析

后定選擇權(quán)價(jià)格公式中包含參數(shù)S,T,t*,σ,r等，當(dāng)這些參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，會(huì)引起期權(quán)價(jià)格的變化，因此期權(quán)持有者會(huì)面臨風(fēng)險(xiǎn)管理問(wèn)題.下面討論各個(gè)參數(shù)對(duì)期權(quán)價(jià)格的敏感性，即后定選擇權(quán)的希臘字母[8].

在定理3的價(jià)格公式中，令t=0,ru=r,S0=S，則有如下結(jié)果.

定理4 后定選擇權(quán)定價(jià)公式對(duì)各個(gè)參數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)為：

證明 由定理3可得

5 結(jié) 論

本文假定股票價(jià)格服從由雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和預(yù)期收益率為時(shí)間的非隨機(jī)函數(shù)，建立雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下金融數(shù)學(xué)模型，使其更貼近實(shí)際股票市場(chǎng)，同時(shí)利用保險(xiǎn)精算方法對(duì)后定選擇權(quán)進(jìn)行合理定價(jià).并且對(duì)期權(quán)價(jià)格公式的參數(shù)敏感性進(jìn)行分析，從而了解各個(gè)參數(shù)對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響，以便期權(quán)持有者采取合理的措施進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避.

[1] 畢學(xué)慧,杜雪樵.后定選擇權(quán)的保險(xiǎn)精算定價(jià)[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2007,30(5):649-651.

[2] 劉韶躍,楊向群.分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境中歐式未定權(quán)益的定價(jià)[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì),2004,20(4):429-434.

[3] 閆海峰,劉三陽(yáng).廣義Black-Scholes模型期權(quán)定價(jià)新方法：保險(xiǎn)精算方法[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2003,24(7):730-739.

[4] 何永紅,薛紅,王曉東.分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下再裝期權(quán)的保險(xiǎn)精算定價(jià)[J].紡織高校基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào),2012,25(3):384-387.

[5] 詹穎心,徐云.分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下歐式復(fù)雜任選期權(quán)定價(jià)[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用,2010,30(3):78-82.

[6]RUSSOF,TUDORC.Onthebi-fractionalBrownianmotion[J].StochasticProcessesandApplications,2006,116(5):830-856.

[7] 肖瑋麟,張衛(wèi)國(guó),徐維東.雙分式布朗運(yùn)動(dòng)下股本權(quán)證的定價(jià)[J].系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2013,28(3):348-354.

[8]HULLJC.Options,futures,andotherderivatives[M].7版.北京：清華大學(xué)出版社,2011.

Chooser Option Pricing on Bi-fractional Brown Motion Model

XUE Hong, WANG Yinli

(School of Science, Xi’an Polytechnic University, Xi’an 710048, China)

In order to better fit the actual situation of the stock market price change progress, this paper assumes that the stock price submits to the stochastic differential equation driven by bi-fractional Brownian, the expected yield rate and interest rate are non-stochastic function of time, and makes volatility as the constant. The financial mathematical model in the bi-fractional Brownian motion environment is established. The pricing problem of chooser option is discussed using the actuarial approach, and the pricing formula of the chooser option in bi-fractional Brownian motion environment is obtained. Finally, basing on the pricing formula, the sensitivity of chooser option with respect to parameterS,T,t*,σ,ris analyzed, and the influence level of each parameter on option pricing is provided.

bi-fractional Brownian motion; chooser option; actuarial approach; stochastic differential equation

10.3969/j.issn.1674-232X.2017.03.014

2016-05-23

陜西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2016JM1031)；陜西省教育廳專項(xiàng)科研基金項(xiàng)目(14JK1299).

薛 紅(1962—)，男，教授，博士，主要從事金融工程、保險(xiǎn)精算等研究.E-mail:xuehonghong@sohu.com

F830;O211 MSC2010： 91G20;91G30;91G80

A

1674-232X(2017)03-0301-06